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-\section{Représentation des nombres entiers}
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-\begin{Def}[Principe de la numération de position]
-\index{Principe de la numérotation de position}
-Il consiste à choisir une base $b$ de numération, et $b$ symboles qui constitueront les chiffres dans la représentation d'un entier positif en base $b$.
-Celle-ci s'écrira alors
-$$n=n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$$
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-Cette écriture est abrégée en ${\left(\overline{n_{p}n_{p-1}\ldots n_{0}}\right)}_{b}$.
-\end{Def}
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-En informatique, on utilise couramment les bases 2, 8 et 16.
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-L'algorithme pour obtenir la représentation en base $b$ d'un entier est :
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-\begin{enumerate}
- \item Effectuer la division euclidienne de cet entier par $b$, division qui donne un premier quotient et un premier reste.
- \item Le quotient est à sont tour divisé par $b$ pour donner un second quotient et un second reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul.
-\item Les restes successifs (tous strictement inférieurs à $b$), et en commençant par le dernier, constituent la représentation en base $b$ de l'entier donné.
-\end{enumerate}
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-\begin{Exo}
-Donner la représentation de 23 en base 2.
-\end{Exo}
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-\begin{Exo}[Numération, changements de base]
-\begin{enumerate}
-\item Chercher les entiers dont le carré a, en représentation décimale,
-le même chiffre pour les dizaines et les unités.
-\item On pose $a=2p-1$, $b=2p+1$, $c=2p+3$; trouver l'entier $p$ de manière que $a^2+b^2+c^2$ soit de la forme $\sur{xxxx}_{10}$.
-\item L'entier $n$ s'écrit $\sur{341}_{10}$ et $\sur{2331}_a$. Trouver $a$.
-\item Montrer que, dans toute base $b$ supérieure ou égale à 3, l'entier qui s'écrit $\sur{11211}_b$ n'est pas premier.
-\item Soit $n\geqslant 7$. Donner l'écriture de $(n+1)^4$ en base $n$.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
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-\begin{Exo}[Développement décimal]
-On considère le nombre réel $x$ dont le dé\-ve\-lop\-pe\-ment décimal s'écrit $x=0,012\ 345\ 679\ 012\ 345\ 679\ \ldots\ \ldots\ \ldots$ (la séquence $012\ 345\ 679$ est reproduite indéfiniment). Ce développement décimal est périodique, de période 9.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que $x$
-vérifie une équation de la forme $10^kx=n+x$, où $k$ et $n$ sont
-des entiers à déterminer. En résolvant cette équation,
-montrer que $x$ est un nombre rationnel, et le mettre sous la forme
-$x= \fr pq$ , où $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
-\item Appliquer
-la même méthode au ``nombre" $y$ dont le développement
-décimal est $y= 0,999\ 999\ 999\ 999\ \ldots$ (périodique de période
-1). Quelle conclusion peut-on en tirer?
-\item Démontrer que tout nombre réel dont le développement
-décimal est fini ou périodique à partir d'un certain rang
-est un nombre rationnel.
-\item Réciproquement, on se propose de démontrer que le
-développement décimal de tout nombre rationnel est fini ou
-périodique à partir d'un certain rang. Pour cela, on
-considère un rationnel $x=\fr pq$ , avec $q>0$, $p\in
-\Z$, $p$ et $q$ premiers entre eux, et on étudiera successivement
-les cas suivants:
-\begin{itemize}
-\item $x$ est entier (c'est à dire $q=1$).
-\item $x$ est rationnel non entier, et $q$ est premier avec 10 (On
-pourra montrer que, si $q$ est premier avec 10, il existe un entier
-$k$, non nul, tel que $10^k\equiv 1\ [q]$).
-\item $x$ est rationnel non entier, mais $q$ n'est pas premier avec 10.
-\end{itemize}
-\end{enumerate}
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-\end{Exo}
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