talk/booleanMap.tex~

   1 In what follows, we consider the Boolean algebra on the set
   2 $\Bool=\{0,1\}$ with the classical operators of conjunction '.',
   3 of disjunction '+', of negation '$\overline{~}$', and of
   4 disjunctive union $\oplus$.
   5
   6 Let $n$ be a positive integer. A  {\emph{Boolean map} $f$ is
   7 a function from the Boolean domain
   8  to itself
   9 such that
  10 $x=(x_1,\dots,x_n)$ maps to $f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))$.
  11 Functions are iterated as follows.
  12 At the $t^{th}$ iteration, only the $s_{t}-$th component is
  13 ``iterated'', where $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$ is a sequence of indices taken in $\llbracket 1;n \rrbracket$ called ``strategy''. Formally,
  14 let $F_f: \llbracket1;n\rrbracket\times \Bool^{n}$ to $\Bool^n$ be defined by
  15 \[
  16 F_f(i,x)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_n).
  17 \]
  18 Then, let $x^0\in\Bool^n$ be an initial configuration
  19 and $s\in
  20 \llbracket1;n\rrbracket^\Nats$ be a strategy,
  21 the dynamics are described by the recurrence
  22 \begin{equation}\label{eq:asyn}
  23 x^{t+1}=F_f(s_t,x^t).
  24 \end{equation}