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[cours-maths-dis.git] / arithmetique / entiersNaturels.tex

diff --git a/arithmetique/entiersNaturels.tex b/arithmetique/entiersNaturels.tex
index 4f5d729d333b6fec8a1638ff74c39b009ec57898..4f3126e6e031aaa706142de39d79aa281643f157 100755 (executable)
--- a/arithmetique/entiersNaturels.tex
+++ b/arithmetique/entiersNaturels.tex
@@ -135,7 +135,7 @@ Ainsi, le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair) est 2.
 \begin{Def}[Décomposition en facteurs premiers]
 L'écriture d'un entier $n$ sous la forme $n=a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}\ldots$, où \begin{itemize}
 \item $a$, $b$, $c$, \ldots  sont des nombres premiers distincts 
 \begin{Def}[Décomposition en facteurs premiers]
 L'écriture d'un entier $n$ sous la forme $n=a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}\ldots$, où \begin{itemize}
 \item $a$, $b$, $c$, \ldots  sont des nombres premiers distincts 

-deux à deux tels que $a < b < c < ldots$;
+deux à deux tels que $a < b < c <\ldots$;

 \item les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont des entiers naturels 
   non nuls;
 \end{itemize}
 \item les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont des entiers naturels 
   non nuls;
 \end{itemize}


@@ -594,7 +594,7 @@ $405x -120y =15$.
 \end{Exo}
 
 \begin{Exo}
 \end{Exo}
 
 \begin{Exo}

-  On considère l'équation $\frac{x}{0}-\frac{y}{4}=3$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. 
+  On considère l'équation $\frac{x}{9}-\frac{y}{4}=3$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. 

  \begin{enumerate}
 \item Montrer que cela implique qu'il existe $k \in \N$ tel que  
  $x= 9(k+ 3)$ et $y=4k$.
  \begin{enumerate}
 \item Montrer que cela implique qu'il existe $k \in \N$ tel que  
  $x= 9(k+ 3)$ et $y=4k$.


@@ -642,86 +642,6 @@ pièces chacune. Combien pouvait-il y
 avoir d’hommes et de femmes dans le groupe?
 \end{Exo}
 
 avoir d’hommes et de femmes dans le groupe?
 \end{Exo}
 

-
-\section{Représentation des nombres entiers}
-
-
-
-\begin{Def}[Principe de la numération de position]
-\index{Principe de la numérotation de position}
-Il consiste à choisir une base $b$ de numération, et $b$ symboles qui constitueront les chiffres dans la représentation d'un entier positif en base $b$.
-Celle-ci s'écrira alors
-$$n=n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$$ 
-
-Cette écriture est abrégée en ${\left(\overline{n_{p}n_{p-1}\ldots n_{0}}\right)}_{b}$.
-\end{Def}
-
-En informatique, on utilise couramment les bases 2, 8 et 16.
-
-
-
-
-
-L'algorithme pour obtenir la représentation en base $b$ d'un entier est :
-
-\begin{enumerate}
- \item Effectuer la division euclidienne de cet entier par $b$, division qui donne un premier quotient et un premier reste.
- \item Le quotient est à sont tour divisé par $b$ pour donner un second quotient et un second reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul.
-\item Les restes successifs (tous strictement inférieurs à $b$), et en commençant par le dernier, constituent la représentation en base $b$ de l'entier donné.
-\end{enumerate}
-
-\begin{Exo}
-Donner la représentation de 23 en base 2.
-\end{Exo}
-
-
-
-\begin{Exo}[Numération, changements de base]
-\begin{enumerate}
-\item Chercher les entiers dont le carré a, en représentation décimale, 
-le même chiffre pour les dizaines et les unités. 
-\item On pose $a=2p-1$, $b=2p+1$, $c=2p+3$; trouver l'entier $p$ de manière que $a^2+b^2+c^2$ soit de la forme $\sur{xxxx}_{10}$.
-\item L'entier $n$ s'écrit $\sur{341}_{10}$ et $\sur{2331}_a$. Trouver $a$.
-\item Montrer que, dans toute base $b$ supérieure ou égale à 3, l'entier qui s'écrit $\sur{11211}_b$ n'est pas  premier.
-\item Soit $n\geqslant 7$. Donner l'écriture de $(n+1)^4$ en base $n$.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-
-
-\begin{Exo}[Développement décimal]
-On considère le nombre réel $x$ dont le dé\-ve\-lop\-pe\-ment décimal s'écrit $x=0,012\ 345\ 679\ 012\ 345\ 679\ \ldots\ \ldots\ \ldots$ (la séquence $012\ 345\ 679$ est reproduite indéfiniment). Ce développement décimal est périodique, de période 9.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que $x$
-vérifie une équation de la forme $10^kx=n+x$, où $k$ et $n$ sont
-des entiers à déterminer. En résolvant cette équation,
-montrer que $x$ est un nombre rationnel, et le mettre sous la forme
-$x= \fr pq$ , où $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
-\item Appliquer
-la même méthode au ``nombre" $y$ dont le développement
-décimal est $y= 0,999\ 999\ 999\ 999\ \ldots$ (périodique de période
-1). Quelle conclusion peut-on en tirer?
-\item Démontrer que tout nombre réel dont le développement
-décimal est fini ou périodique à partir d'un certain rang
-est un nombre rationnel.
-\item Réciproquement, on se propose de démontrer que le
-développement décimal de tout nombre rationnel est fini ou
-périodique à partir d'un certain rang. Pour cela, on
-considère un rationnel $x=\fr pq$ , avec $q>0$, $p\in
-\Z$, $p$ et $q$ premiers entre eux, et on étudiera successivement
-les cas suivants:
-\begin{itemize}
-\item $x$ est entier (c'est à dire $q=1$).
-\item $x$ est rationnel non entier, et $q$ est premier avec 10 (On
-pourra montrer que, si $q$ est premier avec 10, il existe un entier
-$k$, non nul, tel que $10^k\equiv 1\ [q]$).
-\item $x$ est rationnel non entier, mais $q$ n'est pas premier avec 10.
-\end{itemize}
-\end{enumerate}
-
-\end{Exo}
-
-

 \section{Arithmétique modulo $n$} 
 
 On rappelle ici la définition de la relation dite de \og congruence modulo n\fg{} définie dans $\Z$ étudiée dans le chapitre consacré aux relations entre ensembles.
 \section{Arithmétique modulo $n$} 
 
 On rappelle ici la définition de la relation dite de \og congruence modulo n\fg{} définie dans $\Z$ étudiée dans le chapitre consacré aux relations entre ensembles.


@@ -938,11 +858,92 @@ Quel est le plus petit nombre de pièces d'or qu'il espère lorsqu'il décide d'
 
 
 \begin{Exo}
 
 
 \begin{Exo}

-Un nombre \og pseudo-premier de base $b$ \fg{}\index{pseudo-premier} est un entier naturel non premier $p$ tel que $(b^p-b) mod p = 0$.
+Un nombre \og pseudo-premier de base $b$ \fg{}\index{pseudo-premier} est un entier naturel non premier $p$ tel que $(b^p-b) \mod p = 0$.

 Vérifier que 561 est pseudo-premier de base 3 et que 341 est pseudo-premier de base 2.
 \end{Exo}
 
 
 Vérifier que 561 est pseudo-premier de base 3 et que 341 est pseudo-premier de base 2.
 \end{Exo}
 
 

+
+\section{Représentation des nombres entiers}
+
+
+
+\begin{Def}[Principe de la numération de position]
+\index{Principe de la numérotation de position}
+Il consiste à choisir une base $b$ de numération, et $b$ symboles qui constitueront les chiffres dans la représentation d'un entier positif en base $b$.
+Celle-ci s'écrira alors
+$$n=n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$$ 
+
+Cette écriture est abrégée en ${\left(\overline{n_{p}n_{p-1}\ldots n_{0}}\right)}_{b}$.
+\end{Def}
+
+En informatique, on utilise couramment les bases 2, 8 et 16.
+
+
+
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+L'algorithme pour obtenir la représentation en base $b$ d'un entier est :
+
+\begin{enumerate}
+ \item Effectuer la division euclidienne de cet entier par $b$, division qui donne un premier quotient et un premier reste.
+ \item Le quotient est à sont tour divisé par $b$ pour donner un second quotient et un second reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul.
+\item Les restes successifs (tous strictement inférieurs à $b$), et en commençant par le dernier, constituent la représentation en base $b$ de l'entier donné.
+\end{enumerate}
+
+\begin{Exo}
+Donner la représentation de 23 en base 2.
+\end{Exo}
+
+
+
+\begin{Exo}[Numération, changements de base]
+\begin{enumerate}
+\item Chercher les entiers dont le carré a, en représentation décimale, 
+le même chiffre pour les dizaines et les unités. 
+\item On pose $a=2p-1$, $b=2p+1$, $c=2p+3$; trouver l'entier $p$ de manière que $a^2+b^2+c^2$ soit de la forme $\sur{xxxx}_{10}$.
+\item L'entier $n$ s'écrit $\sur{341}_{10}$ et $\sur{2331}_a$. Trouver $a$.
+\item Montrer que, dans toute base $b$ supérieure ou égale à 3, l'entier qui s'écrit $\sur{11211}_b$ n'est pas  premier.
+\item Soit $n\geqslant 7$. Donner l'écriture de $(n+1)^4$ en base $n$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
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+\begin{Exo}[Développement décimal]
+On considère le nombre réel $x$ dont le dé\-ve\-lop\-pe\-ment décimal s'écrit $x=0,012\ 345\ 679\ 012\ 345\ 679\ \ldots\ \ldots\ \ldots$ (la séquence $012\ 345\ 679$ est reproduite indéfiniment). Ce développement décimal est périodique, de période 9.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $x$
+vérifie une équation de la forme $10^kx=n+x$, où $k$ et $n$ sont
+des entiers à déterminer. En résolvant cette équation,
+montrer que $x$ est un nombre rationnel, et le mettre sous la forme
+$x= \fr pq$ , où $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
+\item Appliquer
+la même méthode au ``nombre" $y$ dont le développement
+décimal est $y= 0,999\ 999\ 999\ 999\ \ldots$ (périodique de période
+1). Quelle conclusion peut-on en tirer?
+\item Démontrer que tout nombre réel dont le développement
+décimal est fini ou périodique à partir d'un certain rang
+est un nombre rationnel.
+\item Réciproquement, on se propose de démontrer que le
+développement décimal de tout nombre rationnel est fini ou
+périodique à partir d'un certain rang. Pour cela, on
+considère un rationnel $x=\fr pq$ , avec $q>0$, $p\in
+\Z$, $p$ et $q$ premiers entre eux, et on étudiera successivement
+les cas suivants:
+\begin{itemize}
+\item $x$ est entier (c'est à dire $q=1$).
+\item $x$ est rationnel non entier, et $q$ est premier avec 10 (On
+pourra montrer que, si $q$ est premier avec 10, il existe un entier
+$k$, non nul, tel que $10^k\equiv 1\ [q]$).
+\item $x$ est rationnel non entier, mais $q$ n'est pas premier avec 10.
+\end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+\end{Exo}
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 \section{Arithmétique en informatique}
 
 
 \section{Arithmétique en informatique}