\section{Rappels de théorie des ensembles}

\subsection{Notion première d'ensemble}

\begin{description}
 \item[Ensemble]\index{ensemble} Un ensemble est une collection
   d'objets distincts réunis en vertu d'une propriété commune.

On peut définir un ensemble de deux manières :
\begin{itemize}
 \item \emph{en extension} : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent,
 \item \emph{en compréhension} : en donnant la propriété que doivent posséder les éléments de l'ensemble.
\end{itemize}
\end{description}

\begin{Notation}
On note $\N_n$ l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à $n$.
\end{Notation}

\begin{Exo}
\begin{enumerate}
\item Définir les ensembles suivants en compréhension:
\begin{enumerate}
\item A = \{1,2,4,8,16,32,64\};
\item B = \{1,2,7,14\}.
\end{enumerate}
\item Définir les ensembles suivants en extension:
\begin{enumerate}
\item $A = \{ x \in \R | x(x+5) = 14 \}$;
\item $C = \{ x \in \N_{10}^* | x^4 -1 \textrm{ est divisible par 5 } \}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exo}


\subsection{Règles de fonctionnement}


 \paragraph{Relation d'appartenance.} \index{appartenance} On admet être capable de décider si un objet est ou non élément d'un ensemble. Le fait que l'élément $x$ appartienne à l'ensemble $X$ se note : $x \in X$.

\paragraph{Objets distincts.} On admet aussi être capable de distinguer entre eux les éléments d'un ensemble. En particulier, un ensemble ne peut pas contenir deux fois le même objet.

\paragraph{Ensemble vide.}\index{ensemble!vide} Il existe un ensemble ne contenant aucun élément, appelé ensemble vide: $\varnothing$.
L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe. 


\paragraph{Dernière règle de fonctionnement des ensembles.} \textcolor{red}{Un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même}.



\subsection{Sous-ensembles, ensemble des parties}

Les sous-ensembles sont définis par la relation d'inclusion\index{inclusion}...

\begin{Def}
$A$ est un sous-ensemble de $B$ ($A \subset B$)\fg{} si et seulement si tout élément de $A$ appartient à $B$. On dit aussi que $A$ est une partie de $B$.
\end{Def}


\begin{Th}
L'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble.
\end{Th}

\begin{Proof}
Raisonnons par l'absurde: 
si l'ensemble vide n'est pas inclus dans $A$, 
alors il existe au moins un élément de l'ensemble vide qui n'appartient pas à $A$.
Ceci est absurde puisque l'ensemble vide est vide.
\end{Proof}


\begin{Th}
Tout ensemble est inclus dans lui-même.
\end{Th}


\begin{Def}
Soit $A$ un ensemble. L'ensemble des parties de $A$, noté $\mathcal{P}(A)$, est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $A$.
\end{Def}



\begin{Th}
Pour tout ensemble $A$, on a $\varnothing, A \in \mathcal{P}(A)$.
\end{Th}


\begin{Ex}
 Si $A = \{ 1, 2, 3\}$, alors  $\mathcal{P}(A) = \{ \varnothing , \{1 \},\{2 \}, \{3 \},  \{1,2 \}, \{1,3 \}, \{2,3 \}, \{1,2,3 \} \}$.
\end{Ex}


\begin{Exo}
Justifier le fait que le nombre d'éléments de $\mathcal{P}(A)$ est égal à $2^n$, où $n$ représente le nombre d'éléments de $A$.
\end{Exo}


\begin{Exo}
On considère A = \{1,2\}. Dire quelles assertions sont exactes :
\begin{enumerate}
\item $1 \in A$,
\item $1 \subset A$,
\item $\{1\} \in A$,
\item $\{1\} \subset A$,
\item $\varnothing \in A$,
\item $\varnothing \subset A$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\begin{Exo}
Reprendre l'exercice précédent, avec $A = \{\{1\}, \{2\}\}$.
\end{Exo}




\begin{Exo}
Est-ce que $\{a\} \in \{a,b,c\}$ ? Former la liste des parties de $\{a,b,c\}$.
\end{Exo}


\begin{Exo}
 Montrer que $\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)$ quand $A \subset B$.
\end{Exo}


\section{Opérations sur les ensembles}

\subsection{\'Egalite de deux ensembles}

\begin{Def}
Deux ensembles sont \emph{égaux} si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
\end{Def}



$A \subset B$ et $B \subset A \Longleftrightarrow A = B$. 

\begin{Exo}
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les ensembles sont égaux :
\begin{enumerate}
 \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \geqslant |x| \}$;
\item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \leqslant |x| \}$;
\item $A = \Z$ et $B = \{ x \in \Z | x(x-1) \textrm{ pair } \}$;
on pourra réfléchir sur la parité de $x(x-1)$.
\end{enumerate}
\end{Exo}

\subsection{Réunion, intersection}

\begin{Def}[Reunion]\index{réunion} 
La \emph{réunion} des deux ensembles $A$ et  $B$, notée $A \cup B$ est
l'ensemble des éléments qui sont éléments de $A$ ou de $B$.
\end{Def}
\begin{Ex}
 $A = \{1,2,3\}, B = \{1,4,5\}, \text{ alors } A \cup B = \{ 1,2,3,4,5\}$
\end{Ex}


\begin{Def}[Intersection]\index{réunion} 
L'\emph{intersection} des deux ensembles $A$ et  $B$, notée $A \cap B$, 
est l'ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$.
\end{Def}







\begin{Th}[Propriétés de la réunion et de l'intersection]
La réunion de deux ensembles possède certaines propriétés :
\begin{itemize}
 \item idempotence : $A \cup A = A$ et $A \cap A = A$;
 \item commutativité : $A \cup B = B \cup A $ et $A \cap B = B \cap A$;
 \item associativité : $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ et $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$;
 \item éléments neutres : $A \cup \varnothing = A$ et $A \cap \Omega = A$.
\end{itemize}
\end{Th}

\begin{Exo}
\item Construire la réunion puis l'intersection des ensembles $A = \{x \in \R | 0 \leqslant x \leqslant 3 \}$, $B = \{ x \in \R | -2 < x \leqslant 1 \}$.
\end{Exo}

\begin{Exo}
Faire la réunion des ensembles $A$ et $B$, quand $A = \{x \in \N | x \textrm{ impair } \}$, et $B = \{ x \in \N | x \textrm{  pas divisible par 3 } \}$.
\end{Exo}


\begin{Th}[Distributivités de $\cup$ et $\cap$]
On a les distributivités :
\begin{itemize}
 \item de $\cup$ sur $\cap$ : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
\item de $\cap$ sur $\cup$ : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
\end{itemize}
\end{Th}

\begin{Exo}
 On se donne trois ensembles $A, B, C$ tels que $A \cap B \cap C = \varnothing $. Sont-ils nécessairement disjoints deux à deux ? Donner des exemples.
\end{Exo}


\subsection{Complémentation}

\begin{Def}[Complémentation]
Pour $A \subset E$, on définit le \emph{complémentaire}\index{ensemble!complémentaire}\index{complémentation} de $A$ par rapport à $E$ comme l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas éléments de $A$. On note le complémentaire de $A$ dans $E$ : $E \setminus A$ (\og $E$ moins $A$ \fg{}) ou $\bar A$ quand ce n'est pas ambiguë.
\end{Def}



\begin{Th}
La complémentation a plusieurs propriétés remarquables :
 \begin{itemize}
 \item involution\index{involution} : $\bar{\bar{A}} = A$,
 \item loi de De Morgan\index{loi de De Morgan}  : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$, et $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.
\end{itemize}
\end{Th}



\begin{Exo}
Pour deux ensembles $A$ et $B$, 
on appelle différence symétrique, note $A\Delta B$, 
l'ensemble défini par 
$A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ 
c'est-à-dire que $A \Delta B$ est constitué des éléments qui appartiennent soit à $A$, soit à $B$, mais pas aux deux.
\begin{enumerate}
\item Montrez que $A\Delta B = [A\inter(E\moins B)]\union[(E\moins A) \inter B]$.
\item Simplifier les expressions $A \Delta A$, $A \Delta (E\moins A)$, $A \Delta E$ et $E\moins (A\triangle B)$.
\item Montrer que, si $A\triangle B=C$, alors $A\triangle C=B$ et $B\triangle C=A$.
\item Montrer que si $A \Delta B = A \Delta C$ alors $B = C$.
\end{enumerate}
\end{Exo}


\subsection{Produit cartésien}

Le produit cartésien des ensembles $A$ et $B$ (dans cet ordre) est l'ensemble, que l'on note $A \times B$ (\og $A$ croix $B$ \fg{}) des couples ordonnés $(a,b)$ où $a \in A$ et $b \in B$. Dans le couple $(a,b)$:
\begin{itemize}
\item $(a,b)$ n'est pas un ensemble et 
\item $(a,b)$ est distinct de $(b,a)$.
\end{itemize}




\begin{Exo}
Énumérez les éléments de $\{a,b,c\}\times\{1,2\}$ . 
Combien y en a-t-il?
\end{Exo}




\section{Exercices supplémentaires}

\begin{Exo}
Soit $E$ un ensemble non vide et $A$, $B$, $C$, $X$, $Y$ des parties de $E$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si on a $(X\inter A=X\inter B)$ et $Y\sse X$ sont 
alors on a $ Y\inter A=Y\inter B$.
 \item  Montrer que si on a 
   $(A\union C)\sse(A\union B)$ et $(A\inter C)\sse(A\inter B)$ 
   alors  on a  $C\sse B$.

\item  Montrer que si on a  
$ A\sse (B\inter C) $ et $(B\union C)\sse A $ 
alors on a 
$ A=B=C$.

 \end{enumerate}
\end{Exo}




\begin{Exo}
Soit $E$ un ensemble non vide et ${\cal P}(E)$ l'ensemble de ses parties.

Soit $f$ une application croissante, pour l'inclusion, de ${\cal P}(E)$ dans lui-même (c'est-à-dire : si $X$ et $Y$ sont deux parties de $E$ et si $X \sse Y$, alors $f(X) \sse f(Y)$).
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout couple $(X,Y)$ de parties de $E$, on a: $f(X) \union
f(Y) \sse f(X \union Y)$.

\item On dit qu'une partie $X$ de $E$ est régulière si et seulement si $f(X) \sse X$. Montrer qu'il existe au moins une partie
régulière dans $E$ et que, si $X$ est régulière, il en est de même de $f(X)$.

\item Soit $A$ l'intersection de toutes les parties régulières de $E$. Montrer que $A$ est régulière et que $f(A) = A$.
\end{enumerate}
\end{Exo}









\begin{Exo}[Fonction caractéristique des parties d'un ensemble]
On appelle fonction caractéristique de la partie $A$ de l'ensemble $E$ $(E\neq\vide$, $A\neq\vide$, $A\sse E$) l'application $f_A:E\imp\{0,1\}$, définie par:
\begin{itemize}
\item $\qqs x\in A,\ f_A(x) = 1$;
\item $\qqs x \in E\moins A,\ f_A(x) = 0$.
\end{itemize}

On pose de plus  $\qqs x\in E, f_{\vide}(x) = 0$ et $f_E(x)=1$.

Étudier les fonctions caractéristiques d'une réunion, d'une intersection de deux parties, ainsi que celle du
complémentaire d'une partie.
\end{Exo}




\gsaut
\centerline{\x{Fin du Chapitre}}

