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\section{Principe de récurrence }

Pour démontrer par \emph{récurrence}
\index{récurrence!restreinte} 
qu'une propriété $P(n)$ est vraie quel que soit l'entier $n \ge n_0$, 
on procède en deux étapes:
\begin{enumerate}
\item on vérifie que $P(n_0)$ est vraie;
\item\label{itm:2} on suppose que $P(n)$ est vraie pour un certain entier $n \ge n_0$, 
  c'est l'hypothèse de récurrence, et on démontre que $P(n+1)$ est vraie.
\end{enumerate}  
Le \emph{principe de récurrence} dit alors que $P(n)$ est vraie quel que soit 
l'entier $n \ge n_0$. Une variante consiste à remplacer l'étape~\ref{itm:2} par 
\begin{enumerate}
\item[2 bis.] on suppose que $P(k)$ est vraie pour tout $k$ compris entre 
$n_0$ et $n$, et on démontre que $P(n+1)$ est vraie.
\end{enumerate}
Ceci se déduit du fait que $\N$ est un ensemble complètement ordonné. 


\begin{Exo}
\begin{enumerate}
\item Calculez 1, 1+3, 1+3+5, et 1+3+5+7.
\item A quoi $1+3+5+7+...+(2n-1)+(2n+1)$ semble-t-il être égal (en fonction de $n$) ?
\item Démontrer par récurrence que l'on a effectivement l'égalité
\end{enumerate}
\end{Exo}


% \begin{Exo}
% On souhaite calculer $S_1(n) = 1+2+...+n$.
% \begin{enumerate}
% \item Cherchez un bon candidat $S_1(n)$ pour cette formule.
% \begin{itemize}
% \item On pourra chercher un lien logique entre $S_1(1), S_1(2), S_1(3), S_1(4), ...$
% \item On pourra aussi faire le lien avec les suites arithmétiques.
% \item Ou encore, retrouver la méthode de Gauss : $S = 1+2+...+n$, et $S = n+(n-1)+...+2+1$. Si on somme ces deux expressions...
% \end{itemize}
% \item Prouvez, par récurrence, que la somme est bien égale à ce candidat.
% \item Quelle est la \og forme \fg{} de ce candidat (fonction tangente ? polynôme ?) 
% \end{enumerate}
% \end{Exo}


\begin{Exo}
On souhaite calculer $S_2(n) = 1^2+2^2+...+n^2$.
\begin{enumerate}
\item Cherchez un bon candidat $S_2(n)$ pour cette formule.
\begin{itemize}
\item On pourra chercher un lien logique entre $S_2(1), S_2(2), S_2(3), S_2(4), ...$
\item Ou encore, 
\begin{itemize}
\item Regardez la forme de $S_0(n) = 1^0+2^0+...+n^0$, et de $S_1(n) = 1^1+2^1+...+n^1$
\item Extrapolez la formule pour $S_2(n)$. On pourra imaginer que $S_2(n)$ est toujours un polynôme en $n$. Quel serait son degré le plus probable ? Quelle en serait donc la forme ? On aura à déterminer les coefficients intervenant dans ce polynôme. Pour ce faire, il suffit de considérer que cette formule doit convenir pour n=1, 2, etc.
\end{itemize}
\end{itemize}
\item Démontrez, par récurrence, que l'on a bien égalité entre $1^2+2^2+...+n^2$ et votre candidat.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
Poursuivre le raisonnement pour $S_3(n)$. Cette méthode permet-elle de calculer $S_k(n)$ pour tout $k$ et $n$ dans $\N$?
\end{Exo}


\begin{Exo}
Montrer que pour tout $n \in \N$, 7 divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$.
\end{Exo}

\begin{Exo}
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tout $ n \in \N$,
$$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
\end{Exo}


\begin{Exo}
Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
\end{Exo}




\section{Nombres premiers}

\begin{Def}[Multiple, diviseur]
Si un entier $n$ peut s'écrire sous la forme $n=pq$, où $p$
et $q$ sont des entiers, on dit que $n$ est un \emph{multiple} \index{multiple}
de $p$ et que $p$ est un \emph{diviseur}\index{diviseur} de $n$.
On écrit aussi $p \mid n$ pour $p$ divise $n$.
\end{Def}

\begin{Exo}
 Soit $m = 2^3 * 5 * 7^2 * 13^3$. Combien le nombre $m$ a-t-il de diviseurs naturels ?
\end{Exo}

%\noindent Réponse : (3+1)*(1+1)*(2+1)*(3+1)=96.

\begin{Def}[Nombre premier]
Un \emph{nombre premier}\index{nombre!premier} est un nombre entier strictement supérieur à 1 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
\end{Def}


\begin{Exo}
Ainsi, le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair) est 2.
\end{Exo}

\begin{Th}
Il existe une infinité de nombres premiers.
\end{Th}


\begin{Rem}
 Le problème de la primalité d'un nombre (très grand, évidemment) est difficile.
\end{Rem}



\subsection{Décomposition en facteurs premiers}

\begin{Def}[Décomposition en facteurs premiers]
L'écriture d'un entier $n$ sous la forme $n=a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}\ldots$, où $a\vir b\vir c\vir\ldots$ sont les diviseurs premiers distincts de $n$ et où les exposants $\alpha\vir\beta\vir\gamma\vir\ldots$ sont tels que, par exemple, $n$ est divisible par $a^{\alpha}$ mais pas par $a^{\alpha+1}$ s'appelle la \emph{décomposition en facteurs premiers} \index{décomposition en facteurs premiers} de $n$.

On dit que les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, \ldots sont les ordres de multiplicité des diviseurs $a$, $b$, $c$, \ldots
\end{Def}



\begin{Th}
La décomposition d'un entier en ses facteurs premiers est unique.
\end{Th}


\begin{Exo}
 \'Ecrivez les nombres 3850 et 1911 sous forme de produits de nombres premiers.
\end{Exo}

\noindent Réponses : $2*5^2*7*11$ et $3*7^2*13$.




\subsection{Relation de divisibilité}

Dans le chapitre sur les relations entre ensembles,
on a vu que la relation binaire de \og divisibilité\fg{} (notée $\mid$) 
définie dans $\Net$.
est une relation d'ordre.
Or 6 ne divise pas 14 et 14 ne divise pas 6.
Ces deux entiers ne sont donc pas comparables.
Cet ordre n'est donc que partiel.

Cependant 2 divise 6 et 14. C'est le plus grand des minorants de 6 et 14
selon cette relation. C'est donc la borne inférieure.
De même  6 divise 42 et 14 aussi. C'est le plus petit des majorants de 6 et 14
selon cette relation. C'est donc la borne supérieure.
Chaque couple d'entiers a donc  une borne inférieure et une borne supérieure. 



\begin{Def}[PGCD, PPCM]
Tout ensemble fini de nombres entiers strictement positifs admet 
une borne supérieure
et une borne inférieure pour la relation de divisibilité.
Cette borne inférieure et cette borne supérieure sont respectivement appelées \emph{plus grand commun diviseur (PGCD)} \index{plus grand commun diviseur}  \index{PGCD} et \emph{plus petit commun multiple (PPCM)} \index{PPCM} \index{plus petit commun multiple} de ces deux entiers.

Pour $a$ et $b$ dans $\N$, 
$\textit{PGCD}(a,b)$ et 
$\textit{PPCM}(a,b)$ et 
sont respectivement notés $a\et b$ et $a\ou b$.
\end{Def}

\begin{Def}[Nombres premiers entre eux]
Deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$ sont dits \emph{premiers entre eux} lorsque $a\et b=1$. 
\end{Def}




\begin{Exo}[Nombres de Fermat]
Pour $p \in \N$, on appelle nombres de Fermat les nombres de la forme $2^{2^p}+1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour que $2^n+1$ soit premier, il faut que $n$ soit une puissance de 2.

\item La réciproque n'est pas vraie : donner un exemple de nombre de Fermat qui ne soit pas premier.

\item Montrer que, pour $k\geqslant 1$, $F_p$ divise $F_{p+k}-2$.

\item En déduire que $F_p$ et $F_{p+k}$ sont premiers entre eux.

\item En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.
\end{enumerate}
\end{Exo}



\section{Algorithmes d'Euclide et applications}\index{algorithme!d'Euclide}

Par définition, le PGCD de $a$ non nul avec
0 est $a$ (défintion raisonnable, car 0
est divisible par tout entier non nul, donc par $a$, qui l'est aussi par $a$) 
et enfin le PGCD de 0 et de 0 n'est pas
défini.



L'algorithme consistant à comparer les décompositions en facteurs
premiers n'est pas efficace, la découverte de diviseurs de nombres
très grands est un problème difficile dont nous reparlerons plus loin.







On se limite ici au cas de deux entiers $a$ et $b$ strictement positifs. Supposons par exemple $a>b$

\begin{enumerate}
\item La division euclidienne de $a$ par $b$ peut s'écrire $a=bq+r$ avec $0\infeg r<b$.

\item Soit $d$ un diviseur commun à $a$ et $b$, qui peuvent alors s'écrire $a=da'$ et $b=db'$. L'égalité $a=bq+r$ devient $da'=db'q+r$ ou encore $r=d(a'-b'q)$, donc $d$ est aussi un diviseur commun à $b$ et $r$.

\item Réciproquement, soit $d$ un diviseur commun à $b$ et $r$, qui peuvent alors s'écrire $b=db'$ et $r=dr'$ et l'égalité $a=bq+r$ devient $a=d(b'q+r')$.

Donc $d$ est un diviseur commun à $a$ et $b$, et, par inclusion réciproque, les ensembles des diviseurs communs à $a$ et $b$ d'une part et à $b$ et $r$ d'autre part sont identiques.
En particulier $a\et b=b\et r$.

\item Si $r=0$ on a $a\et b= b\et 0$ qui est égal à $b$.

\item Sinon,  $r$ est différent de $0$ et on peut donc effectuer la
  division euclidienne de $b$ par $r$, qui donne un reste $r_{1}$, 
  tel que $0 \le r_{1}<r$ et $b\et r=r\et r_{1}$.

\item Cet algorithme est itéré jusqu'à l'obtention d'un reste nul, ce qui se produit obligatoirement puisqu'il s'agit d'entiers et que la suite des restes ainsi construite est strictement décroissante.
  Le PGCD est alors l'avant-dernier reste (le dernier non nul).
\end{enumerate}


\begin{Rem}
Cet algorithme permet donc d'obtenir le PGCD de deux nombres sans connaître leurs décompositions en facteurs premiers.
\end{Rem}

\subsubsection{Programmation}

Voici sa programmation itérative en C :

\bigskip

{\prol int pgcd ( int a , int b ) \{
{\dec int r ;
while ( b != 0 ) \{
{\dec r = a \% b ;
   a = b ;
   b = r ;
   } \}
   return a ;
   }\}
 }

\bigskip

\noindent (en toute rigueur, il faudrait vérifier que $a$ et $b$ sont bien positifs; par ailleurs, cette fonction retourne 0 comme  PGCD de 0 et de 0 : à vérifier avant l'appel).

\bigskip

Voici sa programmation récursive :

\bigskip

 {\prol int pgcd ( int a , int b ) \{
{\dec 
if ( b == 0 )
{\dec return a ;}
else
{\dec return pgcd ( b , a \% b ) ;}
}\}}


\begin{Exo}
Si $p$ est un nombre premier, et $n$ un entier avec $n \ge 2$, on note 
$a=p^n+1$ et  
$b=p^n-1$.
\begin{enumerate}
\item On suppose que $p$ est égal à 2. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $d = a \et b$ au moyen de l'algorithme d'Euclide.
\item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs $(u,v)$ tels que $ua + vb=d$.
\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que $p$ est différent de 2. 
 \begin{enumerate}
\item Montrer que $a$ et $b$ sont pairs et poser $a=2A$ et $b=2B$. 
\item Calculer $A-B$. En déduire la valeur $d$ de $a \et b$.
\item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs $(u,v)$ tels que $ua + vb=d$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exo}

% \begin{Exo}
% Comme $48=2^43$ et que $56=2^37$, on voit aisément que $48\et 56=2^3$.
% \end{Exo}

% \begin{Exo}
%  Calculez $102 \ou 138$.
% \end{Exo}

% \noindent Réponse : 2346.

% \begin{Th}
% $\Net$ est un treillis pour la divisibilité. 

% On peut de plus montrer que :

% \begin{itemize}
%  \item ce treillis est distributif, c'est-à-dire que $x\ou(y\et z)=(x\ou y)\et(x\ou z)$ et que $x\et(y\ou z)=(x\et y)\ou(x\et z)$,
%  \item il admet un élément minimum (1), mais pas d'élément maximum,
%  \item les nombres premiers sont les éléments minimaux de ($\Net\moins\{1\}$).
% \end{itemize}
% \end{Th}




% \begin{Exo}
%  Soient $a,b,c,d$ des entiers naturels non nuls tels que $ad=bc$.

% Prouvez que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $b|d$
% \end{Exo}

% \noindent Réponse : En se plongeant dans le calcul modulo $b$, on a : ad = 0.

% Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, $a$ est inversible, et donc $d=0$.

% On en déduit que $d$ est un multiple de $b$.





\section{Division euclidienne dans $\Z$ et applications}

L'ensemble habituellement noté $\Z$ des entiers relatifs
est obtenu à partir de $\N$ par le procédé de symétrisation pour l'addition: 
cela consiste à introduire les entiers strictement négatifs comme
opposés des positifs correspondants, par $n+(-n)=0$.


On se donne deux entiers relatifs $a$ et $b$, $b$ non nul.

\begin{Th}
Il existe un et un seul couple d'entiers relatifs $q$ et $r$ qui
vérifient la relation suivante : $a=bq+r$ , avec $0\leqslant r<|b|$. 
\end{Th}


\begin{Def}[Division euclidienne]
Obtenir les valeurs de $q$ et de $r$, c'est effectuer la \emph{division
euclidienne}\index{division euclidienne} de $a$ par $b$.
Le nombre $q$ est appelé \emph{quotient}\index{quotient}, et 
le nombre $r$ est appelé \index{reste}\emph{reste} 
(dans la division euclidienne).
Lorsque $r$ est nul, $a$ est dit \emph{divisible} par $b$, ou $b$ est un \emph{diviseur} de $a$.
\end{Def}


\begin{Ex}
Tout nombre non nul est au moins divisible par 1 et par lui-même ($a=a\times 1+0$). 
\end{Ex}

\begin{Ex}
0 est divisible par tout nombre entier non nul $(0 = 0 \times b + 0 )$. 
\end{Ex}


\begin{Exo}
Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $m$ par $n$ dans le cas où :
\begin{enumerate}
 \item $m = -38$ et $n=6$,
\item $m=165$ et $n=-14$.
\end{enumerate}
\end{Exo}



\begin{Exo}
On se place dans l'ensemble $\N$.
\begin{enumerate}
\item Trouver les restes dans la division par 5 du carré d'un entier.
\item Trouver les restes dans la division par 8 du carré d'un entier impair.
\item Trouver les restes dans la division par $11$ de $37^n$ (pour $n\in\Net$).
\item Montrer que $10^n(9n-1)+1$ est divisible par 9.
\end{enumerate}
\end{Exo}


\section{Représentation des nombres entiers}



\begin{Def}[Principe de la numération de position]
\index{Principe de la numérotation de position}
Il consiste à choisir une base $b$ de numération, et $b$ symboles qui constitueront les chiffres dans la représentation d'un entier positif en base $b$.
Celle-ci s'écrira alors
$$n=n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$$ 

Cette écriture est abrégée en ${\left(\overline{n_{p}n_{p-1}\ldots n_{0}}\right)}_{b}$.
\end{Def}

En informatique, on utilise couramment les bases 2, 8 et 16.



\subsection{Obtention de cette représentation}

L'algorithme pour obtenir la représentation en base $b$ d'un entier est :

\begin{enumerate}
 \item Effectuer la division euclidienne de cet entier par $b$, division qui donne un premier quotient et un premier reste.
 \item Le quotient est à sont tour divisé par $b$ pour donner un second quotient et un second reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul.
\item Les restes successifs (tous strictement inférieurs à $b$), et en commençant par le dernier, constituent la représentation en base $b$ de l'entier donné.
\end{enumerate}


% \subsection{Algorithme de Hörner}

% Réciproquement, étant donnée la représentation en base $b$ d'un
% entier, on obtient sa valeur par application de l'algorithme de Hörner :

% $n= n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$ est calculé par 
% $(......(((n_{p}b+n_{p-1})b+n_{p-2})b+\cdots+n_{1})b+n_{0})$





\begin{Exo}[Numération, changements de base]
\begin{enumerate}
\item Chercher les entiers dont le carré a, en représentation décimale, mêmes chiffres des dizaines et des unités. 
\item On pose $a=2p-1$, $b=2p+1$, $c=2p+3$; trouver l'entier $p$ de manière que $a^2+b^2+c^2$ soit de la forme $\sur{xxxx}_{10}$.
\item L'entier $n$ s'écrit $\sur{341}_{10}$ et $\sur{2331}_a$. Trouver $a$.
\item Montrer que, dans toute base $b$ supérieure ou égale à 3, l'entier qui s'écrit $\sur{11211}_b$ n'est pas premier.
\item soit $n\geqslant 7$. Donner l'écriture de $(n+1)^4$ en base $n$.
\end{enumerate}
\end{Exo}



\begin{Exo}[Développement décimal]
On considère le nombre réel $x$ dont le dé\-ve\-lop\-pe\-ment décimal s'écrit $x=0,012\ 345\ 679\ 012\ 345\ 679\ \ldots\ \ldots\ \ldots$ (la séquence $012\ 345\ 679$ est reproduite indéfiniment). Ce développement décimal est périodique, de période 9.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $x$
vérifie une équation de la forme $10^kx=n+x$, où $k$ et $n$ sont
des entiers à déterminer. En résolvant cette équation,
montrer que $x$ est un nombre rationnel, et le mettre sous la forme
$x= \fr pq$ , où $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
\item Appliquer
la même méthode au ``nombre" $y$ dont le développement
décimal est $y= 0,999\ 999\ 999\ 999\ \ldots$ (périodique de période
1). Quelle conclusion peut-on en tirer?
\item Démontrer que tout nombre réel dont le développement
décimal est fini ou périodique à partir d'un certain rang
est un nombre rationnel.
\item Réciproquement, on se propose de démontrer que le
développement décimal de tout nombre rationnel est fini ou
périodique à partir d'un certain rang. Pour cela, on
considère un rationnel $x=\fr pq$ , avec $q>0$, $p\in
\Z$, $p$ et $q$ premiers entre eux, et on étudiera successivement
les cas suivants:
\begin{itemize}
\item $x$ est entier (c'est à dire $q=1$)
\item $x$ est rationnel non entier, et $q$ est premier avec 10 (On
pourra montrer que, si $q$ est premier avec 10, il existe un entier
$k$, non nul, tel que $10^k\equiv 1\ [q]$).
\item $x$ est rationnel non entier, mais $q$ n'est pas premier avec 10.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{Exo}


\section{Arithmétique modulo $n$} 

On rappelle ici la définition de la relation dite de \og congruence modulo n\fg{} définie dans $\Z$ étudiée dans le chapitre consacré aux relations entre ensembles.

\begin{Def}[Congruence modulo $n$]
Soit $n$ un entier strictement supérieur à 1 et $x$ et $y$ deux éléments de $\Z$.
On dit que \og $x$ est \emph{congru} à $y$ \emph{modulo}\index{congru}\index{modulo} $n$\fg{} lorsque $x$ et $y$ possèdent le même reste dans la division (euclidienne) par $n$ :
$$x \equiv y [n] \Ssi \exi k \in \Z, x-y=k \cdot n $$
\end{Def}


\begin{Exo}
 Calculez :
\begin{enumerate}
 \item $3*10^9 mod 97$,
\item $3^{1024} mod 1037$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

%\noindent Réponses : 5 et 630.




\begin{Th}
La relation de congruence modulo $n$ est une relation d'équivalence dans $\Z$. 
\end{Th}

\begin{Proof}
En effet :
\begin{itemize}
\item $\qqs x \in \Z, x-x=0=0 \cdot n$; or $0 \in \Z$, donc $x
\equiv x [n]$ (réflexivité). \item Si $x \equiv y
[n]$,$\exi k \in \Z$, $x-y=k \cdot n$; alors $y-x=(-k) \cdot n$, et,
puisque $k \in \Z$, $(-k) \in \Z$, donc $y \equiv x [n]$ (symétrie).
\item Si $x \equiv y [n]$,$\exi k\in\Z$, $x-y=k \cdot n$; si, de
plus, $y \equiv z [n]$, $\exi l\in\Z$, $y-z=l \cdot n$; alors (par
addition), $x-z=(k+l) \times n$; comme $k\in\Z$ et $l\in\Z$,
$(k+l)\in\Z$, donc $x \equiv z [n]$ (transitivité).
\end{itemize}
\end{Proof}


La classe d'équivalence d'un entier donné comprend donc cet entier et tous ceux qui ont le même reste que lui dans la division euclidienne par $n$.

\begin{Ex}
Si $n = 3$, il y a trois classes distinctes :
\begin{itemize}
 \item $\dot 0=\{\ldots,-6,-3,0,3,6,9,\ldots\}$, 
\item $\dot 1=\{\ldots,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}$,
\item $\dot 2=\{\ldots,-4,-1,2,5,8,11,\ldots\}$.
\end{itemize}

On retrouve ensuite les mêmes éléments : $\dot 3=\dot 0$, etc... 
\end{Ex}

D'une manière générale, pour $n$ quelconque, il y a exactement $n$ classes d'équivalence, notées de $\dot 0$ à $\dot {(n-1)}$, c'est-à-dire, il faut le remarquer, un nombre fini.




\begin{Th}
L'ensemble-quotient (ensemble des classes d'équivalence) de la relation de congruence modulo $n$ est un ensemble fini.
\end{Th}

\begin{Notation}
Il est noté $\Z/n\Z$.
\end{Notation}


\begin{Ex}
 $\Z/3\Z =\{ \dot 0,\dot 1,\dot 2\}$.
\end{Ex}


\begin{Def}
On dit qu'une relation d'équivalence, notée  $\equiv$, 
définie dans une structure algébrique $S$, 
est compatible avec les lois de $S$  
lorsque les résultats des opérations effectuées sur des éléments équivalents
demeurent équivalents:
\begin{itemize}
\item pour l'addition: si $x \equiv x'$ et  $y \equiv y'$, 
alors on doit avoir $x + y  \equiv x' + y'$;
\item pour la multiplication $\times$:  si $x \equiv x'$ et  $y \equiv y'$, 
alors on doit avoir $x \times y  \equiv x' \times y'$.
\end{itemize}
\end{Def}





\begin{Th}
La relation de \og congruence modulo $n$\fg{} est compatible avec l'addition et la multiplication des nombres entiers. 
\end{Th}


\begin{Proof}
En effet, on suppose que:
\begin{itemize}
\item $x \equiv x' [n] \Ssi \exi k\in \Z,\ x-x'=k \cdot n$;
\item $y \equiv y' [n] \Ssi \exi l\in \Z, y-y'=l \cdot n$.
\end{itemize}
Alors:
\begin{itemize}
\item par addition, $(x+y)-(x'+y')=(k+l)\cdot n$; $(k+l)\in\Z$, donc $(x+y)\equiv(x'+y') [n]$: la congruence modulo $n$ est compatible avec l'addition dans $\Z$
\item en multipliant l'égalité $x-x'=k \cdot n$  par $y$, on a 
  $xy-x'y=(ky)\cdot n$ et l'égalité 
  $y-y'=l \cdot n$
  par $x'$ on a $x'y-x'y'=(x'l)\cdot n$.
  
  Par addition, $xy-x'y'=(ky+lx')\cdot n$. $(ky+lx')\in\zmat$, donc $x\cdot y\equiv x'\cdot y' [n]$: la congruence modulo $n$ est aussi compatible avec la multiplication dans $\Z$.
\end{itemize}
\end{Proof}


% \begin{Rem}
% C'est cette propriété qui permet de définir dans l'ensemble quotient $\Z/n\Z$ des opérations, dites \emph{induites} par celles qui existent dans $\Z$...
% \end{Rem}





\begin{Def}
Par définition, on pose $\dot x + \dot y = \dot {(x+y)}$ et $\dot x \cdot
\dot y = \dot {(xy)}$.
\end{Def}


\begin{Ex}
C'est ainsi qu'on obtient les tables d'opérations suivantes dans $\Z/4\Z$ :\\


\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
+ & \dot 0 & \dot 1 & \dot 2 & \dot 3 \\ \hline
\dot 0 & \dot 0 & \dot 1 & \dot 2 & \dot 3 \\ \hline
\dot 1 & \dot 1 & \dot 2 & \dot 3 & \dot 0 \\ \hline
\dot 2 & \dot 2 & \dot 3 & \dot 0 & \dot 1 \\ \hline
\dot 3 & \dot 3 & \dot 0 & \dot 1 & \dot 2 \\ \hline \end{array}$
\hskip 50pt
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\times & \dot 0 & \dot 1 & \dot 2 & \dot 3 \\ \hline 
\dot 0 & \dot 0 & \dot 0 & \dot 0 & \dot 0 \\ \hline
\dot 1 & \dot 0 & \dot 1 & \dot 2 & \dot 3 \\ \hline
\dot 2 & \dot 0 & \dot 2 & \dot 0 & \dot 2 \\ \hline
\dot 3 & \dot 0 & \dot 3 & \dot 2 & \dot 1 \\ \hline \end{array}$ 
\end{center}
\vskip 10pt
\end{Ex}


\begin{Rem}
On aperçoit la présence de \og diviseurs de zéro\fg{} ($\dot 2 \times \dot 2=\dot 0$), mais aussi l'apparition d'un inverse pour certains éléments ($\dot 3 \times \dot 3=\dot 1$). 
\end{Rem}


\begin{Exo}
Résolvez modulo 18 les équations suivantes :

\begin{enumerate}
 \item $2x+17 = 15$,
\item $3x+4 = 12$,
\item $5x+13 = 16$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

%\noindent Réponses : \{8,17\}, \{ \} et \{15\}.


\begin{Exo}[Systèmes de congruences]
Il s'agit de trouver des entiers $x$ qui satisfont des systèmes de la forme
$$\left\{\begin{array}{ccc}
x & \equiv & a\ [p] \\
x & \equiv & b\ [q] \\
\end{array}\right.$$
Un tel système peut ne pas avoir de solution
(par exemple, $a=1,\ p=2,\ b=0,\ q=4$: un nombre impair ne peut être un multiple de 4).

Une condition suffisante d'existence de
solutions est que $p$ et $q$ soient premiers entre eux.

C'est le cas que nous traiterons ici; dans ce cas, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $pu+qv=1$ (théorème de Bézout).

Donc $pu \equiv 1\ [q]$ et $qv \equiv 1\ [p]$, et $x=bpu+aqv$ est une solution du système (pourquoi??); les autres sont de la forme $x + kpq$, où $k$ est un entier quelconque.
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système de congruences 
$$\left\{\begin{array}{ccc}
x & \equiv & 2\ [88] \\
x & \equiv & 1\ [27] \\
\end{array}\right.$$
\item {\it Application: Problème du cuisinier}: Une bande de 17 pirates s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or, toutes d'égale valeur.

Ils décident de se les partager également et de donner le reste éventuel au cuisinier. Celui-ci recevrait alors 3 pièces d'or. 

Malheureusement, une querelle éclate, au cours de laquelle 6 pirates sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4 pièces d'or.

Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le partage laisserait alors 5 pièces à ce dernier.

Quel est le plus petit nombre de pièces d'or qu'il espère lorsqu'il décide d'empoisonner les derniers pirates?
\end{enumerate}
\end{Exo}




\begin{Exo}
 Si $m$ est un entier naturel plus grand que 2, quel est l'inverse de $m-1$ modulo $m$ ?
\end{Exo}

%\noindent Réponse : $m-1$.


\begin{Exo}
Un nombre \og pseudo-premier de base $b$ \fg{}\index{pseudo-premier} est un entier naturel non premier $p$ tel que $(b^p-b) mod p = 0$.
Vérifier que 561 est pseudo-premier de base 3 et que 341 est pseudo-premier de base 2.
\end{Exo}


\section{Arithmétique en informatique}


La plupart des langages de programmation utilisés en informatique disposent d'un type de données pour représenter ce que les informaticiens appellent les entiers signés (les entiers relatifs) et possèdent des opérateurs pour effectuer les calculs classiques sur ces nombres.

\subsection{Division entière}

En C ou java, par exemple, le symbole $/$ représente le quotient dans la \og division entière\fg{} et le symbole $\%$ représente ce que les informaticiens appellent improprement le modulo (le reste dans leur \og division entière\fg{} ).


Pour des raisons pratiques de réalisation des micro-circuits des processeurs qui réalisent ces opérations, la \og division entière\fg{} ne donne pas exactement le même résultat que la division euclidienne.



Considérons par exemple les 4 cas possibles de division euclidienne de $a$ par $b$ lorsque $|a|=29$ et $|b|=7$ (en n'oubliant pas que le reste d'une division euclidienne ne peut être que positif)


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$a$ & $b$ & division euclidienne & $q$ & $r$ & $a/b$ & $a\%b$ \\ \hline
$29$ &$7$ & $29=4\times 7+1$ & $4$ & $1$ & $4$ & $1$ \\ \hline
$29$ &$-7$ & $29=(-4)\times (-7)+1$ & $-4$ & $1$ & $-4$ & $1$ \\ \hline
$-29$ &$7$ & $-29=(-5)\times 7+6$ & $-5$ & $6$ & $-4$ & $-1$ \\ \hline
$-29$ &$-7$ & $-29=5\times (-7)+6$ & $5$ & $6$ & $4$ & $-1$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}



Autrement dit, mathématiquement, le quotient est positif lorsque les deux nombres ont le même signe et le reste est toujours positif, et, pour que le reste soit toujours positif, le quotient peut ne pas être le quotient des valeurs absolues.


Informatiquement, le \og quotient\fg{} est positif lorsque les nombres ont le même signe, le \og reste\fg{} a le signe du dividende, et la valeur absolue du \og quotient\fg{} est toujours le quotient des valeurs absolues.


Dans les applications de calcul arithmétique, par exemple un calcul de PGCD, ce n'est pas gênant parce que les restes \og informatiques\fg{} sont congrus aux restes mathématiques modulo la valeur absolue du
diviseur, et qu'il ne s'agit alors que du choix d'un représentant de la classe concernée (addition et multiplication étant compatibles avec la congruence modulo $n$).

Mais il faut quand même savoir que l'on peut obtenir un \og reste\fg{} négatif et prendre ses dispositions le cas échéant...


\subsection{Arithmétique modulo $2^n$}

 

Les calculs sur les entiers, dans un ordinateur, se font dans $\Z/2^n\Z$, où $n$ est le nombre de bits utilisés dans la représentation de ces nombres.


Dans la plupart des microprocesseurs, les entiers sont représentés sur 64 bits, les calculs se font donc dans $\Z/2^{64}\Z$.


Disposer d'entiers signés ou d'entiers non signés est uniquement une question de choix du représentant dans les classes d'équivalence, mais
la représentation physique est la même.


Comme il nous est difficile de représenter ici la liste compléte de tous ces entiers, nous allons illustrer ce propos en supposant que les entiers sont représentés sur 4 bits.

\subsubsection{Illustration dans le cas de 4 bits.}

Pour des mots de 4 bits, il y a alors 16 entiers représentables : (a.s.= arithmétique signée, a.n.s. = arithmétique non signée)\vskip 10pt
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
code binaire & & a.s. & a.n.s. \\ \hline
0000 & interprété par & 0 & 0 \\ \hline
0001 & interprété par & 1 & 1 \\ \hline
0010 & interprété par & 2 & 2 \\ \hline
0011 & interprété par & 3 & 3 \\ \hline
0100 & interprété par & 4 & 4 \\ \hline
0101 & interprété par & 5 & 5 \\ \hline
0110 & interprété par & 6 & 6 \\ \hline
0111 & interprété par & 7 & 7 \\ \hline
1000 & interprété par & 8 & -8 \\ \hline
1001 & interprété par & 9 & -7 \\ \hline
1010 & interprété par & 10 & -6 \\ \hline
1011 & interprété par & 11 & -5 \\ \hline
1100 & interprété par & 12 & -4 \\ \hline
1101 & interprété par & 13 & -3 \\ \hline
1110 & interprété par & 14 & -2 \\ \hline
1111 & interprété par & 15 & -1 \\ \hline
\end{tabular}\end{center}\vskip 10pt


Pourquoi ce choix ? Pourquoi ne pas avoir, en a.s., représenté les entiers dans l'ordre croissant de 0000 (-8) à 1111 (7)?

\begin{itemize}
 \item Tout simplement pour des raisons d'efficacité : 0 doit toujours être représenté par le code \og nul\fg{} 0000.
\item Ensuite, il faut pouvoir comparer efficacement ces codes entre eux, ce qui explique que 0 doit être suivi de 1, arithmétique signée ou pas.
\end{itemize}

\bigskip

Ces principes ont ainsi conduit à placer les codes interprétés comme entiers négatifs après ceux qui représentent les entiers positifs.


Par ailleurs, on s'aperçoit que, de cette manière, les codes des entiers
négatifs commencent tous par 1.
On parle improprement de \og bit de signe\fg{}\index{bit de signe}: s'il s'agissait d'un véritable bit de signe, le code 1001 devrait être celui de -1, or c'est celui de -7.
Mais il n'en reste pas moins que tous les entiers négatifs commencent par 1).


Ainsi, il est facile de déduire la comparaison signée de la comparaison non signée : les codes qui commencent par 1 sont \og plus petits\fg{} que ceux qui commencent par 0, et, s'ils commencent par le même bit, c'est la comparaison non signée qui peut être utilisée.


Mais il y a quand même deux instructions assembleur distinctes pour la comparaison signée et pour la comparaison non signée.



\subsubsection{Quelques exemples de calculs.}

Pour l'addition et la soustraction, les opérations et les tests de validité des résultats sont les mêmes en arithmétique signée et non signée.

\noindent Pour la multiplication, l'instruction assembleur n'est pas la même (le dépassement de capacité doit être ignoré en a.s. dans le dernier exemple).

\begin{Ex}

Premiers résultats, corrects :

 \begin{center}
\begin{tabular}{r | r | r}
Opération binaire & Entiers non signés & Entiers signés \\
\hline
0010 & 2 & 2 \\
\underline{+ 1001} & \underline{+ 9} & \underline{+(-7)} \\
1011 & 11 & (-5) \\
\end{tabular}
 \end{center}
\end{Ex}


\begin{Ex}
 Un résultat correct en arithmétique non \break signée, et négatif en arithmétique signée, mais correct modulo 16 (-6 et 10 sont dans la même classe, mais cette classe  est représentée par 10 en a.n.s. et par -6 en a.s.) :
\begin{center}
\begin{tabular}{r | r | r}
Opération binaire & Entiers non signés & Entiers signés \\
\hline
0100 & 4 & 4 \\
\underline{+ 0110} & \underline{+ 6} & \underline{+ 6} \\
1010 & 10 & (-6) \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{Ex}


\begin{Ex}
Un dépassement de capacité dans les deux cas, mais  le résultat est correct modulo 16 : les classes de 21, de -11 et de 5 sont les mêmes :
 \begin{center}
\begin{tabular}{r | r | r}
Opération binaire & Entiers non signés & Entiers signés \\
\hline
1100 & 12 & (-4) \\
\underline{+ 1001} & \underline{+ 9} & \underline{+(-7)} \\
(1)0101 & 5 & 5 \\
\end{tabular}
 \end{center}
Le résultat (correct modulo 16) est disponible dans tous les cas, les \og dépassement de capacité\fg{} et \og résultat négatif\fg{} sont signalés par le positionnement d'un bit dans un registre spécial.
\end{Ex}




\begin{Ex}
Un résultat correct en a.n.s., résultat négatif en a.s., mais correct modulo 16 :
 \begin{center}
\begin{tabular}{r | r | r}
Opération binaire & Entiers non signés & Entiers signés \\
\hline
0101 & 5 & 5 \\
\underline{$\times$ 0010} & \underline{$\times$ 2} &
\underline{$\times$ 2} \\ 1010 & 10 & (-6) \\
\end{tabular}
 \end{center}
\end{Ex}


\begin{Ex}
Dépassement de capacité dans les deux cas, résultat négatif en a.s., mais résultat correct modulo 16, compte tenu du choix des représentants dans les deux arithmétiques:
 \begin{center}
\begin{tabular}{r | r | r}
Opération binaire & Entiers non signés & Entiers signés \\
\hline
0101 & 5 & 5 \\
\sou{$\times$ 0110} & \sou{$\times$ 6} & \sou{$\times$ 6} \\
(1)1110 & 14 & (-2) \\
\end{tabular} 
 \end{center}
\end{Ex}




\begin{Ex}
Dépassement de capacité dans les deux cas,  résultat correct en a.s., correct modulo 16 en a.n.s.
 \begin{center}
\begin{tabular}{r | r | r}
Opération binaire & Entiers non signés & Entiers signés \\
\hline
1101 & 13 & (-3) \\
\sou{$\times$ 1110} & \sou{$\times$ 14} & \sou{$\times$
(-2)} \\ (1011)0110 & 6 & 6 \\
\end{tabular} 
\end{center}
\end{Ex}






\section{Théorème de Bézout}


On considère deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$.

\begin{Th}[Théorème de Bézout]
\index{théorème!de Bézout}
Il existe un couple d'entiers $u$ et $v$ tels que $au-bv=d$, où $d$ est le PGCD de $a$ et de $b$. 
\end{Th}

\begin{Proof}
On peut se ramener au cas où $a \et b=1$.

En effet, si $d>1$, on peut écrire $a=a'd$ et $b=b'd$ avec $a' \et b'=1$; si le théorème est établi dans le cas du PGCD égal à $1$, on peut affirmer l'existence de $u$ et de $v$ tels que $a'u-b'v=1$; en multipliant les deux membres de cette égalité par $d$, on obtient $a'du-b'dv=d$,
soit $au-bv=d$.

Il suffit donc d'établir le théorème dans le cas où $d=1$ ($a$ et $b$ premiers entre eux). Plaçons nous dans $(\Z/b\Z)^*$ et considérons l'application de cet ensemble dans lui-même définie par $x \fc ax$. Essayons de résoudre $ax=ax'$, soit $a(x-x')=0$, soit encore $a(x-x') \equiv 0[b]$, ou finalement $a(x-x')=kb$, avec $k \in \Z$.

Comme $a\et b=1$, $a$ ne divise pas $b$, donc divise $k$; on peut écrire $k=k'a$, il reste $x-x'=k'b$, donc $x \equiv x'[b]$, donc $x=x'$; finalement $ax=ax' \Imp x=x'$, donc l'application envisagée est injective; comme il s'agit d'un ensemble fini, elle est évidemment aussi surjective, donc il existe $u$ tel que $au=1$, ce qui s'écrit encore $au \equiv 1[b]$, ou encore $au=bv+1$, finalement $au-bv=1$. 
\end{Proof}



\begin{Rem}
Ce couple n'est pas unique.
\begin{Proof}
En effet, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $(a,b)$, donc tel que $au-bv=d$, où $d=a\et b$, alors, pout tout $k$ dans $\Z$, $a(u+kb)-b(v+ka)= au-bv+kab-kab=au-bv=d$ aussi. 
\end{Proof}
\end{Rem}



\begin{Exo}
Montrez que, si $m$ est multiple de deux nombres premiers entre eux $a$ et $b$, alors $m$ est multiple de $ab$. 
\end{Exo}

\noindent Réponse : $1 = aa'+bb'$, donc $m = maa'+mbb'$. Or $m=ax=by$, donc $m = ab(ya'+xb')$.



\begin{Exo}
Montrez que, si on divise deux entiers naturels $a$ et $b$ par leur pgcd, alors les quotients obtenus sont premiers entre eux.

Réciproquement, montrer que, si les quotients obtenus en divisant $a$ et $b$ par un diviseur commun $d$ sont premiers entre eux, alors $d=pgcd(a,b)$.
\end{Exo}

\noindent Réponse : Soit $d = pgcd(a,b)$, et $q_1$ et $q_2$ les quotients de $a$ et $b$ par $d$. Alors $d = aa'+bb' = d q_1 a' + d q_2 b'$. Donc $1 = q_1 a' + q_2 b'$ : $q_1$ et $q_2$ sont premiers entre eux. La réciproque est du même genre.



\subsection{Algorithme d'Euclide généralisé}



Pour deux entiers positifs $a$ et $b$, on a vu que l'algorithme d'Euclide s'écrit : $a \et b = b \et r$, où $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.


En supposant $a>b$, si on pose $a=r_0$ et $b=r_1$, on définit une famille finie $(r_0,r_1,\ldots,r_k,r_{k+1})$ par $r_i=q_{i+1}r_{i+1}+r_{i+2}$ (c'est-à-dire que $r_{i+2}$ est le reste dans la division euclidienne de $r_i$ par $r_{i+1}$).


\noindent Cette famille...
\begin{itemize}
\item est strictement décroissante,
\item est telle que $r_{k+1}=0$,
\item vérifie $r_0 \et r_1 = r_1 \et r_2= \ldots = r_{k-1} \et r_k = r_k \et r_{k+1} = r_k \et 0 = r_k$.
\end{itemize}

\bigskip

On remarque que $r_{k-1}$ est un multiple de $r_k$, puisque la division euclidienne de $r_{k-1}$ par $r_k$ s'écrit $r_{k-1}=q_kr_k$.

Soit $d$ le PGCD de $a$ et de $b$ (évidemment, $d=r_k$), on peut écrire $1 \times r_k-0 \times r_{k-1} = d$ puis $1 \times r_{k-2} - q_{k-1} \times r_{k-1}=d$.


D'une manière générale, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $r_{i+1}$ et $r_{i+2}$, soit $u \cdot r_{i+1}+v \cdot r_{i+2}=d$, comme $r_i=q_{i+1}\cdot r_{i+1} + r_{i+2}$, on a $u\cdot r_{i+1}+v \cdot (r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1})=d$, soit $(u-q_{i+1}\cdot v)\cdot r_{i+1}+v \cdot r_i=d$.

\subsection{L'algorithme.}
\index{algorithme!d'Euclide!généralisé}
Ceci donne l'idée de construire deux familles par les relations :
\begin{itemize}
\item $u_0=1$, $u_1=0$,$u_{i+2}=u_i-q_{i+1} \cdot u_{i+1}$
\item $v_0=0$, $v_1=1$, $v_{i+2}=v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}$.
\end{itemize}

C'est ce que l'on appelle algorithme d'Euclide généralisé. On a alors $(u_k,v_k,r_k)=(u,v,d)$, $u$ et $v$ tels que $a \cdot u+b \cdot v=d$.

\begin{Pre}
Pour cela, il suffit de montrer par récurrence que $\qqs i \in
\{0,\ldots,k\}, r_0 \cdot u_i + r_1 \cdot v_i = r_i$.
\begin{itemize}
 \item Initialisation de la récurrence : la relation est vraie pour $i=0$, en effet $r_0 \cdot u_0+r_1 \cdot v_0=r_0$, puisque $u_0=1$ et $v_0=0$.
\item Caractère héréditaire de la propriété : en supposant que $i$ est un entier pour lequel $r_0 \cdot u_i + r_1 \cdot v_i =
r_i$ et $r_0 \cdot u_{i+1}+r_1 \cdot v_{i+1}=r_{i+1}$, calculons $r_0 \cdot u_{i+2}+r_1 \cdot v_{i+2}= r_0 \cdot (u_i-q_{i+1} \cdot u_{i+1}) + r_1 \cdot (v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}) = r_0 \cdot
u_i+r_1 \cdot v_i-q_{i+1}\cdot (r_0 \cdot u_{i+1}+r_1 \cdot
v_{i+1})=r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1}=r_{i+2}$.
\end{itemize}
\end{Pre}


\subsection{Exemple.}

Illustrons la mise en \oe{}uvre de cet algorithme...

\begin{Ex}
Soit à obtenir un couple de Bézout pour (23,17) :\vskip 10pt
\begin{center}\begin{tabular}{c c c c}
(23,1,0) & (17,0,1) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
(17,0,1) & (6,1,-1) & $\longrightarrow$ & $q=2$ \\
(6,1,-1) & (5,-2,3) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
(5,-2,3) & (1,3,-4) & $\longrightarrow$ & $q=5$ \\
(1,3,-4) & (0,-17,23) & $\longrightarrow$ & FIN 
\end{tabular}\end{center}\vskip 10pt
On a bien $3 \times 23-4 \times 17=1$.\psaut 
\end{Ex}

\begin{Rem}
Il est possible d'obtenir -1 (ou $-d$ en général) comme résultat, donc $au-bv=-1$, cela dépend de la parité du nombre d'itérations effectuées dans l'algorithme précédent.

Ce n'est pas un résultat faux, puisqu'alors $bv-au=1$ et qu'on a quand même un couple de Bézout pour $(b,a)$.

S'il est nécessaire d'obtenir un couple $(u,v)$ tel que $au-bv=1$
et où $a$ et $b$ figurent dans cet ordre, et que l'algorithme a fourni un couple $(u',v')$ tel que $bv'-au'=1$, il suffit de prendre $u=b-u'$ et $v=a-v'$ et, dans ces conditions $au-bv=a(b-u')-b(a-v')= ab -au' -ab +bv'=bv'-au'=1$. 
\end{Rem}

\begin{Exo}
Exprimer $pgcd(1330,602)$ comme combinaison à coefficients entiers des nombres 1330 et 602.
\end{Exo}

%\noindent Réponse $14 = 1330*(-19)+602*42$.



\gsaut
\centerline{\x{Fin du Chapitre}}