% \end{Exo}
-\begin{Exo}
-Montrer que pour tout entier naturel $n$, 3 divise $4^n -1$.
-\end{Exo}
-
\begin{Exo}
Soit la suite $(U_n)_{n\in \N}$ définie par $U_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2} $.
\begin{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exo}
-% \begin{Exo}
-% Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tout $ n \in \N$,
-% $$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
-% Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
-% \end{Exo}
-% \begin{Exo}
-% Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
-% \end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Montrer que pour tout entier naturel $n$, 3 divise $4^n -1$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tout $ n \in \N$,
+$$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
+Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
+\end{Exo}
Ainsi, le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair) est 2.
\end{Exo}
-\begin{Th}
-Il existe une infinité de nombres premiers.
-\end{Th}
-
-\begin{Exo}[Nombres premiers en quantité infinie]
-Supposons comme hypothèse que l'ensemble des nombres premiers $\{ p_1, p_2, p_3 \ldots p_{n-1}, p_n \}$ est de cardinalité finie $n$.
-On construit le nombre $N = p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que d'après l'hypothèse, il existe un nombre premier $q$ tel que
- $N$ est un multiple de $q$.
-\item Montrer cependant que $N$ n'est pas un multiple de $p_1$. Idem pour $p_2$, \ldots $p_n$.
-\item En déduire que $q$ est un nombre premier différent de $p_1$, de $p_2$, \ldots de $p_n$.
-\item En déduire une contradiction dans l'hypothèse.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
+
+
%\subsection{Décomposition en facteurs premiers}
\begin{Def}[Décomposition en facteurs premiers]
\'Ecrivez les nombres 3850 et 1911 sous forme de produits de nombres premiers.
\end{Exo}
+
+
+
%\noindent Réponses : $2*5^2*7*11$ et $3*7^2*13$.
+\begin{Th}
+Il existe une infinité de nombres premiers.
+\end{Th}
+
+\begin{Exo}[Nombres premiers en quantité infinie]
+Supposons comme hypothèse que l'ensemble des nombres premiers $\{ p_1, p_2, p_3 \ldots p_{n-1}, p_n \}$ est de cardinalité finie $n$.
+On construit le nombre $N = p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que d'après l'hypothèse, il existe un nombre premier $q$ tel que
+ $N$ est un multiple de $q$.
+\item Montrer cependant que $N$ n'est pas un multiple de $p_1$. Idem pour $p_2$, \ldots $p_n$.
+\item En déduire que $q$ est un nombre premier différent de $p_1$, de $p_2$, \ldots de $p_n$.
+\item En déduire une contradiction dans l'hypothèse.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
%\subsection{Relation de divisibilité}
Pour $p \in \N$, on appelle nombres de Fermat les nombres de la forme
$F_p = 2^{2^p}+1$.
\begin{enumerate}
+\item Question préliminaire: montrer que les deux égalités suivantes sont établies:
+\begin{enumerate}
+\item $x^n- 1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+ x + 1)$ pour tout entier naturel $n$ strictement positif.
+\item $x^n+ 1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\ldots \pm x \mp 1)$ pour tout entier naturel $n$ impair
+\end{enumerate}
+
\item Montrer que,
pour que $2^n+1$ soit premier, il est nécessaire
- que $n$ soit une puissance de 2.
+ que $n$ soit une puissance de 2.
\item Pour montrer que ce n'est pas suffisant, vérifier que $F_5$ est
divisible par 641.
\item En déduire que $F_p$ et $F_{p+k}$ sont premiers entre eux.
-%\item En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.
+
\end{enumerate}
\end{Exo}
