+
+
+\section{Théorème de Bézout}
+
+
+On considère deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$.
+
+\begin{Th}[Théorème de Bézout]
+\index{théorème!de Bézout}
+Il existe un couple d'entiers $u$ et $v$ tels que $au-bv=d$, où $d$ est le PGCD de $a$ et de $b$.
+\end{Th}
+
+\begin{Proof}
+On peut se ramener au cas où $a \et b=1$.
+
+En effet, si $d>1$, on peut écrire $a=a'd$ et $b=b'd$ avec $a' \et b'=1$; si le théorème est établi dans le cas du PGCD égal à $1$, on peut affirmer l'existence de $u$ et de $v$ tels que $a'u-b'v=1$; en multipliant les deux membres de cette égalité par $d$, on obtient $a'du-b'dv=d$,
+soit $au-bv=d$.
+
+Il suffit donc d'établir le théorème dans le cas où $d=1$ ($a$ et $b$ premiers entre eux). Plaçons nous dans $(\Z/b\Z)^*$ et considérons l'application de cet ensemble dans lui-même définie par $x \fc ax$. Essayons de résoudre $ax=ax'$, soit $a(x-x')=0$, soit encore $a(x-x') \equiv 0[b]$, ou finalement $a(x-x')=kb$, avec $k \in \Z$.
+
+Comme $a\et b=1$, $a$ ne divise pas $b$, donc divise $k$; on peut écrire $k=k'a$, il reste $x-x'=k'b$, donc $x \equiv x'[b]$, donc $x=x'$; finalement $ax=ax' \Imp x=x'$, donc l'application envisagée est injective; comme il s'agit d'un ensemble fini, elle est évidemment aussi surjective, donc il existe $u$ tel que $au=1$, ce qui s'écrit encore $au \equiv 1[b]$, ou encore $au=bv+1$, finalement $au-bv=1$.
+\end{Proof}
+
+
+
+\begin{Rem}
+Ce couple n'est pas unique.
+\begin{Proof}
+En effet, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $(a,b)$, donc tel que $au-bv=d$, où $d=a\et b$, alors, pout tout $k$ dans $\Z$, $a(u+kb)-b(v+ka)= au-bv+kab-kab=au-bv=d$ aussi.
+\end{Proof}
+\end{Rem}
+
+
+
+\begin{Exo}
+Montrez que, si $m$ est multiple de deux nombres premiers entre eux $a$ et $b$, alors $m$ est multiple de $ab$.
+\end{Exo}
+
+% \noindent Réponse : $1 = aa'+bb'$, donc $m = maa'+mbb'$. Or $m=ax=by$, donc $m = ab(ya'+xb')$.
+
+
+
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item Montrez que, si on divise deux entiers naturels $a$ et $b$ par leur pgcd, alors les quotients obtenus sont premiers entre eux.
+
+\item Réciproquement, montrer que, si les quotients obtenus en divisant $a$ et $b$ par un diviseur commun $d$ sont premiers entre eux, alors $d=\textit{PGCD}(a,b)$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+% \noindent Réponse : Soit $d = \textit{PGCD}(a,b)$, et $q_1$ et $q_2$ les quotients de $a$ et $b$ par $d$. Alors $d = aa'+bb' = d q_1 a' + d q_2 b'$. Donc $1 = q_1 a' + q_2 b'$ : $q_1$ et $q_2$ sont premiers entre eux. La réciproque est du même genre.
+
+\subsection{Algorithme d'Euclide généralisé}
+
+
+
+Pour deux entiers positifs $a$ et $b$, on a vu que l'algorithme d'Euclide s'écrit : $a \et b = b \et r$, où $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
+
+
+En supposant $a>b$, si on pose $a=r_0$ et $b=r_1$, on définit une famille finie $(r_0,r_1,\ldots,r_k,r_{k+1})$ par $r_i=q_{i+1}r_{i+1}+r_{i+2}$ (c'est-à-dire que $r_{i+2}$ est le reste dans la division euclidienne de $r_i$ par $r_{i+1}$).
+
+
+\noindent Cette famille...
+\begin{itemize}
+\item est strictement décroissante,
+\item est telle que $r_{k+1}=0$,
+\item vérifie $r_0 \et r_1 = r_1 \et r_2= \ldots = r_{k-1} \et r_k = r_k \et r_{k+1} = r_k \et 0 = r_k$.
+\end{itemize}
+
+\bigskip
+
+On remarque que $r_{k-1}$ est un multiple de $r_k$, puisque la division euclidienne de $r_{k-1}$ par $r_k$ s'écrit $r_{k-1}=q_kr_k$.
+
+Soit $d$ le PGCD de $a$ et de $b$ (évidemment, $d=r_k$), on peut écrire $1 \times r_k-0 \times r_{k-1} = d$ puis $1 \times r_{k-2} - q_{k-1} \times r_{k-1}=d$.
+
+
+D'une manière générale, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $r_{i+1}$ et $r_{i+2}$, soit $u \cdot r_{i+1}+v \cdot r_{i+2}=d$, comme $r_i=q_{i+1}\cdot r_{i+1} + r_{i+2}$, on a $u\cdot r_{i+1}+v \cdot (r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1})=d$, soit $(u-q_{i+1}\cdot v)\cdot r_{i+1}+v \cdot r_i=d$.
+
+\subsection{L'algorithme.}
+\index{algorithme!d'Euclide!généralisé}
+Ceci donne l'idée de construire deux familles par les relations :
+\begin{itemize}
+\item $u_0=1$, $u_1=0$,$u_{i+2}=u_i-q_{i+1} \cdot u_{i+1}$
+\item $v_0=0$, $v_1=1$, $v_{i+2}=v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}$.
+\end{itemize}
+
+C'est ce que l'on appelle algorithme d'Euclide généralisé. On a alors $(u_k,v_k,r_k)=(u,v,d)$, $u$ et $v$ tels que $a \cdot u+b \cdot v=d$.
+
+\begin{Pre}
+Pour cela, il suffit de montrer par récurrence que $\qqs i \in
+\{0,\ldots,k\}, r_0 \cdot u_i + r_1 \cdot v_i = r_i$.
+\begin{itemize}
+ \item Initialisation de la récurrence : la relation est vraie pour $i=0$, en effet $r_0 \cdot u_0+r_1 \cdot v_0=r_0$, puisque $u_0=1$ et $v_0=0$.
+\item Caractère héréditaire de la propriété : en supposant que $i$ est un entier pour lequel $r_0 \cdot u_i + r_1 \cdot v_i =
+r_i$ et $r_0 \cdot u_{i+1}+r_1 \cdot v_{i+1}=r_{i+1}$, calculons $r_0 \cdot u_{i+2}+r_1 \cdot v_{i+2}= r_0 \cdot (u_i-q_{i+1} \cdot u_{i+1}) + r_1 \cdot (v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}) = r_0 \cdot
+u_i+r_1 \cdot v_i-q_{i+1}\cdot (r_0 \cdot u_{i+1}+r_1 \cdot
+v_{i+1})=r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1}=r_{i+2}$.
+\end{itemize}
+\end{Pre}
+
+
+\subsection{Exemple.}
+
+Illustrons la mise en \oe{}uvre de cet algorithme...
+
+\begin{Ex}
+Soit à obtenir un couple de Bézout pour (23,17) :\vskip 10pt
+\begin{center}\begin{tabular}{c c c c}
+(23,1,0) & (17,0,1) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
+(17,0,1) & (6,1,-1) & $\longrightarrow$ & $q=2$ \\
+(6,1,-1) & (5,-2,3) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
+(5,-2,3) & (1,3,-4) & $\longrightarrow$ & $q=5$ \\
+(1,3,-4) & (0,-17,23) & $\longrightarrow$ & FIN
+\end{tabular}\end{center}\vskip 10pt
+On a bien $3 \times 23-4 \times 17=1$.\psaut
+\end{Ex}
+
+\begin{Rem}
+Il est possible d'obtenir -1 (ou $-d$ en général) comme résultat, donc $au-bv=-1$, cela dépend de la parité du nombre d'itérations effectuées dans l'algorithme précédent.
+
+Ce n'est pas un résultat faux, puisqu'alors $bv-au=1$ et qu'on a quand même un couple de Bézout pour $(b,a)$.
+
+S'il est nécessaire d'obtenir un couple $(u,v)$ tel que $au-bv=1$
+et où $a$ et $b$ figurent dans cet ordre, et que l'algorithme a fourni un couple $(u',v')$ tel que $bv'-au'=1$, il suffit de prendre $u=b-u'$ et $v=a-v'$ et, dans ces conditions $au-bv=a(b-u')-b(a-v')= ab -au' -ab +bv'=bv'-au'=1$.
+\end{Rem}
+
+\begin{Exo}
+Exprimer $\textit{PGCD}(1330,602)$ comme combinaison à coefficients entiers des nombres 1330 et 602.
+\end{Exo}
+
+
+
+\begin{Th}[Théorème de Gauss]
+Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturel non nuls.
+Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ est premier avec $b$,
+alors $a$ divise $c$.
+\end{Th}
+
+
+\begin{Exo}
+L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ d'inconnues $x$ et $y$
+$405x -120y =15$.
+\begin{enumerate}
+\item Trouver le pgcd de 405 et 120 à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
+\item En déduire une solution particulière de cette équation.
+\item En utilisant la solution particulière, montrer que $(E)$ est
+ équivalente à $27(x-3) = 8(y-10)$.
+\item Utiliser le théorème de Gauss pour montrer que
+ l'ensemble solution de $(E)$ est $\{(8k+3;27k+10)| k \in \Z\}$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+ On considère l'équation $\frac{x}{0}-\frac{y}{4}=3$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.
+ \begin{enumerate}
+\item Montrer que cela implique qu'il existe $k \in \N$ tel que
+ $x= 9(k+ 3)$ et $y=4k$.
+\item Démontrer que le PGCD de $x$ et $y$ ne peut être qu’un diviseur de 108.
+\item Soit $m$ le ppcm de $x$ et de $y$.
+ On envisage la décomposition de $m$ en facteurs premiers.
+ Trouver l'ensemble des entiers naturel $k$ pour que
+ \begin{enumerate}
+ \item $m$ ne contienne pas le facteur 2.
+ \item $m$ contienne le facteur 2 ou le facteur $2^2$.
+\item $m$ ne contienne pas le facteur 3.
+\item $m$ contienne le facteur 3, ou le facteur $3^2$, ou le facteur $3^3$.
+\end{enumerate}
+\item Comment faut-il choisir $x$ et $y$ de telle façon que
+ l’on ait $\textit{PGCD}(x,y) = 18$?
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item Décomposer 319 en facteurs premiers.
+
+\item Démontrer que si $x$ et $y$ sont deux entiers
+ naturels premiers entre eux, il en est de même pour les
+ nombres $3x + 5y$ et $x + 2y$.
+\item Résoudre dans $\Z^2$ le système d’inconnues $a$ et $b$:
+$$
+\left\{
+\begin{array}{rcl}
+(3a +5b)(a+2b) &= & 1276\\
+ab & = & 2m
+\textrm{ tel que $m$ est le PPCM de $a$ et $b$. }
+\end{array}
+\right.
+$$
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Au 8° siècle, un groupe composé d’hommes et
+de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une
+auberge.
+Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5
+pièces chacune. Combien pouvait-il y
+avoir d’hommes et de femmes dans le groupe?
+\end{Exo}
+
+
