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[cours-maths-dis.git] / ensembles / IntroAuxEnsembles13.tex

diff --git a/ensembles/IntroAuxEnsembles13.tex b/ensembles/IntroAuxEnsembles13.tex
index 7439ae935e6e9268602316b213a28f7809a89c19..bf41543c5dd49a36a55e8edbdfe49b5d84e91d20 100755 (executable)
--- a/ensembles/IntroAuxEnsembles13.tex
+++ b/ensembles/IntroAuxEnsembles13.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Rappels de théorie des ensembles}
+\section{Des Définitions}

 
 \subsection{Notion première d'ensemble}
 
 
 \subsection{Notion première d'ensemble}
 


@@ -44,13 +44,13 @@ On note $\N_n$ l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à $n$.
 L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe. 
 
 
 L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe. 
 
 

-\paragraph{Dernière règle de fonctionnement des ensembles.} \textcolor{red}{Un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même}.
+\paragraph{Dernière règle de fonctionnement des ensembles.}Un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même.

 
 
 
 \subsection{Sous-ensembles, ensemble des parties}
 
 
 
 
 \subsection{Sous-ensembles, ensemble des parties}
 

-Les sous-ensembles sont définis par la relation d'inclusion\index{inclusion}...
+Les sous-ensembles sont définis par la relation d'inclusion\index{inclusion}.

 
 \begin{Def}
 $A$ est un sous-ensemble de $B$ ($A \subset B$)\fg{} si et seulement si tout élément de $A$ appartient à $B$. On dit aussi que $A$ est une partie de $B$.
 
 \begin{Def}
 $A$ est un sous-ensemble de $B$ ($A \subset B$)\fg{} si et seulement si tout élément de $A$ appartient à $B$. On dit aussi que $A$ est une partie de $B$.


@@ -81,7 +81,8 @@ Soit $A$ un ensemble. L'ensemble des parties de $A$, noté $\mathcal{P}(A)$, est
 
 
 \begin{Th}
 
 
 \begin{Th}

-Pour tout ensemble $A$, on a $\varnothing, A \in \mathcal{P}(A)$.
+Pour tout ensemble $A$, on a $\varnothing\in \mathcal{P}(A)$ et  
+$A \in \mathcal{P}(A)$.

 \end{Th}
 
 
 \end{Th}
 
 


@@ -134,15 +135,15 @@ Deux ensembles sont \emph{égaux} si et seulement si ils ont les mêmes élémen
 
 
 
 
 
 

-$A \subset B$ et $B \subset A \Longleftrightarrow A = B$. 
+$ A = B\Longleftrightarrow A \subset B \land B \subset A$. 

 
 \begin{Exo}
 Dans chacun des cas suivants, déterminer si les ensembles sont égaux :
 \begin{enumerate}
  \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \geqslant |x| \}$;
 \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \leqslant |x| \}$;
 
 \begin{Exo}
 Dans chacun des cas suivants, déterminer si les ensembles sont égaux :
 \begin{enumerate}
  \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \geqslant |x| \}$;
 \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \leqslant |x| \}$;

-\item $A = \Z$ et $B = \{ x \in \Z | x(x-1) \textrm{ pair } \}$;
-on pourra réfléchir sur la parité de $x(x-1)$.
+\item $A = \Z$ et $B = \{ x \in \Z | x^2-x \textrm{ pair } \}$;
+on pourra réfléchir sur la parité de $x^2-x$.

 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 


@@ -183,12 +184,15 @@ La réunion de deux ensembles possède certaines propriétés :
 \end{Exo}
 
 \begin{Exo}
 \end{Exo}
 
 \begin{Exo}

-Faire la réunion des ensembles $A$ et $B$, quand $A = \{x \in \N | x \textrm{ impair } \}$, et $B = \{ x \in \N | x \textrm{  pas divisible par 3 } \}$.
+Construire la réunion des ensembles $A$ et $B$
+définis par  
+$$A = \{x \in \N | x \textrm{ est impair } \} \textrm{ et }
+B = \{ x \in \N | x \textrm{  n'est pas divisible par 3 } \}.$$

 \end{Exo}
 
 
 \begin{Th}[Distributivités de $\cup$ et $\cap$]
 \end{Exo}
 
 
 \begin{Th}[Distributivités de $\cup$ et $\cap$]

-On a les distributivités :
+On a les distributivités suivantes:

 \begin{itemize}
  \item de $\cup$ sur $\cap$ : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
 \item de $\cap$ sur $\cup$ : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
 \begin{itemize}
  \item de $\cup$ sur $\cap$ : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
 \item de $\cap$ sur $\cup$ : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$


@@ -221,12 +225,11 @@ La complémentation a plusieurs propriétés remarquables :
 \begin{Exo}
 Pour deux ensembles $A$ et $B$ inclus dans $E$, 
 on appelle différence symétrique, note $A\Delta B$, 
 \begin{Exo}
 Pour deux ensembles $A$ et $B$ inclus dans $E$, 
 on appelle différence symétrique, note $A\Delta B$, 

-l'ensemble défini par 
-$A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ 
-c'est-à-dire que $A \Delta B$ est constitué des éléments qui appartiennent soit à $A$, soit à $B$, mais pas aux deux.
+l'ensemble constitué des éléments de $E$ qui appartiennent soit à $A$,
+soit à $B$, mais pas aux deux.

 \begin{enumerate}
 \begin{enumerate}

-\item Montrez que $A\Delta B = [A\inter(E\moins B)]\union[(E\moins A) \inter B]$.
-\item Simplifier les expressions $A \Delta A$, $A \Delta (E\moins A)$, $A \Delta E$ et $E\moins (A\triangle B)$.
+\item Montrez que $A\Delta B = (A\inter \overline{B})\union(\overline{A} \inter B)$.
+\item Simplifier les expressions $A \Delta A$, $A \Delta \overline{A}$, $A \Delta E$ et $\overline{A\triangle B}$.

 \item Montrer que, si $A\triangle B=C$, alors $A\triangle C=B$ et $B\triangle C=A$.
 \item Montrer que si $A \Delta B = A \Delta C$ alors $B = C$.
 \end{enumerate}
 \item Montrer que, si $A\triangle B=C$, alors $A\triangle C=B$ et $B\triangle C=A$.
 \item Montrer que si $A \Delta B = A \Delta C$ alors $B = C$.
 \end{enumerate}