\item s'il a moins de 50 ans et mesure plus de 20 m de hauteur;
\item s'il est tordu.
\end{itemize}
-Pour un arbre quelconque, on définit les variables booléennes suivantes par:
+Pour un arbre quelconque, on définit les variables booléennes suivantes:
\begin{itemize}
\item $a=1$ si l'arbre est un résineux;
\item $b=1$ si l'arbre a moins de 50 ans;
Sur $\N^*$ on définit la relation
-$a \mathcal{R} b$ si $a^b \leq b ^a$.
+$a \mathcal{R} b$ si et seulement si
+$a^b \leq b ^a$.
+
\begin{enumerate}
\item A-t-on $2 \mathcal{R} 3$? $2 \mathcal{R} 7$? $2 \mathcal{R} 4$? $4 \mathcal{R} 2$? Justifier à chaque fois.
\item La fonction logarithme népérien $\ln: \R^{+*} \rightarrow \R$ étant
croissante, montrer que sur $\N^*$
- $a \mathcal{R} b$ si $\dfrac{\ln(a)}{a} \leq \dfrac{\ln(b)}{b}$.
+ $$
+ a \mathcal{R} b \textrm{ si et seulement si }
+ \dfrac{\ln(a)}{a} \leq \dfrac{\ln(b)}{b}.
+ $$
\item La relation est-elle transitive? Pour justifier votre réponse, on
- pourra utiliser la question précédente.
+ pourra utiliser la question précédente.
\item La relation est-elle antisymétrique? Le justifier.
\end{enumerate}
