From: ali <ali@ali>
Date: Thu, 4 Dec 2014 21:42:48 +0000 (+0100)
Subject: Update by Ali
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Update by Ali
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diff --git a/Figures/CHAPITRE_01.tex~ b/Figures/CHAPITRE_01.tex~
new file mode 100644
index 0000000..71b30c8
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+++ b/Figures/CHAPITRE_01.tex~
@@ -0,0 +1,496 @@
+\chapter{Architectures parall\`eles de GPUs}
+\label{chap:archi_parallel}
+%Introduction
+The high performance computing (HPC) industry’s need for
+computation is increasing, as large and complex computational
+problems become commonplace across many industry segments.
+Traditional CPU technology, however, is no longer capable of scaling
+in performance sufficiently to address this demand.
+The parallel processing capability of the GPU allows it to divide
+complex computing tasks into thousands of smaller tasks that can
+be run concurrently. This ability is enabling computational scientists
+and researchers to address some of the world’s most challenging
+computational problems up to several orders of magnitude faster.
+
+At the end of 2006, NVIDIA GPUs have invaded the field of general purpose computing
+with the invention of Compute Unified Device Architecture (CUDA). The performance
+and memory bandwidth of the NVIDIA GPUs make them an attractive choice for solving
+many scientific computational problems.
+
+In November 2006, NVIDIA introduced CUDATM, a general purpose parallel computing architecture – 
+with a new parallel programming model and instruction set architecture – 
+that leverages the parallel compute engine in NVIDIA GPUs to solve many complex computational problems in a more efficient way than on a
+CPU.
+
+L'architecture GPU utilisée dans ce document est celle basée sur la plateforme CUDA (Compute Unified Device
+Architecture), développée par NVIDIA pour une programmation générique des GPUs afin de bénéficier de leur
+capacité de traitement massivement parallèle.
+
+Pourquoi parler des accelerateurs graphiques ?
+Ce cours propose de decouvrir et/ou de comprendre les raisons du
+succes des accelerateurs de calcul dans le monde du calcul haute
+performance (HPC). Depuis plusieurs annees maintenant les
+constructeurs esperaient proposer des architectures materielles
+simples et puissantes permettant de depasser les limites atteintes
+par les CPU. La technologie de GPGPU ( general purpose
+processing on graphics processing unit ) s'est imposee au milieu
+d'autres technologies existantes pour des raisons d'architecture
+materielle mais aussi logicielle. L'objectif double de cours est de
+presenter ces elements d'architecture ainsi que l'adequation avec
+les problematiques actuelles des thematiques, gourmandes en
+puissance de calcul, du monde du HPC.
+
+l'un des plus grands fournisseurs de processeurs graphiques: NVIDIA
+
+définition HPC: high performance computing
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\section{Calcul parallèle}
+\label{sec:parallel}
+Pour définir le principe d'un calcul parallèle, nous préférons définir, tout d'abord, celui de son opposé:
+le calcul séquentiel, pour bien cerner la différence entre ces deux manières de calcul. Un calcul séquentiel
+consiste en l'exécution d'un programme, instruction par instruction, par un seul processeur (unité de calcul)
+et de façon à ce qu'une seule instruction soit exécutée à la fois. En revanche, un calcul parallèle est défini
+comme l'exécution d'un même programme, simultanément, par plusieurs processeurs. Nous avons, en général, deux
+façons de réaliser un calcul parallèle. La première consiste en le découpage du programme en plusieurs tâches
+de calcul puis, d'exécuter toutes ces tâches en parallèle par différents processeurs. La seconde nécessite
+d'abord le partitionnement des données du problème à traiter, de manière à ce que chaque partie de données
+soit attribuée à un processeur différent. Ensuite, tous les processeurs exécutent en parallèle les mêmes
+instructions du programme mais, opérant sur des données différentes. Cette dernière méthode, appelée la
+\textit{parallélisation des données}, est celle retenue dans ce document.
+
+En outre, les calculs parallèles nécessitent aussi une gestion des dépendances de données entre les différents
+processeurs. Les calculs locaux de deux processeurs sont dits dépendants lorsque l'exécution de
+l'un affecte le résultat de l'autre. Une dépendance de données implique une utilisation de la valeur d'une
+même variable par les calculs locaux de deux ou plusieurs processeurs. Les dépendances de données peuvent être gérées
+par la synchronisation des lectures/écritures dans une même mémoire (systèmes à mémoires partagées) ou par
+la communication de données entre processeurs via des messages (systèmes à mémoires distribuées).
+ 
+Le calcul parallèle a pour objectif d'exploiter la grande quantité de ressources (puissance de calcul,
+espace mémoire, ...) que permettent d'offrir les calculateurs parallèles, pour réduire le temps d'exécution
+des applications nécessitant un long traitement et/ou pour pouvoir exécuter celles portant sur des volumes
+de données très importants. Ainsi, il nous permet d'aborder de nouveaux problèmes, de plus en plus, complexes
+et de tailles toujours croissantes.  
+
+\subsection{Classification des architectures parallèles}
+Un calculateur parallèle peut être, tout simplement, un processeur multic\oe ures possédant au moins deux unités de calcul physiques
+gravées sur la même puce, un supercalculateur qui permet de rassembler les composantes de plusieurs ordinateurs
+(processeurs et mémoires) dans une seule machine ou, une plateforme distribuée composée de plusieurs ordinateurs
+indépendants, homogènes ou hétérogènes, reliés entre eux par un réseau de communication.
+
+Il existe dans la littérature plusieurs classifications pour les architectures des calculateurs parallèles,
+basées sur différents critères de classification~\cite{ref21,ref22,ref23,ref24}. Dans cette section, nous
+présentons la classification la plus largement utilisée dans le domaine du calcul parallèle, nommée la
+\textit{taxonomie de Flynn}~\cite{ref21}. Elle est basée sur deux critères: le nombre d'instructions et le
+nombre de données, qui peuvent être traitées, simultanément, par les différents processeurs du calculateur
+parallèle. Les quatre catégories possibles de la taxonomie de Flynn sont les suivantes.
+
+\subsubsection{Instruction unique, donnée unique (SISD)}
+La classe SISD (Single Instruction, Single Data) représente l'ensemble des calculateurs séquentiels à
+une seule unité de calcul (ou monoprocesseur). Ce sont les calculateurs qui ne sont capables de traiter
+qu'une seule instruction sur une seule donnée, par cycle d'horloge. Bien évidemment, cette catégorie n'est
+pas une architecture parallèle.
+
+\subsubsection{Instructions multiples, donnée unique (MISD)}
+La classe MISD (Multiple Instruction, Single Data) correspond aux calculateurs parallèles pouvant exécuter
+plusieurs instructions, simultanément, sur la même donnée. Peu de calculateurs MISD ont existé en pratique,
+vu le nombre réduit des applications qui peuvent être mises en \oe uvre sur ce type d'architecture. Un 
+exemple de calculateur parallèle expérimental MISD a été développé à l'université de Carnegie Mellon~\cite{ref25}.
+
+\subsubsection{Instruction unique, données multiples (SIMD)}
+La classe SIMD (Single Instruction, Multiple Data) correspond aux processeurs vectoriels et, plus généralement,
+aux calculateurs composés d'un grand nombre d'unités de calcul. Chaque processeur d'un calculateur SIMD exécute
+la même instruction à chaque cycle d'horloge, mais opérant sur des données différentes. Cette architecture
+parallèle est bien adaptée aux traitement des problèmes à structure régulière, où la même instruction est
+appliquée à un ensemble de données (exécutions des opérations sur des vecteurs ou des tableaux).
+
+\subsubsection{Instructions multiples, données multiples (MIMD)}
+La classe MIMD (Multiple Instruction, Multiple Data) représente la classe la plus générale dans cette
+classification. Les calculateurs parallèles MIMD possèdent plusieurs processeurs interconnectés entre
+eux, tels que chaque processeur est capable de suivre son propre chemin d'exécution. En effet, à chaque
+cycle d'horloge, les processeurs peuvent exécuter des instructions différentes sur des données différentes.
+
+\subsection{Mémoires des architectures parallèles}
+Nous pouvons distinguer, en général, deux modèles de gestion de la mémoire des calculateurs parallèles. 
+
+\subsubsection{Mémoire partagée}
+Dans ce type d'architecture, 
+
+\subsubsection{Mémoire distribuée}
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\section{Unité de traitement graphique GPU}
+\label{sec:GPU}
+L'architecture et l'environnement de programmation des GPUs utilisés dans ce document sont ceux basés sur la
+plateforme CUDA (Compute Unified Device Architecture) développée par NVIDIA~\cite{ref19}.
+
+\subsection{Architecture matérielle GPU}
+\label{sec:archiGPU}
+Les processeurs graphiques GPUs sont initialement conçus pour le traitement des applications graphiques et
+de la visualisation 3D. Nous pouvons citer, par exemple, les produits \textit{GeForce} et \textit{Quadro},
+deux gammes de GPUs proposées par NVIDIA, qui sont destinés, respectivement, au graphisme grand public et à
+la visualisation professionnelle. Depuis quelques années, les GPUs sont devenus des outils très attrayants
+pour le calcul haute performance (HPC). La gamme de produits \textit{Tesla} a été conçue par NVIDIA pour
+offrir des capacités de calcul parallèle élevées et assister les processeurs dans les calculs intensifs des
+applications scientifiques et/ou industrielles. La figure~\ref{fig:archi} montre les différentes architectures
+matérielles GPU développées par NVIDIA.
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \includegraphics[width=85mm,keepaspectratio]{Figures/archi}
+\caption{Historique des architectures matérielles GPU.}
+\label{fig:archi}
+\end{figure}
+
+Un GPU est un processeur graphique relié à un processeur traditionnel (CPU) via un PCI-Express
+(voir figure~\ref{fig:gpu-cpu}). Il est souvent considéré comme un accélérateur des tâches
+parallèles et des opérations arithmétiques intensives d'une application exécutée sur un CPU.
+Il puise sa puissance de calcul de son architecture matérielle et logicielle massivement parallèle. 
+En effet, à la différence d'une architecture CPU, un GPU est composé de centaines (voire de
+milliers) de processeurs (SP), appelés communément c\oe urs, organisés en plusieurs blocs de
+processeurs appelés multiprocesseurs (SM ou SMX). La figure~\ref{fig:compar} montre une comparaison
+entre l'architecture matérielle d'un CPU et celle d'un GPU Fermi. Les processeurs d'un GPU sont
+regroupés par 8 (Tesla), 32 (Fermi) ou 192 (Kepler) dans un multiprocesseur, selon le type de
+son architecture matérielle. De la même manière, les multiprocesseurs sont eux-mêmes regroupés
+par 2 (G80) ou 3 (GT200) dans un TPC (Texture Processing Cluster) pour l'architecture Tesla et
+par 4 (Fermi) ou 2 (Kepler) dans un GPC (Graphics Processing Cluster) pour les nouvelles architectures. 
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+   \begin{tabular}{ccc}
+      \includegraphics[width=45mm,keepaspectratio]{Figures/fig} &
+      \includegraphics[width=50mm,keepaspectratio]{Figures/fig1} &
+      \includegraphics[width=60mm,keepaspectratio]{Figures/schema1} \\ 
+      (a) Carte graphique GPU & (b) Un GPU relié à un CPU & (c) Un schéma de GPU relié à un CPU\\
+      \end{tabular}
+  \caption{Un exemple de CPU équipé d'un GPU}
+  \label{fig:gpu-cpu}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \begin{tabular}{cc}
+    \includegraphics[width=50mm,keepaspectratio]{Figures/CPU_scheme} &
+    \includegraphics[width=50mm,keepaspectratio]{Figures/GPU_scheme} \\
+    (a) Un CPU à 8 c\oe urs & (b) Un GPU Fermi à 512 c\oe urs
+   \end{tabular}
+  \caption{Comparaison du nombre de c\oe urs dans un CPU et dans un GPU.}
+  \label{fig:compar}
+\end{figure}
+
+En plus de la hiérarchie de processeurs, un GPU est doté d'une hiérarchie de mémoires de différentes
+tailles et de différentes bandes passantes mémoires. Nous distinguons, au total, six mémoires différentes
+(voir figure~\ref{fig:memoires}):
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \begin{tabular}{cc}
+     \includegraphics[width=82mm,keepaspectratio]{Figures/memoires} &
+     \includegraphics[width=82mm,keepaspectratio]{Figures/memoiresFermi} \\
+     (a) Architecture Tesla & (b) Architecture Fermi ou Kepler \\
+  \end{tabular}
+  \caption{Hiérarchie de mémoires GPU.}
+  \label{fig:memoires}
+\end{figure}
+
+\begin{itemize*}
+  \item \textit{Registres}: chaque multiprocesseur a 8K à 65K de registres à 32-bit, répartis entre tous ses
+processeurs. Ce sont des mémoires rapides, accessibles en lecture/écriture et avec une faible latence (environ
+1 cycle); 
+\\
+  \item \textit{Mémoire partagée}: de 16 Ko à 48 Ko de mémoire par multiprocesseur. C'est une petite mémoire
+extrêmement rapide. Elle est dotée d'une large bande passante mémoire (plus d'un To/s) et d'une faible latence
+(environ 1 à 2 cycles). Elle est accessible en lecture/écriture par tous les processeurs du même multiprocesseur;
+\\
+  \item \textit{Mémoire globale}: chaque GPU est équipé de sa propre RAM (GDDR3 ou GDDR5) de 1 Go à 6 Go. C'est
+une mémoire accessible en lecture/écriture et partagée entre tous les multiprocesseurs au sein d'un même GPU.
+Elle est dotée d'une large bande passante mémoire (jusqu'à 288 Go/s pour la nouvelle génération Kepler). Cependant,
+elle possède un temps d'accès plus lent par rapport aux autres mémoires (200 à 600 cycles);    
+\\
+  \item \textit{Mémoire locale}: de 16 Ko à 512 Ko par processeur. C'est une zone mémoire, accessible en lecture/écriture,
+dans la mémoire globale. Elle est allouée à un processeur dans le cas où un programme, en cours d'exécution,
+nécessite plus de registres que ceux disponibles. Bien évidemment, elle possède les mêmes caractéristiques que la mémoire
+globale;
+\\
+  \item \textit{Mémoire constante}: c'est un espace mémoire de 64 Ko qui réside dans la mémoire globale. Il
+permet de sauvegarder les données dont les valeurs restent constantes au cours de l'exécution d'un programme
+sur le GPU. De plus, chaque multiprocesseur possède une petite \textit{mémoire cache constante} (environ 8 Ko
+par multiprocesseur), accessible en lecture seule par tous ses processeurs. Cette mémoire cache constante
+permet de mettre en cache la mémoire constante, afin d'accélérer les accès mémoires en lecture aux données
+constantes stockées dans la mémoire constante;
+\\
+  \item \textit{Mémoire texture}: n'importe quelle partie de la mémoire globale peut être définie comme une
+mémoire texture. Elle permet d'améliorer le temps des accès irréguliers à la mémoire globale (voir section~\ref{sec:perf}).
+Elle peut prendre en charge des tableaux de différents types de données à un, deux ou trois dimensions. Comme
+pour la mémoire constante, la mémoire texture est mise en cache dans une \textit{mémoire cache texture}, de
+6 Ko à 8 Ko par multiprocesseur. Cette mémoire cache texture est accessible en lecture seule par tous les processeurs
+d'un même multiprocesseur.\\
+\end{itemize*} 
+
+Etant donné que l'espace de la mémoire locale réside dans la mémoire globale, les accès en lecture/écriture
+à celle-ci ont une latence élevée et une bande passante mémoire faible, par rapport à ceux effectués sur la
+mémoire partagée. Les nouvelles architectures, ayant une capacité de calcul supérieure ou égale à 2.x (Fermi,
+Kepler, etc), ont 64 Ko de mémoire par multiprocesseur, configurable en 16 Ko de mémoire partagée et 48 Ko de
+mémoire cache \textit{L1}, en 48 Ko de mémoire partagée et 16 Ko de mémoire cache \textit{L1} ou 32 Ko de mémoire
+partagée et 32 Ko de mémoire cache \textit{L1}. De plus, elles possèdent aussi une mémoire cache \textit{L2}
+de 768 Ko (Fermi) à 1538 Ko (Kepler), partagée entre tous les multiprocesseurs du GPU. Ces deux mémoires caches
+sont souvent utilisées pour améliorer les performances des accès aux mémoires locale et globale. La seule mémoire
+GPU accessible par le CPU est la mémoire globale. Tous les échanges de données entre un CPU et son GPU sont
+effectués via l'interface de communication PCI-Express, de la RAM CPU vers la mémoire globale GPU et vise versa.
+Ainsi, le CPU peut accéder en lecture/écriture aux mémoires globale, texture et constante. 
+
+Dans le monde du calcul haute performance, les architectures massivement parallèles des GPUs offrent des
+performances et des capacités de calcul très intéressantes, pour résoudre de nouveaux problèmes complexes
+de tailles toujours croissantes. Les deux figures \ref{fig:power} et \ref{fig:bandwidth} montrent, respectivement,
+la puissance de calcul et la bande passante mémoire théoriques des GPUs Tesla de différentes architectures.
+La puissance de calcul d'un GPU est représentée par le nombre d'opérations à virgule flottante exécutées
+par seconde (flops/s). La figure~\ref{fig:power} montre qu'un seul GPU peut fournir une puissance de calcul
+dépassant les 1 Tflops/s en simple précision ($10^{12}$ flops/s) et les 500 Gflops/s en double précision
+($5\times10^{11}$ flops/s). Par ailleurs, une bande passante mémoire exprimée en nombre d'octets par seconde
+(o/s) désigne le débit de lecture/écriture des données dans la mémoire globale par les processeurs du GPU.
+La figure~\ref{fig:bandwidth} montre que les bandes passantes mémoires GPU sont très élevées, variant entre
+177 Go/s et 288 Go/s, permettant ainsi de diminuer les attentes dues aux accès à la mémoire et augmenter
+la puissance de calcul.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+  \includegraphics[width=80mm,keepaspectratio]{Figures/Power/power}
+\caption{Performance théorique en Gflops/s des GPUs Tesla de différentes architectures.}
+\label{fig:power}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+  \includegraphics[width=70mm,keepaspectratio]{Figures/Power/bandwidth}
+\caption{Bande passante mémoire théorique en Go/s des GPUs Tesla de différentes architectures.}
+\label{fig:bandwidth}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \centering
+  \includegraphics[width=80mm,keepaspectratio]{Figures/watt}
+\caption{Rapport performance théorique en double précision et consommation d'énergie en Gflops/Watt.}
+\label{fig:watt}
+\end{figure}
+
+Un autre paramètre de performance intéressant des GPUs est leur efficacité énergétique. Dans les
+dernières années, l'architecture des nouveaux produits GPU a été optimisée afin d'augmenter leurs
+puissances de calcul tout en réduisant leurs consommations d'énergie. La figure~\ref{fig:watt}
+illustre le rapport entre la puissance de calcul théorique et la consommation énergétique des GPUs
+de différentes architectures. Ce rapport est exprimé en nombre d'opérations à virgule flottante en
+double précision exécutées par Watt (flops/Watt). Nous pouvons remarquer que les GPUs des deux premières
+générations Tesla et Fermi exécutent au maximum 2 Gflops/Watt, alors que ceux des nouvelles générations
+Kepler et Maxwell, prévues pour 2012 et 2014, pourront exécuter, respectivement, jusqu'à 6 Gflops/Watt
+et 16 Gflops/Watt en double précision. De quoi intéresser les entreprises et les industries pour
+réduire les coûts de consommation énergétique de leurs applications.
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\subsection{Programmation multithreadée CUDA}
+\label{sec:cuda}
+CUDA est un environnement de programmation des GPUs développé par
+NVIDIA~\cite{ref19}, dont la première version a été publiée durant l'année 2007. Il est basé sur le langage
+de programmation C/C++ avec quelques extensions permettant aux GPUs d'exécuter des calculs généraux (applications
+graphiques et/ou non-graphiques), qui sont habituellement exécutés par les CPUs. Une application écrite en
+CUDA est un programme hétérogène qui s'exécute sur un processeur (CPU) équipé d'une carte graphique (GPU). 
+En effet, dans un programme CUDA, les codes à exécuter par le CPU sont définis séparément de ceux à exécuter
+par le GPU. Toutes les opérations à calculs intensifs et faciles à paralléliser sont exécutées par le GPU
+sous formes de \textit{kernels}. Un kernel est une procédure écrite en CUDA et définie par une entête
+\verb+__global__+, qui est destinée à être exécutée par le GPU. Par ailleurs, le CPU exécute toutes les
+opérations séquentielles qui ne peuvent pas être exécutées en parallèle et contrôle l'exécution des kernels
+sur le GPU ainsi que les communications de données entre la mémoire CPU et la mémoire globale GPU.
+
+Au niveau GPU, chaque kernel est exécuté en parallèle par des milliers, voire des millions, de threads.
+Les threads CUDA d'un même kernel sont organisés en grille de plusieurs blocs de threads, qui sont
+distribués, plus ou moins équitablement, sur l'ensemble des multiprocesseurs du GPU (voir figure~\ref{fig:block}).
+En effet, le modèle de programmation CUDA est basé sur un parallélisme de données hiérarchique. Au plus
+haut niveau, un GPU exécute une grille de blocs de threads en appliquant le modèle parallèle SPMD, où
+tous les threads exécutent, simultanément, le même code (kernel) mais opérant sur des données différentes.
+Au niveau intermédiaire, chaque multiprocesseur de GPU exécute un ou plusieurs blocs de threads en appliquant
+le modèle parallèle SIMD. La position d'un bloc de threads dans la grille est repérée par ses coordonnées
+à une, deux ou trois dimensions. Au plus bas niveau, chaque c\oe ur d'un multiprocesseur exécute un ou
+plusieurs threads appartenant au même bloc de threads. A ce niveau, le modèle parallèle SIMT est appliqué
+de façon à ce que chaque instruction d'un kernel soit exécutée, simultanément, par de multiples threads indépendants
+(multiples c\oe urs GPU), opérant sur des données différentes. De même que pour les blocs de threads dans
+une grille, la position d'un thread au sein du bloc, auquel il appartient, est repérée par ses coordonnées
+à une, deux ou trois dimensions.
+\begin{figure}[!h]
+ \centering
+  \includegraphics[width=100mm,keepaspectratio]{Figures/block}
+\caption{Exemple d'exécution des blocs de threads à deux dimensions sur un GPU à 3 multiprocesseurs ayant chacun 8 c\oe urs.}
+\label{fig:block}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[!h]
+ \centering
+  \includegraphics[width=105mm,keepaspectratio]{Figures/threads}
+\caption{Exemple d'exécution d'un warp par un multiprocesseur à 8 c\oe urs.}
+\label{fig:threads}
+\end{figure}
+
+Les threads CUDA peuvent accéder aux différentes mémoires GPU (définies dans la section~\ref{sec:archiGPU})
+de manière hiérarchique. Chaque thread a sa propre mémoire locale et ses propres registres. Ensuite, chaque
+bloc de threads a une mémoire partagée visible par tous ses threads dont la durée de vie des données est la
+même que celle du bloc de threads. Enfin, tous les threads d'un kernel ont accès à la même mémoire globale
+et, ainsi, aux mêmes mémoires texture et constante. De plus, dans les nouvelles architectures GPU, tous les
+threads d'un même bloc partagent une mémoire cache \textit{L1} commune et tous les blocs de threads ont accès
+à la même mémoire cache \textit{L2}.
+
+Au niveau d'un multiprocesseur GPU, les threads d'un même bloc sont exécutés par groupe de 32 threads consécutifs,
+appelé \textit{warp}. Les threads d'un même warp sont exécutés ensemble, instruction par instruction, jusqu'à la fin
+du kernel (voir figure~\ref{fig:threads}) et ils sont libres de suivre des chemins d'exécution identiques ou différents,
+sans aucun point de synchronisation. Au sein d'un même bloc, les threads peuvent coopérer entre eux via la mémoire
+partagée et synchroniser leurs exécutions en utilisant des barrières de synchronisation (\verb+__syncthreads()+
+en CUDA). En revanche, dans la grille de threads d'un kernel, il n'y a aucun moyen de synchronisation entre les
+différents blocs de threads, si ce n'est qu'ils peuvent seulement lire/écrire dans la même mémoire globale. 
+
+Le contexte d'exécution (compteurs d'instructions, registres, etc) de chaque warp actif (n'ayant pas encore 
+atteint la fin du kernel) est sauvegardé et maintenu sur le multiprocesseur durant toute la durée de vie du
+warp. Cela implique que le changement de contexte d'exécution d'un warp à un autre n'a aucune conséquence
+pénalisant le temps d'exécution d'un kernel. Cependant, cela signifie aussi que tous les warps actifs exécutés
+par un multiprocesseur partagent les mêmes ressources. Par conséquent, les nombres de threads par bloc et de
+blocs de threads par grille d'un kernel sont limités par la quantité de ressources disponibles sur un GPU.
+Un kernel ne peut pas s'exécuter sur un GPU lorsque le nombre de threads par bloc, spécifié par le CPU dans
+la configuration d'exécution du kernel, est au-dessus du nombre maximum de threads par bloc (512 threads pour
+Tesla et 1024 threads pour Fermi) ou nécessite plus de registres et/ou d'espace mémoire partagée que disponibles.  
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\subsection{Instructions d'optimisation des performances GPU}
+\label{sec:perf}
+Pour pouvoir exploiter les performances des GPUs, il est nécessaire, tout d'abord et avant tout, de bien
+connaître les propriétés de l'architecture matérielle et de l'environnement de programmation des cartes
+graphiques GPUs utilisées. Par ailleurs, une mise en \oe uvre efficace d'une application sur les GPUs
+nécessite de bien déterminer les tâches séquentielles et les tâches parallèles de cette application.
+En effet, toutes les opérations qui sont faciles à exécuter en parallèle doivent être effectuées par
+le GPU afin d'accélérer l'exécution de l'application. Par contre, toutes les opérations séquentielles
+et les opérations qui nécessitent des dépendances de données entre threads ou à effectuer des calculs
+récursifs doivent être exécutées par un seul thread CUDA ou par le CPU, selon la taille du problème à
+traiter. En fait, l'attente d'un thread pour les résultats de calculs des autres threads affecte 
+considérablement les performances des GPUs.
+
+L'efficacité d'un algorithme mis en \oe uvre sur un GPU est étroitement liée à la manière dont les ressources
+GPU ont été utilisées. Pour optimiser les performances d'un algorithme sur un GPU, il est nécessaire de
+maximiser l'utilisation des c\oe urs GPU (maximiser le nombre de threads exécutés en parallèle) et d'optimiser
+l'utilisation des différentes mémoires GPU.
+
+\subsubsection{Utilisation des c\oe urs GPU}
+Comme nous l'avons déjà présenté dans la section~\ref{sec:cuda}, les différents blocs de threads d'un même
+kernel sont exécutés en parallèle par les différents multiprocesseurs d'un GPU. Afin d'optimiser l'utilisation
+de ces multiprocesseurs, il convient donc que le nombre de blocs de threads soit un multiple du
+nombre de multiprocesseurs du GPU utilisé. Ensuite, chaque bloc de threads est partitionné en warps, car un
+multiprocesseur utilise des warps de 32 threads pour exécuter chaque instruction d'un kernel. Pour maximiser
+l'utilisation du multiprocesseur, il est nécessaire d'utiliser des multiples de 32 threads pour la taille d'un
+bloc de threads (32, 64, 128, etc), dans la limite du nombre maximum de threads par bloc. 
+
+Au niveau d'un multiprocesseur GPU, les différents warps d'un même bloc de threads ne sont pas exécutés en
+parallèle. Toutefois, lorsque un warp actif doit attendre les données ou le résultat d'une longue opération
+(par exemple, l'accès à la mémoire globale), il sera mis dans une file d'attente et un autre warp dans la
+liste des warps prêts (ayant toutes les données nécessaires pour leurs exécutions) sera exécuté. 
+Le nombre de cycles d'horloge nécessaire pour qu'un warp soit prêt à l'exécution est appelé la \textit{latence}.
+Pour masquer les opérations de grande latence, plus particulièrement les accès à la mémoire globale, un bloc
+de threads doit avoir plus de 32 threads et donc, au moins deux warps. 
+
+En outre, les 32 threads d'un même warp exécutent, simultanément, la même instruction d'un kernel (voir section~\ref{sec:cuda}).
+Donc, l'exécution optimale d'un kernel sur un GPU est assurée lorsque tous les threads d'un même warp suivent le 
+même chemin d'exécution. Dans le cas de divergence d'un warp qui se produit lors des structures conditionnelles
+(\verb+if(conditions) ... else ...+), le modèle parallèle SIMT force l'évaluation séquentielle des chemins
+d'exécution des deux branches conditionnelles. En effet, les threads n'entrant pas dans l'une des branches
+conditionnelles doivent attendre la fin d'exécution des autres threads qui eux, sont entrés dans cette branche.
+Par conséquence, le temps d'exécution d'une structure conditionnelle est la somme de ceux des chemins d'exécution
+des différentes branches conditionnelles. 
+
+\subsubsection{Utilisation des mémoires GPU}
+Pour maximiser le débit mémoire d'une application mise en \oe uvre sur un GPU, il est nécessaire de réduire
+les transferts de données entre la mémoire CPU et la mémoire globale GPU, pendant l'exécution de cette
+application. En raison du surcoût des communications CPU/GPU, il est préférable de regrouper les données de
+plusieurs petits transferts en un seul grand transfert de données CPU/GPU, que d'effectuer chaque petit
+transfert séparément. De plus, quand cela est possible, il est intéressant d'utiliser des communications
+asynchrones entre un CPU et son GPU~\cite{ref19}.
+
+Par ailleurs, il est nécessaire aussi de réduire les accès à la mémoire globale et maximiser l'utilisation
+de la mémoire partagée et des mémoires caches (texture, constante et les caches \textit{L1} et \text{L2}
+disponibles dans les nouvelles architectures). La mémoire partagée est la mémoire GPU ayant un temps d'accès
+le plus rapide. Elle est découpée en 16 (Tesla) ou 32 (Fermi et Kepler) modules mémoires de même taille,
+nommés \textit{banques}, qui peuvent être adressés (lus ou écrits) simultanément par différents threads.
+Pour optimiser le débit de la mémoire partagée, il faut que $n$ threads d'un même warp puissent accéder,
+simultanément, à $n$ banques mémoires distinctes ($n$ peut être égal à 16 ou 32, selon l'architecture GPU). 
+Par contre, dans le cas où $m$ différents threads ($m\leq n$) lisent ou écrivent, simultanément, dans la
+même banque mémoire, leurs accès sont traités en séquentiel, ce qui dégradera les performances. Par ailleurs,
+la mémoire partagée est souvent exploitée pour le stockage de données réutilisées plusieurs fois au sein
+d'un même bloc de threads.
+
+De plus, pour une utilisation optimale de la mémoire globale, chaque warp doit effectuer, autant que possible,
+des accès mémoires en lecture/écriture dits \textit{coalescents}. En effet, la mémoire globale est accessible
+via des transactions mémoires, permettant de lire/écrire des cases voisines alignées sur des segments de 32,
+64 ou 128 octets. Selon l'architecture matérielle du GPU, elle peut être adressée par un demi-warp (16 premiers
+ou 16 derniers threads) dans Tesla ou par un warp dans Fermi et Kepler. Donc, une coalescence absolue est
+assurée lorsqu'un demi-warp ou un warp accède, simultanément, à 16 ou 32 mots mémoires, respectivement,
+de même type de données et alignés dans le même segment de la mémoire globale. Le cas contraire se produit
+lorsqu'un demi-warp (Tesla) ou un warp (Fermi et Kepler) accède à $16$ ou $32$ mots mémoires résidant
+dans $n$ segments de mémoire différents. Dans ce dernier cas, $n$ transactions mémoires sont nécessaires
+pour réaliser un seul accès en lecture/écriture pour un demi-warp ou un warp. La figure~\ref{fig:coalescence}
+montre deux exemples d'accès mémoires: coalescent (figure $(a)$) et non coalescent (figure $(b)$). Pour chaque
+architecture, nous avons donné le nombre de transactions mémoires nécessaire pour la lecture ou l'écriture
+de 32 mots mémoires de 4 octets chacun par un warp. Lorsque la coalescence n'est pas assurée, l'utilisation de
+la mémoire texture est recommandée pour améliorer les temps d'accès en lecture à la mémoire globale. 
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \begin{tabular}{c}
+     \includegraphics[width=140mm,keepaspectratio]{Figures/coalescence} \\ 
+     \begin{tabular}{|c|c|c|}
+      \hline
+      Architecture & Tesla & Fermi et Kepler \\ 
+      \hline
+      Nombre de transactions  & 1x de 64 octets à 128 & 1x de 128 octets à 128 \\
+      mémoires                & 1x de 64 octets à 192 &                        \\
+      \hline
+     \end{tabular} 
+     \\ \\
+     (a) Accès mémoire coalescent \\ \\ \\
+
+     \includegraphics[width=140mm,keepaspectratio]{Figures/coalescence_1} \\ 
+     \begin{tabular}{|c|c|c|}
+      \hline
+      Architecture & Tesla & Fermi et Kepler \\ 
+      \hline
+      Nombre de transactions  & 1x de 128 octets à 128 & 1x de 128 octets à 128 \\
+      mémoires                & 1x de 64 octets à 192  & 1x de 128 octets à 256 \\
+                              & 1x de 32 octets à 256  &                        \\
+      \hline
+     \end{tabular} 
+     \\ \\
+     (b) Accès mémoire non coalescent
+  \end{tabular}
+  \caption{Exemples d'accès mémoires coalescent et non coalescent à la mémoire globale par un warp. Un mot
+    mémoire de 4 octets par threads à partir de l'adresse 128.}
+  \label{fig:coalescence}
+\end{figure}
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\section{Plateformes de calcul parallèle multi-GPUs}
+\label{sec:multiGPU}
+
+%\subsection{Clusters GPU}
+
+%\subsection{Grilles de calcul GPU}
+
+%More efficient space and energy use — GPU solutions use less space and energy than traditional HPC installations. 
+%GPU solutions either install into standard PCIe slots inside systems or connect externally as a dedicated
+% server or PCIe chassis using a host interface card.
+
+%There is growing interest in building supercomputers that use graphics processors along with CPUs. GPUs are typically faster than traditional CPUs at executing certain tasks, such as those used in scientif%ic and computing applications. Some institutions like the Tokyo Institute of Technology have announced plans to deploy more GPUs in an effort to squeeze more performance out of servers.
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "these"
+%%% End: 
diff --git a/Figures/CHAPITRE_02.tex~ b/Figures/CHAPITRE_02.tex~
new file mode 100644
index 0000000..ffaff66
--- /dev/null
+++ b/Figures/CHAPITRE_02.tex~
@@ -0,0 +1,930 @@
+\chapter{R\'esolution de syst\`emes lin\'eaires creux}
+\label{chap:sys_lin_creux}
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+%Introduction
+Les systèmes linéaires creux sont utilisés pour la modélisation de nombreux problèmes scientifiques ou industriels,
+comme la simulation des phénomènes de l'environnement et de la terre ou la transformation industrielle des
+fluides complexes ou non-newtoniens. De plus, la résolution de ces problèmes fait souvent appel à la résolution
+de ces systèmes linéaires, qui est considérée comme le processus le plus coûteux en termes de temps de calcul
+et d'espace mémoire. Par conséquent, la résolution de systèmes linéaires creux doit être aussi efficace que
+possible, afin de pouvoir traiter des problèmes de taille toujours croissante.
+
+Il existe, dans le jargon de l'analyse numérique, différentes méthodes de résolution des systèmes linéaires
+creux. Cependant, le choix d'une méthode de résolution est souvent guidé par les propriétés de la matrice creuse
+du système à résoudre (structure, symétrie, densité, dimension, etc), la vitesse et la précision
+de résolution souhaitées. Toutefois, un bon choix de la méthode est aussi guidé par la taille de ces systèmes,
+qui ralentit davantage le processus de résolution. Par conséquence, ces méthodes doivent être faciles à paralléliser
+pour exploiter la puissance de calcul et la capacité mémoire des plateformes de calcul parallèle.  
+
+Dans le présent chapitre, nous décrivons deux classes de méthodes de résolution dans
+la section~\ref{sec:methodes_resolu}, à savoir les méthodes directes et les méthodes itératives. Dans la
+section~\ref{sec:stockage}, nous montrons les différentes structures de données des matrices creuses
+en mémoire, qui permettent d'optimiser l'occupation d'espace mémoire et les accès en lecture/écriture
+à la mémoire. Enfin dans la section~\ref{sec:parallelisation}, nous présentons la parallélisation des 
+méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires creux de grande taille sur les plateformes de 
+calcul parallèle.
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\section{Méthodes de résolution}
+\label{sec:methodes_resolu}
+Soit le système linéaire creux suivant:
+\begin{equation}
+Ax=b,
+\label{eq:linear_syst}
+\end{equation}
+où $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ est une matrice carrée creuse inversible, $x\in\mathbb{R}^{n}$ est le vecteur
+solution, $b\in\mathbb{R}^{n}$ est le vecteur du second membre et $n\in\mathbb{N}$ est un grand entier
+naturel. Les méthodes de résolution des systèmes linéaires sont, plus ou moins, classifiées en deux grandes
+familles: les méthodes \emph{directes} et les méthodes \emph{itératives}. Dans l'analyse numérique,
+un algorithme permettant de résoudre un système linéaire creux est appelé un \emph{solveur linéaire creux direct}
+ou \emph{itératif}, selon le type de la méthode de résolution qu'il utilise.
+
+\subsection{Méthodes directes}
+Les méthodes directes sont les méthodes numériques les plus anciennes pour la résolution des systèmes
+linéaires. De plus, jusqu'aux années quatre-vingts,
+%dans les années précédentes, 
+elles ont souvent été préférées aux méthodes itératives,
+en raison de leur \emph{robustesse} et de leur comportement \emph{prévisible}. En effet, que ce soit
+pour des matrices denses ou creuses, ces méthodes permettent d'obtenir, théoriquement en l'absence des erreurs
+d'arrondi, une solution \emph{exacte} en un nombre d'opérations élémentaires \textit{fini} et \emph{connu a priori}.
+La plupart des méthodes directes sont basées, principalement, sur deux étapes de calcul: la factorisation
+de la matrice suivant ses propriétés (symétrie, définie positive, etc) et la résolution
+par des substitutions successives~\cite{ref1}. 
+
+Parmi les solveurs directs les plus utilisés, nous pouvons citer le \textit{solveur LU} basé sur la
+méthode de factorisation \textit{LU}~\cite{ref2}. Dans un premier temps, ce solveur procède à la factorisation de
+la matrice des coefficients $A$ du système linéaire à résoudre (\ref{eq:linear_syst}). Dans cette étape,
+la matrice $A$ est décomposée en deux matrices triangulaires inférieure $L=(l_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$
+et supérieure $U=(u_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$, de façon à ce que la matrice $A$ puisse s'écrire sous
+forme d'un produit des deux matrices $L$ et $U$. Une fois la factorisation établie, le solveur \textit{LU}
+résout le système linéaire en deux étapes:
+\begin{itemize*}
+\item la résolution du système $Ly=b$ par l'algorithme de \emph{descente} (substitutions successives
+avant ou résolution de haut vers le bas),
+\item puis, la résolution du système $Ux=y$ par l'algorithme de \emph{remontée} (substitutions successives
+arrière ou résolution de bas vers le haut).
+\end{itemize*}
+
+Cependant, les méthodes directes de résolution des systèmes linéaires creux sont souvent plus
+compliquées que celles des systèmes denses. La principale difficulté réside dans l'étape de factorisation
+de la matrice. En effet, durant la construction des deux facteurs triangulaires $L$ et $U$, certains
+zéros de la matrice creuse d'origine, $A$, peuvent devenir des valeurs non nulles dans les matrices $L$
+et $U$, ce que l'on appelle, communément, processus de \emph{remplissage}. Par conséquent, une mise en \oe uvre
+efficace d'un solveur direct creux dépend largement des structures de données en mémoire (formats de stockage)
+des valeurs non nulles des matrices $L$ et $U$. De ce fait, un solveur direct creux est généralement
+basé sur quatre étapes distinctes~\cite{ref3,ref4} au lieu de deux comme dans les solveurs denses:
+\begin{enumerate*}
+ \item Réorganisation de la matrice $A$: qui consiste à réordonner les lignes et les colonnes de $A$,
+et donc les valeurs non nulles, de telle sorte que les facteurs $L$ et $U$ subissent peu de remplissage
+à l'étape de factorisation numérique;
+ \item Factorisation symbolique: qui détermine a priori les structures de données appropriées aux valeurs
+non nulles des facteurs $L$ et $U$;
+ \item Factorisation numérique: qui calcule les facteurs $L$ et $U$;
+ \item Résolution du système linéaire creux: qui effectue les substitutions avant-arrière en utilisant
+les deux facteurs $L$ et $U$ calculés à l'étape précédente. 
+\end{enumerate*}
+Dans le cas des matrices creuses symétriques et définies positives (valeurs propres strictement posistives),
+les quatres étapes peuvent être bien
+séparées comme dans le solveur \textit{CHOLMOD}~\cite{ref5}. Pour les matrices creuses asymétriques,
+les solveurs directs peuvent fusionner les étapes 2 et 3 en une seule étape comme les solveurs \textit{SuperLU}~\cite{ref6}
+et \textit{MUMPS}~\cite{ref20},
+ou même fusionner les étapes 1, 2 et 3 comme le solveur \textit{UMFPACK}~\cite{ref7}.
+
+Toutefois, les méthodes directes ne sont pas bien adaptées pour la résolution des systèmes linéaires
+creux de très grandes dimensions, et en particulier, ceux associés aux problèmes tridimensionnels. En fait,
+l'occupation espace mémoire du processus de factorisation croît \textit{superlinéairement}
+avec la taille de la matrice et dépend fortement de la structure de cette dernière (positions des valeurs non nulles)
+pour réduire le remplissage. Hélas, quelque soit le nombre de fois que les coefficients de la
+matrice sont réordonnés, cela n'empêche pas le remplissage de croître rapidement et proportionnellement
+à la taille de la matrice. En outre, les solveurs directs sont très coûteux en termes de temps de résolution
+qui est de $\mathcal{O}(n^{3})$, où $n$ représente la taille du système. Dans ce cas, les méthodes itératives
+décrites dans la section~\ref{sec:iterative}, sont particulièrement plus utiles lorsque les systèmes linéaires
+à résoudre sont creux et de très grande dimension car, contrairement aux méthodes directes, aucun processus de remplissage n'est nécessaire.  
+
+\subsection{Méthodes itératives}
+\label{sec:iterative}
+Les méthodes itératives procédent par itérations successives
+d'un même bloc d'opérations élémentaires, au cours desquelles une séquence infinie de solutions approximatives
+$\{x^{(k)}\}_{k\geq0}$ est générée. A partir d'une solution initiale $x^{(0)}$ (choisie pour la première
+itération), une méthode itérative détermine à chaque itération
+$k\geq1$, une solution approximative, $x^{(k)}$, qui converge progressivement vers la solution exacte, $x^{*}$,
+du système linéaire~\ref{eq:linear_syst}, telle que:
+\begin{equation}
+x^{*}=\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)}=A^{-1}b\in\mathbb{R}^{n}.
+\end{equation}
+
+A la différence d'une méthode directe, le nombre d'itérations d'une méthode itérative nécessaire pour
+atteindre la solution exacte du système linéaire à résoudre \textit{n'est pas connu} au préalable et
+peut être \textit{infini}. Cependant, dans la pratique, un solveur itératif donne souvent une solution
+approximative satisfaisant une précision requise et/ou après un nombre maximum d'itérations fixé a priori.
+Les critères d'arrêt les plus fréquemment utilisés par les solveurs itératifs sont les suivants:
+\begin{itemize}
+  \item $\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|<\varepsilon$: erreur absolue,
+  \item $\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|<\varepsilon\|x^{(k-1)}\|$: erreur relative,
+  \item $\|b-Ax^{(k)}\|<\varepsilon\|b\|$: résidu de la solution. 
+\end{itemize}
+où $x^{(k)}$ est la solution approximative obtenue à l'itération $k\leqslant K$, $K$ étant le nombre maximum
+d'itérations, et $\varepsilon$ est le seuil de tolérance requis pour la précision de calcul. Ainsi, un solveur
+linéaire itératif est dit \textit{convergent} si pour tout choix de la solution initiale $x^{(0)}\in\mathbb{R}^{n}$,
+l'erreur ou le résidu de la solution finale $x^{(k)}\in\mathbb{R}^{n}$, obtenue après $k$ itérations, est
+suffisamment \textit{petit}. Cependant, la convergence des méthodes itératives n'est pas toujours assurée
+et dépend fortement des caractéristiques du système linéaire, à savoir: la structure creuse, le conditionnement
+et le rayon spectral de la matrice des coefficients $A$. Il existe différentes classes de méthodes itératives
+et le choix de l'utilisation d'une méthode est souvent guidé par son efficacité de résolution et les propriétés du système
+linéaire à résoudre. Nous citons ici, globalement, trois classes de méthodes itératives:
+stationnaires, non stationnaires et multigrilles.
+
+\subsubsection{Méthodes stationnaires}
+Les méthodes itératives \textit{stationnaires} permettant de résoudre le système linéaire (\ref{eq:linear_syst}),
+peuvent être exprimées sous la forme simple suivante:
+\begin{equation}
+\forall k\in\mathbb{N}, x^{(k+1)}=f(x^{(k)})=Cx^{(k)}+d,
+\end{equation}
+telle que $f$ soit une fonction \textit{affine} représentant un schéma de point fixe, où la matrice d'itération $C$
+et le vecteur $d$ restent \textit{inchangés} pour toutes les itérations $k$. Les méthodes itératives
+stationnaires sont basées sur la décomposition de la matrice des coefficients, $A$, comme suit:
+\begin{equation}
+A=M-N,
+\end{equation}
+de sorte que le système linéaire (\ref{eq:linear_syst}) puisse s'écrire sous forme: $Mx=Nx+b$ à laquelle est 
+associée l'itération suivante:
+\begin{equation}
+x^{(k+1)}=Cx^{(k)}+d=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}b,
+\end{equation}
+où $M$ est une matrice inversible. Par conséquent, une méthode itérative stationnaire est \textit{convergente}
+vers la solution exacte $x^{*}$ si, et seulement si, le rayon spectral (la plus grande valeur propre) de la matrice $C$ est strictement
+inférieur à $1$: $\rho(C)<1$. Les principales méthodes itératives stationnaires sont basées sur la décomposition
+de la matrice des coefficients en matrices diagonale $D$, triangulaire strictement inférieure $L$ et
+triangulaire strictement supérieure $U$: $A=D-L-U$. Parmi ces méthodes itératives nous pouvons citer~\cite{ref8}:
+\begin{itemize}
+  \item Jacobi: $M=D$ et $N=L+U$,
+  \item Gauss-Seidel: $M=D-L$ et $N=U$, 
+  \item Surrelaxation successive (SOR): $M=D-\omega L$ et $N=\omega U+(1-\omega)D$ et $\omega>0$, 
+  \item Richardson: $C=I-\omega A$, $d=\omega b$ et $\omega>0$.
+\end{itemize}
+
+L'algorithme~\ref{alg:stationnaire} présente les principaux points clés d'un solveur itératif
+stationnaire. Il permet de calculer, à partir d'une solution initiale $x^{(0)}$, une série de
+solutions approximatives successives $x$, jusqu'à ce que la convergence soit atteinte
+(dans l'algorithme, à la ligne $7$, résidu<$\varepsilon$).
+
+\begin{algorithm}[H]
+  \SetLine
+  \linesnumbered
+  \Entree{$A$ (matrice), $C$ (matrice d'itération), $b$ (vecteur), $d$ (vecteur)}
+  \Sortie{$x$ (vecteur)}
+     
+  \BlankLine
+
+  choisir $x^{(0)}$ solution initiale, $\varepsilon$ seuil de tolérance\;
+  variables $k$, $convergence$\;
+  $convergence \leftarrow faux$\;
+  $k \leftarrow 0$\;
+  
+  \Tq{$\neg convergence$}
+  {
+    évaluer: $x^{(k+1)}=f(x^{(k)})=Cx^{(k)}+d$\;
+    $convergence \leftarrow (\|b-Ax^{(k+1)}\|\cdot\|b\|^{-1}<\varepsilon)$\;
+    $k \leftarrow k+1$\;
+  }
+\caption{Algorithme général d'un solveur itératif stationnaire}
+\label{alg:stationnaire}
+\end{algorithm}
+
+La ligne $6$ de l'algorithme~\ref{alg:stationnaire} permet de calculer les composantes du
+vecteur $x$ en appliquant la fonction affine de la méthode itérative stationnaire utilisée.
+Par exemple, dans les méthodes Jacobi et Gauss-Seidel, les $n$ composantes du vecteur
+$x$ à l'itération $(k+1)$ sont calculées comme suit: 
+
+\begin{tabular}{rl}
+  $Jacobi:$& $ x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b$\hspace{1.6cm}$\Leftrightarrow$\\ \\
+  & $x^{(k+1)}_{i}=(b_{i}-\displaystyle\sum_{j\neq i}a_{ij}x^{(k)}_{i})/a_{ii}$, $\forall i,j$, $ 1\leqslant i,j\leqslant n$,  \\ \\
+  $Gauss-Seidel:$ & $x^{(k+1)}=(D-L)^{-1}Ux^{(k)}+(D-L)^{-1}b$\hspace{0.5cm}$\Leftrightarrow$\\ \\
+  & $x^{(k+1)}_{i}=(b_{i}-\displaystyle\sum_{j<i}a_{ij}x^{(k+1)}_{i}-\displaystyle\sum_{j>i}a_{ij}x^{(k)}_{i})/a_{ii}$, $\forall i,j$, $ 1\leqslant i,j\leqslant n$. 
+\end{tabular}
+
+Comme nous l'avons évoqué, précédemment, le principal critère de choix entre les solveurs
+itératifs est l'efficacité, et donc la convergence, des méthodes de résolution utilisées
+par ces derniers. Par exemple, pour trouver la nouvelle solution $x$ à l'itération $(k+1)$,
+la méthode Jacobi utilise toutes les composantes du vecteur $x$ calculées à l'itération
+précédente $k$, alors que la méthode Gauss-Seidel utilise les nouvelles composantes
+calculées à l'itération courante $(k+1)$ dès que possible. Par conséquent, cette technique
+de mise à jour des composantes du vecteur solution $x$ permet au solveur Gauss-Seidel
+d'effectuer moins d'itérations et donc d'avoir, en général, une convergence plus rapide que
+le solveur Jacobi.
+
+Les méthodes stationnaires sont les méthodes itératives les plus anciennes et leurs
+algorithmes sont simples à comprendre et à mettre en \oe uvre. Cependant, elles sont souvent
+moins efficaces pour la résolution de beaucoup de systèmes linéaires creux, vu leur applicabilité
+limitée à certains types de matrices. Ces dernières années, les méthodes non stationnaires,
+définies dans la section suivante, sont devenues les méthodes itératives les plus utilisées
+pour leur efficacité à résoudre plusieurs types de systèmes linéaires.
+
+\subsubsection{Méthodes non stationnaires}
+\label{sec:non-stationnaire}
+Les méthodes \textit{non stationnaires} sont les méthodes itératives les 
+plus récentes; leurs algorithmes sont généralement plus difficiles à comprendre et à 
+mettre en \oe uvre, mais elles peuvent être plus efficaces pour la résolution de certains systèmes
+linéaires creux. Elles peuvent être exprimées sous la forme suivante:
+\begin{equation}
+  \forall k\in\mathbb{N}, x^{(k+1)}=f_{k}(x^{(k)}),
+\end{equation}
+où, contrairement aux méthodes stationnaires, la fonction $f_{k}$ permettant de calculer
+le nouvel itéré $x^{(k+1)}$ diffère d'une itération à l'autre. En fait, les méthodes non stationnaires 
+impliquent des données qui \textit{changent} à chaque itération et qui déclinent des opérations
+vectorielles utilisées par les méthodes itératives, comme les produits scalaires et les 
+opérations \textit{AXPY} ($y\leftarrow ax+y$).
+
+Le principe général des méthodes non stationnaires est la construction d'une séquence de 
+vecteurs orthogonaux et les projections sur des sous-espaces. L'une des classes importantes
+des méthodes non stationnaires est celle des \textit{méthodes itératives de Krylov}.
+L'idée générale d'une méthode de Krylov~\cite{ref8} est de chercher une approximation, $x^{(k)}$, de 
+la solution de système linéaire (\ref{eq:linear_syst}) dans un sous-espace de Krylov,
+$\mathcal{K}_{k}$, d'ordre $k$:
+\begin{equation}
+x^{(k)}-x^{(0)}=q_{k-1}(A)r^{(0)}\in\mathcal{K}_{k}(A,r^{(0)}),
+\end{equation}
+telle que la condition Petrov-Galerkin soit satisfaite:\[b-Ax^{(k)}\bot\mathcal{L}_{k},\]
+où $q_{k-1}$ est un polynôme de degré $k-1$ et $\mathcal{L}_{k}$ est un autre sous-espace
+vectoriel d'ordre $k$. Le sous-espace de Krylov d'ordre $k$, noté $\mathcal{K}_{k}(A,r^{(0)})$, 
+est un sous-espace vectoriel construit sur $A$ et $r^{(0)}$ et engendré par les $k$ vecteurs
+orthogonaux deux à deux $r^{(0)}$, $Ar^{(0)}$, $\dots$, $A^{(k-1)}r^{(0)}$ (base orthonormée):
+\[\mathcal{K}_{k}(A,r^{(0)})\equiv \text{engendré}\{r^{(0)}, Ar^{(0)}, A^{2}r^{(0)}, \dots, A^{k-1}r^{(0)}\},\]
+où $r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$ est le résidu initial de la solution initiale $x^{(0)}$ choisie, plus 
+ou moins aléatoirement, au démarrage du solveur de Krylov. 
+
+La plupart des méthodes de Krylov sont basées sur des itérations ne requierant que des multiplications
+de la matrice du système par un vecteur, des produits scalaires et des additions de vecteurs; et
+elles diffèrent généralement dans le choix de $\mathcal{L}_{k}$, le calcul d'une base orthonormée
+pour $\mathcal{K}_{k}$ (certaines méthodes utilisent la matrice creuse $A$ et d'autres utilisent 
+sa transposée $A^{T}$) et la réinitialisation de cette base à toutes les $m$ itérations (restarts).
+Les méthodes de Krylov ont, généralement, une convergence plus rapide que les méthodes stationnaires.
+Néanmoins, pour certains types de matrices creuses, elles n'arrivent pas à converger ou elles
+effectuent de nombreuses itérations pour converger. En pratique, elles sont, généralement,
+utilisées avec un \textit{préconditionneur} qui permet d'améliorer et/ou d'accélérer leur convergence.
+Le processus de préconditionnement consiste à remplacer le système linéaire creux (\ref{eq:linear_syst})
+par l'un des deux systèmes suivants:
+\begin{equation}M^{-1}Ax=M^{-1}b,\label{eq:left}\end{equation}
+\begin{center}ou\\\end{center}
+\begin{equation}\begin{array}{cc}AM^{-1}\hat x=b, & x=M^{-1}\hat x,\end{array}\label{eq:right}\end{equation}
+qui sont plus faciles à résoudre. $M$ représente la matrice de préconditionnement et les formules (\ref{eq:left})
+et (\ref{eq:right}) représentent, respectivement, le préconditionnement à gauche et le préconditionnement
+à droite du système linéaire $Ax=b$. Il existe beaucoup de méthodes de Krylov~\cite{ref8,ref9}, par exemple
+\textit{CG} ($\mathcal{L}_{k}=\mathcal{K}_{k}$), \textit{GMRES} ($\mathcal{L}_{k}=A\mathcal{K}_{k}$) et \textit{BICG}
+($\mathcal{L}_{k}=\mathcal{K}_{k}(A^{T},r^{(0)})$).
+
+\subsubsection{Méthodes multigrilles}
+Une autre catégorie de méthodes itératives est celle des méthodes \textit{multigrilles} dont les origines
+remontent aux années soixante \cite{ref10}. Initialement conçues pour la résolution de l'équation de Poisson,
+les méthodes multigrilles ont rapidement évolué pour être appliquées à un large éventail d'applications dans
+le domaine de la physique ou des mathématiques des finances, comme par exemple la résolution des problèmes
+linéaires ou non linéaires avec des conditions aux limites \cite{ref11} ou des problèmes d'optimisation \cite{ref12}.
+
+Les méthodes itératives standards, comme Jacobi et Gauss-Seidel, sont caractérisées par un faible taux de
+convergence global, $\tau$, qui peut être défini à l'itération $k$ comme suit:
+\begin{equation}
+  \tau_{k}=\frac {\|r^{(k)}\|} {\|r^{(k-1)}\|} = \frac {\|b-Ax^{(k)}\|} {\|b-Ax^{(k-1)}\|},
+\end{equation}
+où $r^{(k)}$ est le résidu de la solution approximative $x^{(k)}$ trouvée après $k$ itérations. En fait, malgré
+leur convergence rapide aux premières itérations, ces méthodes itératives peinent à maintenir leur vitesse
+de convergence tout le long de la résolution. Cela peut être expliqué par leur incapacité à réduire les basses
+fréquences de l'erreur, ce qui se traduit par la décroissance lente de la norme du résidu durant les dernières
+itérations de la résolution. Par conséquent, beaucoup d'itérations sont nécessaires pour donner une solution
+approchée intéressante lorsque la vitesse de convergence est faible. A cet effet, les méthodes multigrilles
+sont conçues pour améliorer la vitesse de convergence de ces méthodes itératives et ainsi, réduire leur coût
+de résolution. 
+
+Comme leur nom l'indique, les méthodes multigrilles utilisent différents niveaux de maillages réguliers
+(au moins deux grilles), du plus fin au plus grossier, chaque n\oe ud de maillage étant espacé d'un autre
+d'une distance $2qh$, tel que $q\in\mathbb{N}$ représente le niveaux de la grille. Pour des raisons de
+simplicité, nous ne décrirons, ci-après, que le principe général de résolution d'une méthode à deux grilles
+sur laquelle sont basées, d'ailleurs, l'ensemble des méthodes multigrilles. On considère un système
+linéaire creux (\ref{eq:fine}) discrétisé sur un maillage $\Omega_{h}$ de pas $h=\frac{1}{n+1}$, $n$
+étant le nombre de points de discrétisation:
+\begin{equation}
+  \begin{array}{lll}
+    A_{h}x_{h}=b_{h}, & sur & \Omega_{h},\\
+  \end{array} 
+\label{eq:fine}
+\end{equation}
+où $A_{h}$, $x_{h}$ et $b_{h}$ représentent, respectivement, la matrice creuse, le vecteur solution et le
+second membre du système discrétisé sur $\Omega_{h}$. La résolution de ce système par une méthode itérative
+permet de trouver seulement une approximation $x_{h}$ à la solution exacte $x_{h}^{*}$ sur $\Omega_{h}$.
+L'erreur algébrique $e_{h}$ et le résidu $r_{h}$ de cette solution approximative peuvent être calculés comme
+suit: 
+\begin{equation}
+  e_{h}=x^{*}_{h}-x_{h},
+\label{eq:erreur}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+  r_{h}=b_{h}-A_{h}x_{h},
+\label{eq:residu}
+\end{equation}
+De ces deux dernières formules, nous pouvons déduire l'équation de l'erreur suivante:
+\begin{equation}
+ \begin{array}{lll}
+  A_{h}e_{h}=r_{h}, & sur & \Omega_{h},
+ \end{array} 
+\label{eq:residuelle}
+\end{equation} 
+L'objectif de la méthode bigrille \cite{ref13} est de réduire les basses fréquences de l'erreur sur
+la grille grossière $\Omega_{2h}$, que la méthode itérative n'a pas réussie à éliminer sur la gille fine
+$\Omega_{h}$. En fait, les basses fréquences de l'erreur sur la grille fine apparaissent comme des hautes fréquences de
+l'erreur sur la grille grossière, qui sont faciles à éliminer par les méthodes itératives. Le principe
+général d'une méthode bigrille repose sur la résolution de l'équation de l'erreur (\ref{eq:residuelle}) sur la grille
+grossière $\Omega_{2h}$, pour trouver une erreur $e_{h}$ permettant de corriger la valeur de la solution
+approximative $x_{h}$: $x_{h}=x_{h}+e_{h}$, obtenue après quelques itérations sur la grille fine
+$\Omega_{h}$. L'algorithme \ref{alg:bigrille} montre les principaux points clés d'une méthode bigrille.
+Les processus de pré-lissage et de post-lissage consistent à effectuer quelques itérations d'un solveur
+itératif (par exemple Jacobi ou Gauss-Seidel) sur la grille fine, afin d'éliminer les hautes fréquences
+de l'erreur. Les deux opérateurs de restriction $R^{2h}_{h}$ et de prolongement $P^{h}_{2h}$ permettent le
+transfert des données entre la grille fine et la grille grossière. $A_{2h}$ est la matrice d'itération sur
+la grille grossière, telle que: $A_{2h}=R_{h}^{2h}A_{h}P_{2h}^{h}$. La résolution de l'équation de l'erreur
+avec une méthode itérative sur la grille grossière (à la ligne $7$ de l'algorithme \ref{alg:bigrille})
+permet de trouver l'erreur de correction de la solution approximative $x_{h}$ obtenue sur la grille fine
+et ainsi, d'éliminer les basses fréquences de l'erreur. 
+
+\begin{algorithm}[H]
+  \SetLine
+  \linesnumbered
+  \Entree{$A$ (matrice), $b$ (vecteur)}
+  \Sortie{$x$ (vecteur)}
+     
+  \BlankLine
+
+  choisir $x_{h}^{0}$ solution initiale, $\varepsilon$ seuil de tolérance\;
+  $convergence \leftarrow faux$\;
+  
+  \Tq{$\neg convergence$}
+  {
+    Pré-lissage: résoudre $A_{h}x_{h}=b_{h}$ sur $\Omega_{h}$\;
+    Calcul du résidu: $r_{h}=b_{h}-A_{h}x_{h}$\;
+    Restriction sur $\Omega_{2h}$: $r_{2h}=R_{h}^{2h}r_{h}$\;
+    Résoudre: $A_{2h}e_{2h}=r_{2h}$ sur $\Omega_{2h}$\;
+    Prolongement sur $\Omega_{h}$: $e_{h}=P^{h}_{2h}e_{2h}$\;
+    Correction: $x_{h}=x_{h}+e_{h}$\;
+    Post-lissage: résoudre $A_{h}x_{h}=b_{h}$ sur $\Omega_{h}$\; 
+    $convergence \leftarrow (\|b_{h}-A_{h}x_{h}\|<\varepsilon)$\;
+    $x_{h}^{0}\leftarrow x_{h}$\;
+  }
+\caption{Algorithme général d'une méthode bigrille}
+\label{alg:bigrille}
+\end{algorithm}
+
+Cependant, dans la pratique, les méthodes multigrilles ne se limitent pas à deux grilles
+pour obtenir une convergence rapide. Elles sont, souvent, appliquées avec plusieurs grilles
+de plus en plus grossières: $\Omega_{h}$, $\Omega_{2h}$, $\Omega_{4h}$, $\Omega_{8h}$, $\cdots$.
+L'idée générale de ces méthodes est l'application récursive du principe de la méthode bigrille.
+En effet, les méthodes multigrilles appliquent une méthode bigrille pour résoudre l'équation
+de l'erreur (ligne 7 de l'algorithme~\ref{alg:bigrille}), afin de trouver une meilleure correction
+de la solution approximative. Il existe plusieurs versions de ce type de méthodes, par exemple
+\textit{V-cycle}, \textit{W-cycle} ou \textit{FMG}, qui sont présentées dans~\cite{ref14,ref15,ref16}.
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\section{Formats de stockage des matrices creuses}
+\label{sec:stockage}
+La plupart des méthodes itératives sont basées sur des opérations de calcul traitant des vecteurs et des
+matrices (voir section~\ref{sec:iterative}). Cependant, parmi toutes ces opérations, seule la multiplication
+matrice-vecteur est considérée comme l'opération la plus importante des méthodes itératives, car elle est
+souvent très coûteuse en termes de temps d'exécution et d'occupation espace mémoire. Par conséquent,
+l'efficacité d'une méthode itérative dépend fortement de la performance de calcul de sa multiplication
+matrice-vecteur.
+
+En outre, dans le cas des systèmes linéaires creux, la multiplication matrice-vecteur nécessite, aussi, une
+attention très particulière pour le format de stockage de la matrice creuse dans la mémoire. Le stockage
+naïf, ligne par ligne ou colonne par colonne, d'une matrice creuse peut causer une perte considérable
+d'espace mémoire et de temps de calcul. En fait, les éléments nuls de la matrice sont sauvegardés dans
+la mémoire alors que leur prise en compte dans la multiplication est totalement inutile. De plus, la
+nature creuse de la matrice engendre, souvent, des accès irréguliers à la mémoire pour la lecture de ses
+éléments non nuls et ceci, ne peut que dégrader encore davantage la performance de la multiplication
+matrice-vecteur.
+
+Néanmoins, une matrice creuse permet, aussi, de tirer profit de son aspect creux et ce, en ne sauvegardant
+que ses éléments non nuls, qui permettra ainsi, de réduire la taille de la mémoire nécessaire
+pour le stockage et d'accélérer le calcul de la multiplication matrice-vecteur. Il existe dans la
+littérature~\cite{ref8,ref17}, plusieurs formats de stockage compressés pour les matrices creuses. Ils permettent un accès
+facile aux éléments non nuls en connaissant leurs coordonnées dans la mémoire et une exécution intelligente
+des opérations de calcul sur ces éléments. Dans la présente section, nous décrivons au total cinq
+formats de compression des matrices creuses, qui sont intéressants pour la suite de ce document.
+
+\subsection{COO}
+\textit{COO} (Coordinate) est un format de stockage particulièrement simple. Il permet de représenter une matrice
+creuse sous forme d'une structure de données composée de trois tableaux: un tableau de réels, $Val$, contenant
+tous les éléments non nuls de la matrice creuse $A$ et deux tableaux d'entiers,
+$Lig$ et $Col$, contenant les indices de lignes et les indices de colonnes de ces éléments non nuls, respectivement.
+Les trois tableaux ont une taille $nnz$ (nombre d'éléments non nuls de la matrice). La figure~\ref{fig:coo}
+décrit le format \textit{COO} pour une matrice creuse d'ordre $(4\times4)$, $A$, et l'algorithme~\ref{alg:coo} présente
+la multiplication matrice-vecteur pour ce format de stockage. 
+\begin{figure}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c}
+$A=\left[
+\begin{matrix}
+a_{00} & 0 & 0 & a_{03} \\
+0 & 0 & a_{12} & 0 \\
+a_{20} & a_{21} & a_{22} & 0 \\
+0 & a_{31} & 0 & a_{33} \\
+\end{matrix}
+\right]
+$
+\\
+\\
+$
+\begin{array}{cccccccccccc}
+Val & = & [ & a_{00} & a_{03} & a_{12} & a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{31} & a_{33} & ] \\
+Lig & = & [ & 0     & 0      & 1     & 2      & 2     & 2      & 3     & 3      & ] \\
+Col & = & [ & 0     & 3      & 2     & 0      & 1     & 2      & 1     & 3      & ] \\
+\end{array}
+$
+\end{tabular}
+\caption{Le format de stockage COO}
+\label{fig:coo}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Dans le format \textit{COO}, les éléments non nuls d'une matrice creuse peuvent être stockés ligne par ligne (voir
+l'exemple de la figure~\ref{fig:coo}), colonne par colonne ou dans un ordre quelconque. Cependant, ce format
+n'est efficace que pour les matrices creuses non structurées, autrement, nous pouvons remarquer que dans le
+cas de stockage ligne par ligne (ou colonne par colonne), le tableau $Lig$ (respectivement, le tableau $Col$)
+peut contenir des informations redondantes successives qui pointent le même indice de ligne (respectivement, le même indice de
+colonne). Cela impliquerait un espace mémoire non négligeable pour stocker une grande matrice creuse structurée.
+
+\begin{algorithm}
+  \SetLine
+  \linesnumbered
+  \Entree{$Val$, $Lig$ et $Col$ (matrice), $nnz$ (nombre d'éléments non nuls), $n$ (taille de la matrice), $x$ (vecteur)}
+  \Sortie{$y$ (vecteur)}
+  \BlankLine
+  variables $i$, $j$, $id$\; 
+  \Pour{$i=0$ \KwA $n-1$}{
+    $y[i] \leftarrow 0$\;
+  }
+  \BlankLine
+  \Pour{$id=0$ \KwA $nnz-1$}{
+    $i \leftarrow Lig[id]$\;
+    $j \leftarrow Col[id]$\;
+    $y[i] \leftarrow y[i] + Val[id] \times x[j]$\;
+  }
+\caption{Multiplication matrice-vecteur avec le format COO}
+\label{alg:coo}
+\end{algorithm}
+
+\subsection{CSR vs. CSC}
+Les formats \textit{CSR} (Compressed Sparse Row) et \textit{CSC} (Compressed Sparse Column) sont, probablement,
+les plus connus et les plus utilisés pour le stockage des matrices creuses. En effet, ce
+sont deux formats qui ne posent aucune condition sur la structure creuse de la matrice et
+ne permettent de stocker que les informations nécessaires sur la matrice.
+Ils permettent de représenter la matrice creuse sous forme de trois tableaux de données. Comme
+le format \textit{COO}, le format \textit{CSR} (respectivement, \textit{CSC}) stocke les $nnz$ éléments non nuls de la matrice
+et leurs indices de colonnes (respectivement, leurs indices de lignes) ligne par ligne (respectivement, colonne
+par colonne) dans deux tableaux distincts $Val$ et $Col$ (respectivement, $Val$ et $Lig$). Un troisième
+tableau d'une taille $n+1$, $Ptr$, est utilisé pour stocker la position du premier élément
+non nul de chaque ligne de la matrice (respectivement, de chaque colonne de la matrice). La figure~\ref{fig:csr}
+donne les formats de stockage \textit{CSR} et \textit{CSC} de la matrice creuse $A$ donnée comme exemple.
+Les algorithmes~\ref{alg:csr} et~\ref{alg:csc} présentent une multiplication
+matrice-vecteur avec le format \textit{CSR} et celle avec le format \textit{CSC}, respectivement.
+
+\begin{figure}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c}
+$A=\left[
+\begin{matrix}
+a_{00} & 0      & 0     & a_{03} \\
+0     & 0      & a_{12} & 0 \\
+a_{20} & a_{21} & a_{22} & 0 \\
+0     & a_{31} & 0      & a_{33} \\
+\end{matrix}
+\right]
+$
+\\
+\\
+$
+CSR:\left\{
+\begin{array}{ccccccccccccc}
+Val & = & [ & a_{00} & a_{03} & a_{12} & a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{31} & a_{33} &   & ] \\
+Col & = & [ & 0     & 3      & 2     & 0      & 1     & 2      & 1     & 3      &   & ] \\
+Ptr & = & [ & 0     &        & 2     & 3      &       &        & 6     &        & 8 & ] \\ 
+\end{array}
+\right.
+$
+\\
+\\
+$
+CSC:\left\{
+\begin{array}{ccccccccccccc}
+Val & = & [ & a_{00} & a_{20} & a_{21} & a_{31} & a_{12} & a_{22} & a_{03} & a_{33} &   & ] \\
+Lig & = & [ & 0     & 2      & 2     & 3      & 1     & 2      & 0     & 3      &   & ] \\
+Ptr & = & [ & 0     &        & 2     &        & 4     &        & 6     &        & 8 & ] \\ 
+\end{array}
+\right.
+$
+\end{tabular}
+\caption{Le format de stockage CSR et CSC}
+\label{fig:csr}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Les formats \textit{CSR} et \textit{CSC} sont sûrement les plus économes en espace mémoire pour
+le stockage des matrices creuses mais, ils ne sont pas forcément les plus efficaces.
+En effet, d'après l'algorithme~\ref{alg:csr}, chaque opération atomique ($y[i] \leftarrow y[i] + Val[id] \times x[j]$) de la
+multiplication matrice-vecteur \textit{CSR} nécessite le chargement de l'indice de colonne
+et un accès indirect à la mémoire pour lire la valeur du vecteur $x$ correspondante.
+De même, pour le format \textit{CSC} (algorithme~\ref{alg:csc}), chaque opération atomique
+de la multiplication requiert un chargement de l'indice de ligne et puis un accès
+indirect à la mémoire pour écrire la valeur du vecteur $y$ à l'adresse
+correspondante. Donc, la multiplication sur des matrices ayant des lignes ou des
+colonnes très creuses engendrera des accès mémoires très irréguliers, ce qui dégaradera
+certainement sa performance de calcul.
+
+\begin{algorithm}
+  \SetLine
+  \linesnumbered
+  \Entree{$Val$, $Col$ et $Ptr$ (matrice), $n$ (taille de la matrice), $x$ (vecteur)}
+  \Sortie{$y$ (vecteur)}
+  \BlankLine
+   variables $i$, $j$, $id$\; 
+  \Pour{$i=0$ \KwA $n-1$}{
+    $y[i] \leftarrow 0$\;
+  }
+  \BlankLine
+  \Pour{$i=0$ \KwA $n-1$}{
+    \Pour{$id=Ptr[i]$ \KwA $Ptr[i+1]-1$}{
+      $j \leftarrow Col[id]$\;
+      $y[i] \leftarrow y[i] + Val[id] \times x[j]$\;
+    }
+  }
+\caption{Multiplication matrice-vecteur avec le format CSR}
+\label{alg:csr}
+\end{algorithm}
+
+\begin{algorithm}
+  \SetLine
+  \linesnumbered
+  \Entree{$Val$, $Lig$ et $Ptr$ (matrice), $n$ (taille de la matrice), $x$ (vecteur)}
+  \Sortie{$y$ (vecteur)}
+  \BlankLine
+  variables $i$, $j$, $id$\; 
+  \Pour{$i=0$ \KwA $n-1$}{
+    $y[i] \leftarrow 0$\;
+  }
+  \BlankLine
+  \Pour{$j=0$ \KwA $n-1$}{
+    \Pour{$id=Ptr[j]$ \KwA $Ptr[j+1]-1$}{
+      $i \leftarrow Lig[id]$\;
+      $y[i] \leftarrow y[i] + Val[id] \times x[j]$\;
+    }
+  }
+\caption{Multiplication matrice-vecteur avec le format CSC}
+\label{alg:csc}
+\end{algorithm}
+
+\subsection{ELLPACK/ITPACK}
+\textit{ELLPACK/ITPACK}, ou plus couramment \textit{ELL}, est parmi les structures de données
+les plus génériques pour le stockage des matrices creuses dans la mémoire. De plus, elle est plus
+particulièrement adaptée à la représentation des matrices, plus ou moins, structurées et aux
+calculs sur des architectures vectorielles. Le stockage en format \textit{ELL} d'une matrice creuse,
+$A$, de taille $(n\times n)$, ayant au maximum $m$ éléments non nuls par ligne, utilise deux matrices
+de données de taille $(n\times m)$: une matrice de réels, $Val$, et une matrice d'entiers, $Col$.
+Une ligne d'indice $i$ de chacune des matrices $Val$ et $Col$ correspond aux éléments non nuls et
+leurs indices de colonne, respectivement, de la ligne d'indice $i$ de la matrice creuse $A$.
+Les lignes qui ont moins de $m$ éléments non nuls dans la matrice creuse $A$ sont complétées par
+des zéros dans les matrices $Val$ et $Col$. La figure~\ref{fig:ell} montre un stockage \textit{ELL}
+d'une matrice creuse de taille $(4\times 4)$. Dans cet exemple, les matrices $Val$ et $Col$ sont
+complétées par des étoiles ($*$), qui correspondent aux zéros dans la mémoire. L'algorithme~\ref{alg:ell}
+montre la mutiplication matrice-vecteur
+avec le format \textit{ELL}, telles que les deux matrices $Val$ et $Col$ soient stockées ligne par ligne
+dans la mémoire. 
+\begin{figure}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c}
+\begin{tabular}{c}
+$A=\left[
+\begin{matrix}
+a_{00} & 0      & 0     & a_{03} \\
+0     & 0      & a_{12} & 0 \\
+a_{20} & a_{21} & a_{22} & 0 \\
+0     & a_{31} & 0      & a_{33} \\
+\end{matrix}
+\right]
+$
+\end{tabular}
+\\
+\\
+\begin{tabular}{cc}
+$Val=\left[
+\begin{matrix}
+a_{00} & a_{03} & * \\
+a_{12} & *      & * \\
+a_{20} & a_{21} & a_{22} \\
+a_{31} & a_{33} & * \\
+\end{matrix}
+\right],
+$
+&
+$Col=\left[
+\begin{matrix}
+0 & 3 & * \\
+2 & * & * \\
+0 & 1 & 2 \\
+1 & 3 & * \\
+\end{matrix}
+\right]
+$
+\end{tabular}
+\end{tabular}
+\caption{Le format de stockage ELL}
+\label{fig:ell}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+\begin{algorithm}[H]
+  \SetLine
+  \linesnumbered
+  \Entree{$Val$ et $Col$ (matrice), $n$ (taille de la matrice), $m$ (nombre maximum d'éléments non nuls par ligne), $x$ (vecteur)}
+  \Sortie{$y$ (vecteur)}
+  \BlankLine
+   variables $i$, $j$, $l$, $id$\; 
+  \Pour{$i=0$ \KwA $n-1$}{
+    $y[i] \leftarrow 0$\;
+  }
+  \BlankLine
+  \Pour{$i=0$ \KwA $n-1$}{
+    \Pour{$l=0$ \KwA $m-1$}{
+      $id \leftarrow n \times i + l$\;
+      $j \leftarrow Col[id]$\;
+      $y[i] \leftarrow y[i] + Val[id] \times x[j]$\;
+    }
+  }
+\caption{Multiplication matrice-vecteur avec le format ELL}
+\label{alg:ell}
+\end{algorithm}
+
+\subsection{HYB}
+Le format hybride (\textit{HYB}) est la combinaison de deux structures de données, qui sont le format 
+\textit{ELL} et le format \textit{COO}. Bien que le format de stockage \textit{ELL} soint bien adapté aux
+multiplications matrice-vecteur calculées sur des architectures vectorielles, son efficacité se dégrade
+rapidement lorsque le nombre d'éléments non nuls varie substantiellemnt d'une ligne de matrice à une
+autre, ce qui est souvent le cas avec les matrices creuses non structurées. En revanche, la performance
+des multiplications matrice-vecteur basées sur le format de stockage \textit{COO} est insensible aux
+variations du nombre d'éléments non nuls par ligne de la matrice creuse.
+
+Le principe de la structure de données \textit{HYB} consiste à stocker un nombre typique $m$ d'éléments
+non nuls par ligne en format \textit{ELL} et le reste des éléments non nuls des lignes exeptionnelles
+en format \textit{COO}. Le nombre typique $m$ est souvent déterminé a priori de telle sorte que la
+majorité de la matrice creuse ait une structure régulière et ainsi, soit facile à représenter en format
+\textit{ELL}. De cette manière, le format \textit{HYB} hérite l'efficacité du format \textit{ELL} due
+à ses accès réguliers à la mémoire et la flexibilité du format \textit{COO} qui est insensible à la
+structure creuse de la matrice. La figure~\ref{fig:hyb} illustre la structure de données \textit{HYB}
+d'une matrice creuse $A$ d'ordre $(4\times 4)$, utilisant un format \textit{ELL} avec 2 éléments par
+ligne ($m=2$). L'algorithme~\ref{alg:hyb} présente le code d'une
+multiplication matrice-vecteur avec le format de stockage \textit{HYB}.
+
+\begin{figure}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c}
+
+\begin{tabular}{c}
+$A=\left[
+\begin{matrix}
+a_{00} & 0      & 0     & a_{03} \\
+0     & 0      & a_{12} & 0 \\
+a_{20} & a_{21} & a_{22} & 0 \\
+0     & a_{31} & 0      & a_{33} \\
+\end{matrix}
+\right]
+$
+\end{tabular}
+\\
+\\
+\begin{tabular}{cc}
+$
+ELL:
+$
+&
+\begin{tabular}{ccc}
+$
+Val_{ell}=\left[
+\begin{matrix}
+a_{00} & a_{03}\\
+a_{12} & *    \\
+a_{20} & a_{21} \\
+a_{31} & a_{33} \\
+\end{matrix}
+\right],
+$
+&
+$
+Col_{ell}=\left[
+\begin{matrix}
+0 & 3\\
+2 & * \\
+0 & 1 \\
+1 & 3 \\
+\end{matrix}
+\right]
+$
+\end{tabular}
+\\
+\\
+$
+COO:
+$
+&
+\begin{tabular}{ccc}
+$Val_{coo}=[a_{22}],$ & $Lig_{coo}=[2],$ & $Col_{coo} = [2]$\\
+\end{tabular}
+\\
+\end{tabular}
+\end{tabular}
+\caption{Le format de stockage HYB}
+\label{fig:hyb}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+\begin{algorithm}[H]
+  \SetLine
+  \linesnumbered
+  \Entree{$Val_ {ell}$ et $Col_{ell}$ (matrice ELL), $Val_ {coo}$, $Lig_{coo}$ et $Col_{coo}$ (matrice COO), 
+$n$ (taille de la matrice ELL), $m$ (nombre maximum d'éléments non nuls par ligne dans la matrice ELL), 
+$nnz$ (nombre d'éléments non nuls dans la matrice COO), $x$ (vecteur)}
+  \Sortie{$y$ (vecteur)}
+  \BlankLine
+  variables $i$, $j$, $l$, $id$\; 
+  \Pour{$i=0$ \KwA $n-1$}{
+    $y[i] \leftarrow 0$\;
+  }
+  \BlankLine
+  \Pour{$i=0$ \KwA $n-1$}{
+    \Pour{$l=0$ \KwA $m-1$}{
+      $id \leftarrow n \times i + l$\;
+      $j \leftarrow Col_{ell}[id]$\;
+      $y[i] \leftarrow y[i] + Val_{ell}[id] \times x[j]$\;
+    }
+  }
+  \BlankLine
+  \Pour{$id=0$ \KwA $nnz-1$}{
+    $i \leftarrow Lig_{coo}[id]$\;
+    $j \leftarrow Col_{coo}[id]$\;
+    $y[i] \leftarrow y[i] + Val_{coo}[id] \times x[j]$\;
+  }
+\caption{Multiplication matrice-vecteur avec le format HYB}
+\label{alg:hyb}
+\end{algorithm}
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\section{Parallélisation des méthodes itératives}
+\label{sec:parallelisation}
+L'adaptation des solveurs itératifs aux architectures des calculateurs parallèles est devenue une
+nécessité impérieuse pour la résolution des systèmes linéaires creux de taille toujours croissante.
+En effet, les calculateurs parallèles fournissent les ressources et la puissance de calcul nécessaires
+pour une résolution haute performance de grands systèmes linéaires creux. 
+
+La parallélisation d'un solveur itératif sur une plateforme parallèle, comportant $p$ processeurs, requiert
+tout d'abord un partitionnement des données du système linéaire à résoudre sur l'ensemble des $p$ processeurs.
+Le partitionnement de données consiste à attribuer aux différents processeurs des portions, plus ou moins égales,
+des vecteurs et des matrices impliqués dans le solveur itératif. Par la suite, tous les processeurs procèdent,
+en parallèle, à la résolution de leurs parties du système linéaire, en appliquant les itérations d'une même méthode
+itérative mais sur des données différentes. Toutefois, les calculs locaux des différents processeurs sont liés
+par des dépendances de données, qui permettent la résolution du système global. A cet effet, des points
+de synchronisation doivent être mis en place dans un solveur itératif parallèle, lors desquels des données partagées
+sont échangées entre des processeurs voisins.
+
+Dans ce document, nous nous intéressons à la parallélisation des méthodes itératives sur des plateformes de calcul
+parallèle à mémoire distribuée. Donc, lors des points de synchronisation, les dépendances de
+données sont gérées par des communications à passage de messages entre les processeurs. Les algorithmes
+parallèles des méthodes itératives peuvent être classifiés selon la nature \textit{synchrone} ou \textit{asynchrone}
+de leurs itérations ainsi que celle de leurs communications~\cite{ref18}.
+
+\subsection{Méthodes itératives SISC}
+Les solveurs itératifs parallèles les plus classiques sont ceux dits à Itérations Synchrones
+et Communications Synchrones (\textit{SISC}). Le synchronisme des itérations décline du fait que chaque
+processeur ne peut commencer le calcul de sa nouvelle itération que lorsqu'il reçoit, de la
+part de tous ses voisins, les données partagées calculées à l'itération précédente. Ainsi, tous
+les processeurs commencent le calcul de la même itération au même temps et effectuent les échanges
+de données partagées à la fin de chaque itération par le biais des communications globales synchrones.
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \includegraphics[width=170mm,keepaspectratio]{Figures/SISC}
+  \caption{Un exemple de schéma d'exécution d'un solveur itératif parallèle SISC avec deux processeurs}
+  \label{fig:SISC}
+\end{figure}
+
+La figure~\ref{fig:SISC} montre un schéma d'exécution d'un algorithme parallèle \textit{SISC}.
+Le synchronisme des itérations des solveurs itératifs parallèles \textit{SISC} impliquent,
+exactement, le même nombre d'itérations que leurs homologues en séquentiel. Par conséquent,
+les conditions de leur convergence sont faciles à déterminer, vu qu'elles sont identiques
+à celles des solveurs itératifs séquentiels. Cependant, l'utilisation des communications
+synchrones peut pénaliser les performances de ce type d'algorithmes. En fait, les
+communications synchrones engendrent, souvent, des temps d'inactivité des processeurs
+(les espaces blancs entre deux itérations calculées par un même processeur dans la
+figure~\ref{fig:SISC}), dues soit à l'attente pour un processeur (ou des processeurs)
+qu'il soit prêt pour communiquer ou à la vitesse lente des communications synchrones
+elles-mêmes dans la plateforme de calcul parallèle.
+
+\subsection{Méthodes itératives SIAC}
+Un autre type de solveurs itératifs parallèles a été conçu pour améliorer les performances
+de résolution sur les plateformes à réseau d'interconnection lent et/ou hétérogène. Ce sont
+les solveurs à Itérations Synchrones et Communications Asynchrones
+(\textit{SIAC}). Il permettent de réduire les temps d'inactivité des processeurs entre deux itérations
+successives, en utilisant des communications asynchrones et cela, tout en maintenant le
+principe des itérations synchrones. En effet, comme les algorithmes \textit{SISC}, un processeur
+attend toujours la réception de toutes les données partagées, calculées par ses voisins à
+l'itération précédente, avant de commencer les calculs de la nouvelle itération. Toutefois,
+les communications synchrones globales utilisées, pour les échanges de données partagées, dans
+les algorithmes \textit{SISC} sont remplacées par des envois asynchrones et des réceptions bloquantes.
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \includegraphics[width=170mm,keepaspectratio]{Figures/SIAC}
+  \caption{Un exemple de schéma d'exécution d'un solveur itératif parallèle SIAC avec deux processeurs}
+  \label{fig:SIAC}
+\end{figure}
+
+La figure~\ref{fig:SIAC} montre un exemple de schéma d'exécution d'un solveur itératif parallèle
+\textit{SIAC}. Les conditions de convergence des solveurs itératifs \textit{SIAC} sont identiques à ceux des solveurs
+itératifs \textit{SISC} et ainsi, à ceux des solveurs itératifs séquentiels. Cependant, les communications
+asynchrones permettent d'effectuer des chauvechaments entre les calculs et les échanges de données.
+En fait, un processeur peut envoyer les données partagées à son voisin dès qu'elles soient 
+prêtes à être utilisées dans les calculs de la nouvelle itération, ce qui permet de réduire les temps
+d'attente de réception de données entre deux itérations successives.
+
+\subsection{Méthodes itératives AIAC}
+Les méthodes itératives parallèles synchrones de type \textit{SISC} ou \textit{SIAC} ont
+été, largement, utilisées pour la résolution de grands systèmes linéaires creux. Elles sont, relativement,
+faciles à mettre en \oe uvre et présentent des taux de convergence, plus ou moins, rapides selon la méthode utilisée. Néanmoins, le synchronisme
+de leurs itérations et/ou de leurs communications pénalise sévèrement les performances de
+résolution sur des grilles de calcul à clusters géographiquement distants. En effet, ce
+type d'architectures parallèles est souvent caractérisé par la latence forte de ses liens de
+communications (plus précisément les liens inter-clusters) et par l'hétérogénéité de ses
+ressources. 
+
+Les solveurs itératifs parallèles conçus pour améliorer les performances de résolution
+sur les plateformes à ressources hétérogènes et géographiquement distantes sont ceux
+dits à Itérations Asynchrones et Communications Asynchrones (\textit{AIAC}). Dans ce
+type de solveurs parallèles, chaque processeur exécute ses propres itérations sans
+prendre en compte la progression de l'exécution de celles des autres processeurs. En
+effet, un processeur passe d'une itération à l'autre sans attendre l'arrivée des nouvelles
+données partagées mises à jour par ses voisins. Il utilise les données locales et les
+dernières versions des données partagées disponibles au début du calcul de chaque itération.
+De plus, pour assurer l'asynchronisme des itérations, les solveurs itératifs \textit{AIAC}
+utilisent des communications asynchrones de type envois et réceptions non bloquants.
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \includegraphics[width=170mm,keepaspectratio]{Figures/AIAC}
+  \caption{Un exemple de schéma d'exécution d'un solveur itératif parallèle AIAC avec deux processeurs}
+  \label{fig:AIAC}
+\end{figure}
+
+La figure~\ref{fig:AIAC} présente un schéma d'exécution d'un solveur itératif
+parallèle de type \textit{AIAC}. Nous pouvons remarquer que l'asynchronisme des
+itérations et des communications permet aux processeurs d'éviter les temps
+d'inactivité et d'exécuter des itérations différentes à un moment donné de la
+résolution. De ce fait, certains processeurs peuvent être plus rapides dans leurs
+calculs et effectuer plus d'itérations que les autres. Cependant, les solveurs
+itératifs asynchrones \textit{AIAC} ont des conditions de convergence plus strictes
+et effectuent plus d'itérations que les solveurs synchrones \textit{SISC} et \textit{SIAC}.
+Par conséquent, ils nécessitent une analyse plus élaborée pour déterminer les
+bons indicateurs de convergence.
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+\section{Conclusion}
+Dans ce chapitre, nous avons commencé par présenter les méthodes de résolution des systèmes linéaires creux.
+Premièrement, nous avons abordé l'analyse des méthodes directes qui permettent de trouver la solution exacte en un
+nombre d'opérations élémentaires fini. Cependant, pour la résolution des systèmes linéaires creux, nous avons mis
+en évidence l'existence d'une opération de remplissage à l'étape de factorisation des matrices creuses. L'opération de
+remplissage est très coûteuse en termes de temps d'exécution et d'espace mémoire et, plus précisément, pour
+les matrices creuses de grande taille. Ensuite, nous avons décrit les méthodes itératives qui permettent de 
+calculer une solution approximative en exécutant des itérations successives d'un même bloc d'opérations
+élémentaires. Nous avons cité trois grandes familles de méthodes itératives à savoir: les méthodes 
+stationnaires, les méthodes non stationnaires et les méthodes multigrilles. Celles-ci sont plus adaptées à la
+résolution des systèmes linéaires de grande taille et plus faciles à paralléliser. 
+
+Puis, nous avons étudié différentes structures de données des matrices creuses en mémoire. Elles permettent
+un stockage optimisé des éléments non nuls des matrices creuses, de façon à ce que les accès en lecture/écriture
+à la mémoire soient faciles à effectuer. Par conséquence, elles permettent d'améliorer les performances de
+calcul des méthodes de résolution. Enfin, nous avons donné les principaux points clés de la parallélisation
+des méthodes itératives sur les plateformes de calcul parallèle à mémoire distribuée, afin de résoudre des
+systèmes linéaires creux à très grande échelle. Nous avons présenté trois différentes méthodes itératives
+parallèles, classifiées selon la nature synchrone ou asynchrone de leurs itérations et/ou de leurs communications.
+Les méthodes synchrones sont plus efficaces sur des petits clusters homogènes ayant des liens de communications
+rapides, alors que les méthodes asynchrones offrent de meilleures performances sur les plateformes à clusters
+hétérogènes et géographiquement distants.
+
+Dans la suite de ce document, nous nous intéresserons à la parallélisation des méthodes itératives sur des
+clusters équipés de cartes graphiques GPUs. Nous décrirons les principaux points clés des algorithmes parallèles
+de quelques méthodes itératives, les plus utilisées, pour la résolution des systèmes linéaires ou non linéaires
+creux. Ensuite, nous effectuerons une comparaison de performance entre les solveurs itératifs parallèles
+mis en \oe uvre sur les clusters de GPUs et les mêmes solveurs mis en \oe uvre sur les clusters CPUs.      
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "these"
+%%% End: 
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new file mode 100644
index 0000000..5b06509
--- /dev/null
+++ b/Figures/Introduction.tex~
@@ -0,0 +1,25 @@
+\chapter*{Introduction\markboth{Introduction}{Introduction}}
+\label{chap:introduction}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction}
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+%Introduction
+La résolution des systèmes linéaires à large échelle apparaissent souvent au c\oe{}ur des traitements numériques
+de plusieurs applications scientifiques et industrielles, intervenant dans différents domaines comme le
+processus d'électrophorèse d'ADN dans la biologie moléculaire, l'étude du comportement aérodynamique des
+véhicules conçus dans la dynamique des fluides et, les prévisions météorologiques numériques et modélisations
+atmosphériques. Elle souvent considérée comme le processus le plus coûteux, en terme de temps d'exécution CPU
+et consommation d'espace mémoire, des calculs numériques de ces applications. Par conséquent, elle doit être
+aussi efficace que possible afin de résoudre des problèmes de taille toujours croissante. Cependant, les systèmes
+linéaires traités par ces applications ne sont pas seulement de très grandes dimensions mais aussi possédent
+peu de coefficients non nuls. Cet aspet creux des systèmes linéaires ne fait que ralentir encore davantage
+les calculs numériques dus aux accès irréguliers à la mémoire pour lire les coefficients non nuls.  
+
+On peut résoudre un système linéaire creux par différentes méthodes. Toutes les méthodes sont bonne, mais 
+
+%%-------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "these"
+%%% End: 
diff --git a/Figures/bib.tex~ b/Figures/bib.tex~
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
diff --git a/Figures/ch1/RDM-eps-converted-to.pdf b/Figures/ch1/RDM-eps-converted-to.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c87e922
Binary files /dev/null and b/Figures/ch1/RDM-eps-converted-to.pdf differ
diff --git a/Figures/ch1/RDM.eps b/Figures/ch1/RDM.eps
new file mode 100644
index 0000000..58046bb
--- /dev/null
+++ b/Figures/ch1/RDM.eps
@@ -0,0 +1,29773 @@
+%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0 
+%%BoundingBox: 0 0 1025 338
+%%Pages: 0
+%%Creator: LibreOffice 3.5
+%%Title: none
+%%CreationDate: none
+%%LanguageLevel: 2
+%%EndComments
+%%BeginProlog
+%%BeginResource: procset SDRes-Prolog 1.0 0
+/b4_inc_state save def
+/dict_count countdictstack def
+/op_count count 1 sub def
+userdict begin
+0 setgray 0 setlinecap 1 setlinewidth 0 setlinejoin 10 setmiterlimit[] 0 setdash newpath
+/languagelevel where {pop languagelevel 1 ne {false setstrokeadjust false setoverprint} if} if
+/bdef {bind def} bind def
+/c {setrgbcolor} bdef
+/l {neg lineto} bdef
+/rl {neg rlineto} bdef
+/lc {setlinecap} bdef
+/lj {setlinejoin} bdef
+/lw {setlinewidth} bdef
+/ml {setmiterlimit} bdef
+/ld {setdash} bdef
+/m {neg moveto} bdef
+/ct {6 2 roll neg 6 2 roll neg 6 2 roll neg curveto} bdef
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+/gs {gsave} bdef
+/gr {grestore} bdef
+/f {findfont dup length dict begin
+{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall /Encoding ISOLatin1Encoding def
+currentdict end /NFont exch definefont pop /NFont findfont} bdef
+/p {closepath} bdef
+/sf {scalefont setfont} bdef
+/ef {eofill}bdef
+/pc {closepath stroke}bdef
+/ps {stroke}bdef
+/pum {matrix currentmatrix}bdef
+/pom {setmatrix}bdef
+/bs {/aString exch def /nXOfs exch def /nWidth exch def currentpoint nXOfs 0 rmoveto pum nWidth aString stringwidth pop div 1 scale aString show pom moveto} bdef
+%%EndResource
+%%EndProlog
+%%BeginSetup
+%%EndSetup
+%%Page: 1 1
+%%BeginPageSetup
+%%EndPageSetup
+pum
+1 1 s 
+0 -338 t
+/tm matrix currentmatrix def
+pum
+0 338 t 
+1025 338 s 
+/DeviceRGB setcolorspace
+<<
+/ImageType 1
+/Width 1025
+/Height 338
+/BitsPerComponent 8
+/Decode[0 1 0 1 0 1]
+/ImageMatrix[1025 0 0 -338 0 338]
+/DataSource currentfile
+/ASCIIHexDecode filter
+>>
+image
+FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
+FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
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+FFFFFFFFFFA2D1A22994290080000080000080000080000080005AAD5AFFFFFFFFFFFF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Binary files /dev/null and b/Figures/ch1/WSN-M.pdf differ
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new file mode 100644
index 0000000..1d4c7fc
Binary files /dev/null and b/Figures/ch1/WSN-S.pdf differ
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new file mode 100644
index 0000000..7237951
Binary files /dev/null and b/Figures/ch1/WSNAP-eps-converted-to.pdf differ
diff --git a/Figures/ch1/WSNAP.eps b/Figures/ch1/WSNAP.eps
new file mode 100644
index 0000000..0ab1b13
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+++ b/Figures/ch1/WSNAP.eps
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+%%EndResource
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+0 780 t 
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+>>
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+FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
+FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF>
+pom
+0 752 t 
+pom
+count op_count sub {pop} repeat countdictstack dict_count sub {end} repeat b4_inc_state restore
+%%PageTrailer
+%%Trailer
+%%EOF
diff --git a/Figures/ch1/wsn.jpg b/Figures/ch1/wsn.jpg
new file mode 100644
index 0000000..b311a63
Binary files /dev/null and b/Figures/ch1/wsn.jpg differ
diff --git a/Figures/ch2/DESK.jpeg b/Figures/ch2/DESK.jpeg
new file mode 100644
index 0000000..d9f1e62
Binary files /dev/null and b/Figures/ch2/DESK.jpeg differ
diff --git a/Figures/ch2/GAF1.jpeg b/Figures/ch2/GAF1.jpeg
new file mode 100644
index 0000000..87e46e2
Binary files /dev/null and b/Figures/ch2/GAF1.jpeg differ
diff --git a/Figures/ch2/GAF2.jpeg b/Figures/ch2/GAF2.jpeg
new file mode 100644
index 0000000..56bda79
Binary files /dev/null and b/Figures/ch2/GAF2.jpeg differ
diff --git a/Figures/citation.tex~ b/Figures/citation.tex~
new file mode 100644
index 0000000..3b63dee
--- /dev/null
+++ b/Figures/citation.tex~
@@ -0,0 +1,27 @@
+
+\cleardoublepage
+\thispagestyle{empty}
+~ 
+\vfill 
+\begin{flushright}
+
+\begin{tabular}{p{8cm}}
+\textit{It is not permitted to the most equitable of men to be a judge in his own cause.}
+\begin{flushright}
+Blaise Pascal (1670)
+\end{flushright}
+\end{tabular}
+
+\end{flushright}
+
+
+\vfill
+\cleardoublepage
+
+
+
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "these"
+%%% End: 
diff --git a/Figures/entete.tex~ b/Figures/entete.tex~
new file mode 100644
index 0000000..8ea0660
--- /dev/null
+++ b/Figures/entete.tex~
@@ -0,0 +1,277 @@
+% Types de documents : article, report, book, slides
+% Options :
+%	Taille du papier : a4paper, a5paper, letterpaper (défaut), executivepaper, legalpaper
+%	Taille de la police : 10pt (défaut), 11pt, 12pt
+%	Formules alignées à gauche (défaut : centrées) : fleqn
+%	Numérotation des formules à gauche (défaut : droite) : leqno
+%	(Pas de) Nouvelle page après le titre du document : titlepage (défaut pour report et book), notitlepage (défaut pour article)
+%	Colonnes : twocolumn
+%	Recto (/ verso) : twoside (défaut pour book), oneside (défaut pour article et report)
+%	Nouveau chapitre sur page de droite ou sur prochaine page (ne pas utiliser avec article) : openright (défaut pour book), openany (défaut pour report)
+%\documentclass[a4paper,11pt,titlepage,twoside]{report}
+\documentclass[a4paper,11pt,titlepage,twoside,openright]{book}
+
+% Définition des marges
+\usepackage{vmargin}
+\setpapersize[portrait]{A4}
+%         {gauche}{haut}{droite}{bas}{headheight}{headsep}{footheight}{footskip}
+\setmarginsrb{25mm}{15mm}{15mm}{25mm}{5mm}{5mm}{0mm}{10mm} % A4 reliable
+%\setmargnohfrb{25mm}{10mm}{15mm}{10mm} % Sans en-tête ni pied de page
+%\setmarginsrb{20mm}{15mm}{20mm}{25mm}{5mm}{5mm}{0mm}{10mm} % A4 classique
+
+
+%\setlength{\oddsidemargin}{0.6cm}%{1cm}   %raf {0.6cm}
+%\setlength{\evensidemargin}{-0.6cm}%{0cm}   %raf {-0.6cm}
+%\setlength{\marginparwidth}{0cm}   %raf {0cm}
+%\setlength{\marginparsep}{0cm}   %raf {0cm}
+%\setlength{\marginparpush}{0.6cm}%{0cm}   %raf {0.6cm}
+%\setlength{\topmargin}{0cm}   %raf {0cm}
+%\setlength{\voffset}{0cm}   %raf {0cm}
+%\setlength{\textwidth}{16cm}%{15cm}   %raf {16cm}
+%%\setlength{\textheight}{\paperheight}
+%\setlength{\textheight}{29cm}
+%
+%\addtolength{\textheight}{-1.5in}%{-2in}   %raf {-1.5in}
+%\addtolength{\textheight}{-\footskip}
+%\addtolength{\textheight}{-\topmargin}
+%\addtolength{\textheight}{-\headheight}
+%\addtolength{\textheight}{-\headsep}
+%\addtolength{\textheight}{-\headsep}
+
+
+% Première cellule d'un tableau en deux parties "titre colonnes \ titres lignes"
+\usepackage{slashbox}
+
+
+% Extension pour avoir de jolis chapitres
+\usepackage[Glenn]{fncychap}
+\makeatletter
+\ChNameAsIs
+\ChTitleAsIs
+\ChTitleVar{\bfseries\Huge\rm}
+\makeatother
+
+% Algorithmes
+\usepackage{algorithmic}
+%\usepackage{algorithm}
+%\usepackage{algorithmic}
+%\usepackage{algorithm2e}
+\usepackage[ruled,french]{algorithm2e}
+% Extension pour faire du multicolonne localisé
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{array}
+\usepackage{mdwlist}
+\usepackage{multirow}
+\usepackage{color}
+
+% Extensions pour le français
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+
+% UTF-8
+\usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+%\usepackage{ucs}
+
+%% Maths
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+% Extension pour le support des polices Text Companion
+% (fournit divers symboles).
+\usepackage{textcomp}
+%\usepackage{commath}
+
+%% Pour la bibliographie des publications
+\usepackage[sectionbib]{natbib}
+\usepackage[labeled,resetlabels]{multibib}
+
+
+% Extension d'amélioration des références croisées (commande \vpageref)
+\usepackage[french]{varioref}
+
+
+% Extension pour les graphiques EPS
+%\usepackage[dvips]{graphicx}
+%\usepackage[pdftex,final]{graphicx}
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{{images/}}
+
+% Extension pour les liens intra-documents (tagged PDF)
+% et l'affichage correct des URL (commande \url{http://example.com})
+\usepackage{hyperref}
+
+% Extension pour que plus de titres apparaissent dans la table des matières
+% (table des matières, bibliographie, index).
+%\usepackage{tocbibind}
+
+% Extension d'amélioration des commandes verbatim
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{moreverb}
+\renewcommand\verbatimtabsize{2\relax} % Les tabulations ont une largeur de 2.
+
+
+% Extension pour encadrer (environnement "framed")
+\usepackage{framed}
+
+
+% Extension d'amélioration des commentaires (environnement "comment")
+\usepackage{comment}
+\newtheorem{remark}{Remark}
+
+
+% Style de page par défaut (modifiable pour la page en cours avec la commande thispagestyle style
+% Styles possibles :
+%	plain : numéro de page au milieu du pied de page (style par défaut)
+%	headings : titre du chapitre courant et numéro de page en en-tête, pied de page vide	
+%	empty : en-tête et pied de page vides
+%\pagestyle{headings}
+
+
+% Type d'interligne
+\linespread{1} % interligne par défaut
+%\linespread{1.3} % interligne "un et demi"
+%\linespread{1.6} % double interligne
+
+
+% Style des paragraphes
+%\setlength{\parindent}{0pt} % suppression de l'indentation du début de paragraphe. Pour ensuite indenter un paragraphe, utiliser \indent au début de ce paragraphe (contraire : \noindent). Pour indenter le premier paragraphe après un titre, charger l'extension "indentfirst".
+%\setlength{\parskip}{1ex plus 0.5ex minus 0.2ex} % espace entre deux paragraphes
+\newcommand{\espacementnormal}{\setlength{\parskip}{1ex plus 0.5ex minus 0.2ex}}
+\espacementnormal
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%
+%%  Commandes persos
+%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\newcommand{\ti}[1]{\textit{#1}}
+\newcommand{\tg}[1]{\textbf{#1}}
+
+%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}}
+%\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{\thesectio\ \ #1}}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%% Divers
+\def\pref#1{\ref{#1} page \pageref{#1}}
+
+% Extension pour afficher un sommaire
+% \shorttableofcontents{Sommaire}{N}
+% Avec N :
+%    -1 : parties
+%     0 : chapitres
+%     1 : sections
+%     etc.
+\usepackage{shorttoc}
+\newcommand{\sommaire}{
+	\setlength{\parskip}{0ex} % évite qu'il n'y ait trop d'espace entre les titres des chapitres
+	\addcontentsline{toc}{chapter}{Table des matières} % Ajoute une ligne "Sommaire" à la table des matières
+	\shorttableofcontents{Table des matières}{4} % Affiche le sommaire (parties et chapitres)
+	\espacementnormal
+}
+
+\newcommand{\tabledesmatieres}{
+	\setlength{\parskip}{0ex} % suppression de l'espace entre les paragraphes
+	\tableofcontents
+	\espacementnormal
+}
+
+%%%%%%%%%%%%%%
+\usepackage{amssymb}
+
+%%%%%%%%%%%%%%
+
+%%% francisation des algorithmes
+%\renewcommand{\algorithmicrequire} {\textbf{\textsc{Entrées:}}}
+%\renewcommand{\algorithmicensure}  {\textbf{\textsc{Sorties:}}}
+%\renewcommand{\algorithmicwhile}   {\textbf{Tantque}}
+%\renewcommand{\algorithmicdo}      {\textbf{Faire}}
+%\renewcommand{\algorithmicendwhile}{\textbf{Fin tantque}}
+%\renewcommand{\algorithmicend}     {\textbf{Fin}}
+%\renewcommand{\algorithmicif}      {\textbf{Si}}
+%\renewcommand{\algorithmicendif}   {\textbf{Finsi}}
+%\renewcommand{\algorithmicelse}    {\textbf{Sinon}}
+%\renewcommand{\algorithmicthen}    {\textbf{Alors}}
+%\renewcommand{\algorithmicfor}     {\textbf{Pour}}
+%\renewcommand{\algorithmicforall}  {\textbf{Pour tout}}
+%\renewcommand{\algorithmicdo}      {\textbf{Faire}}
+%\renewcommand{\algorithmicendfor}  {\textbf{Fin pour}}
+%\renewcommand{\algorithmicloop}    {\textbf{Boucler}}
+%\renewcommand{\algorithmicendloop} {\textbf{Fin boucle}}
+%\renewcommand{\algorithmicrepeat}  {\textbf{Répéter}}
+%\renewcommand{\algorithmicuntil}   {\textbf{Jusqu'à}}
+
+%\SetKwInput{KwData}{Données}
+%\SetKwInput{KwResult}{Résutat}
+%\SetKwInput{KwIn}{Entrée}
+%\SetKwInput{KwOut}{Sortie}
+%\SetKw{Kwto}{à}
+%\SetKw{KwRet}{renvoie}
+%\SetKw{KwReturn}{renvoyer}
+%\SetKwBlock{Begin}{début}{fin}
+%\SetKwIF{If}{ElseIf}{Else}{si}{alors}{sinon si}{alors}{fin}
+%\SetKwFor{For}{pour}{faire}{fin}
+%\SetKwFor{While}{tant que}{faire}{fin}
+%\SetKwFor{ForEach}{pour chaque}{faire}{fin}
+%%\SetKwAll{ForEach}{pour tous}{faire}{fin}
+%\SetKwRepeat{Repeat}{répéter}{tant que}
+%\SetKwSwitch{Switch}{Case}{Other}{selon que}{faire}{soit}{autre}{fin}
+\dontprintsemicolon
+
+%\floatname{algorithm}{Algorithme}
+
+%\let\mylistof\listof
+%\renewcommand\listof[2]{\mylistof{algorithm}{Liste des algorithmes}}
+
+% pour palier au problème de niveau des algos
+\makeatletter
+\providecommand*{\toclevel@algorithm}{0}
+\makeatother
+
+%\listofalgorithms % pour lister les algos (après la toc)
+
+%% Page blanche en empty en twoside openright quand la page est vide %%
+\makeatletter 
+\def\cleardoublepage{
+  \clearpage \if@twoside \ifodd \c@page \else \hbox{}
+  \thispagestyle{empty} \newpage \if@twocolumn \hbox{} \newpage \fi \fi
+  \fi 
+}
+\makeatother
+
+%%%%%%%%%%%%%%
+
+%\NoAutoSpaceBeforeFDP
+
+\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{\chaptername\
+      \thechapter.\ #1}{}}
+\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}}
+\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}{}}
+
+\usepackage{fancyhdr}
+\setlength{\headheight}{15pt}
+\pagestyle{fancy}
+\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}}
+\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}{}}
+ 
+\fancyhf{}
+\fancyhead[LE,RO]{\thepage}
+\fancyhead[RE]{\textit{\nouppercase{\leftmark}}}
+\fancyhead[LO]{\textit{\nouppercase{\rightmark}}}
+ 
+\fancypagestyle{plain}{ %
+\fancyhf{} % remove everything
+\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % remove lines as well
+\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}}
+
+\widowpenalty=300
+\clubpenalty=300
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "these"
+%%% End: 
diff --git a/Figures/these.tex~ b/Figures/these.tex~
new file mode 100644
index 0000000..a461939
--- /dev/null
+++ b/Figures/these.tex~
@@ -0,0 +1,126 @@
+%%%%
+%
+% Fichier maître de la thèse
+%
+%%%%
+
+\input{entete}
+\input{autre}
+
+%%%% Définition des sections pour les publications
+%\newcites{J,C,R}{Journaux internationaux,Conf\'erences
+%  internationales,Rapport de stage de fin de cycle ing\'enieur}
+
+
+%\includeonly
+%{
+%titre,
+%introduction,
+%intro_part1,
+%calcul_numerique,
+%environnements_execution,
+%intro_part2,
+%etat_art_placement,
+%algorithmes_proposes,
+%experimentations_placement,
+%intro_part3,
+%etat_art_virtualisation,
+%plateforme_hpcvm,
+%conclusion,
+%publications
+%}
+
+\makeindex
+
+
+\begin{document}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+%%%% Première de couverture
+%\include{titre}
+
+%%%% Sommaire
+\tableofcontents
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Table des mati\`eres}
+
+%%%% Table des figures
+\listoffigures
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Table des figures}
+
+%%%% Table des tableaux
+\listoftables
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Liste des tableaux}
+
+%%%% Liste des algorithmes
+\listofalgorithms
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Liste des algorithmes}
+
+
+%%%% Remerciements
+%\include{remerciements}
+
+
+%%%% Citation
+%\include{citation}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%% Introduction générale
+%\include{Introduction}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%% Architectures parallèles de GPUs
+\include{CHAPITRE_01}
+
+%%%% Résolution des systèmes linéaires creux
+\include{CHAPITRE_02}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%% Conclusion générale et perspectives
+%\include{conclusion}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+
+%%%% Publications
+%\include{publications}
+
+
+%%%%  Bibliographie %%
+\bibliographystyle{plain}
+\bibliography{bib}
+\addcontentsline{toc}{part}{Bibliographie}
+
+\cleardoublepage
+\thispagestyle{empty}
+~
+\newpage
+%%%% Quatrième de couverture 
+%\include{quatrieme}
+
+
+\end{document}
+
+
+%%%%
+%
+% Fin du fichier
+%
+%%%%
diff --git a/Thesis.tex b/Thesis.tex
index 0ed6750..9017b01 100644
--- a/Thesis.tex
+++ b/Thesis.tex
@@ -47,13 +47,13 @@
 \include{CHAPITRE_02}
 
 \part{Contributions}
-%% Mise en oeuvre de solveurs linéaires creux sur des grappes GPU
+%% 
 %\include{CHAPITRE_03}
 
-%% Mise en oeuvre de solveurs non linéaires creux des problèmes obstacles sur des grappes GPU
+%% 
 %\include{CHAPITRE_04}
 
-%% Méthodes parallèles à deux niveaux
+%% 
 %\include{CHAPITRE_05}
 \part{Conclusions and Perspectives}
 %% Conclusion et perspectives