X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/cours-maths-dis.git/blobdiff_plain/53d3f77238e8e3cb2ff74399bf23d74402d3550a..1284ef2ac6e46e2f78902a137ba13570a9272ac9:/arithmetique/entiersNaturels.tex

diff --git a/arithmetique/entiersNaturels.tex b/arithmetique/entiersNaturels.tex
index 0860dba..dfe6439 100755
--- a/arithmetique/entiersNaturels.tex
+++ b/arithmetique/entiersNaturels.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Principe de rÃ©currence }
 
-Pour dÃ©montrer par \emp{rÃ©currence}
+Pour dÃ©montrer par \emph{rÃ©currence}
 \index{rÃ©currence!restreinte} 
 qu'une propriÃ©tÃ© $P(n)$ est vraie quel que soit l'entier $n \ge n_0$, 
 on procÃ¨de en deux Ã©tapes:
@@ -15,7 +15,7 @@ l'entier $n \ge n_0$. Une variante consiste Ã  remplacer l'Ã©tape~\ref{itm:2} pa
 \item[2 bis.] on suppose que $P(k)$ est vraie pour tout $k$ compris entre 
 $n_0$ et $n$, et on dÃ©montre que $P(n+1)$ est vraie.
 \end{enumerate}
-Ceci se dÃ©duit du fait que $\Nat$ est un ensemble complÃ¨tement ordonnÃ©. 
+Ceci se dÃ©duit du fait que $\N$ est un ensemble complÃ¨tement ordonnÃ©. 
 
 
 \begin{Exo}
@@ -27,19 +27,19 @@ Ceci se dÃ©duit du fait que $\Nat$ est un ensemble complÃ¨tement ordonnÃ©.
 \end{Exo}
 
 
-\begin{Exo}
-On souhaite calculer $S_1(n) = 1+2+...+n$.
-\begin{enumerate}
-\item Cherchez un bon candidat $S_1(n)$ pour cette formule.
-\begin{itemize}
-\item On pourra chercher un lien logique entre $S_1(1), S_1(2), S_1(3), S_1(4), ...$
-\item On pourra aussi faire le lien avec les suites arithmÃ©tiques.
-\item Ou encore, retrouver la mÃ©thode de Gauss : $S = 1+2+...+n$, et $S = n+(n-1)+...+2+1$. Si on somme ces deux expressions...
-\end{itemize}
-\item Prouvez, par rÃ©currence, que la somme est bien Ã©gale Ã  ce candidat.
-\item Quelle est la \og forme \fg{} de ce candidat (fonction tangente ? polynÃ´me ?) 
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
+% \begin{Exo}
+% On souhaite calculer $S_1(n) = 1+2+...+n$.
+% \begin{enumerate}
+% \item Cherchez un bon candidat $S_1(n)$ pour cette formule.
+% \begin{itemize}
+% \item On pourra chercher un lien logique entre $S_1(1), S_1(2), S_1(3), S_1(4), ...$
+% \item On pourra aussi faire le lien avec les suites arithmÃ©tiques.
+% \item Ou encore, retrouver la mÃ©thode de Gauss : $S = 1+2+...+n$, et $S = n+(n-1)+...+2+1$. Si on somme ces deux expressions...
+% \end{itemize}
+% \item Prouvez, par rÃ©currence, que la somme est bien Ã©gale Ã  ce candidat.
+% \item Quelle est la \og forme \fg{} de ce candidat (fonction tangente ? polynÃ´me ?) 
+% \end{enumerate}
+% \end{Exo}
 
 
 \begin{Exo}
@@ -51,7 +51,7 @@ On souhaite calculer $S_2(n) = 1^2+2^2+...+n^2$.
 \item Ou encore, 
 \begin{itemize}
 \item Regardez la forme de $S_0(n) = 1^0+2^0+...+n^0$, et de $S_1(n) = 1^1+2^1+...+n^1$
-\item Interpolez la formule pour $S_2(n)$. On pourra imaginer que $S_2(n)$ est toujours un polynÃ´me en $n$. Quel serait son degrÃ© le plus probable ? Quelle en serait donc la forme ? On aura Ã  dÃ©terminer les coefficients intervenant dans ce polynÃ´me. Pour ce faire, il suffit de considÃ©rer que cette formule doit convenir pour n=1, 2, etc.
+\item Extrapolez la formule pour $S_2(n)$. On pourra imaginer que $S_2(n)$ est toujours un polynÃ´me en $n$. Quel serait son degrÃ© le plus probable ? Quelle en serait donc la forme ? On aura Ã  dÃ©terminer les coefficients intervenant dans ce polynÃ´me. Pour ce faire, il suffit de considÃ©rer que cette formule doit convenir pour n=1, 2, etc.
 \end{itemize}
 \end{itemize}
 \item DÃ©montrez, par rÃ©currence, que l'on a bien Ã©galitÃ© entre $1^2+2^2+...+n^2$ et votre candidat.
@@ -59,18 +59,18 @@ On souhaite calculer $S_2(n) = 1^2+2^2+...+n^2$.
 \end{Exo}
 
 \begin{Exo}
-Poursuivre le raisonnement pour $S_3(n)$. Cette mÃ©thode permet-elle de calculer $S_k(n), \forall k,n$ ?
+Poursuivre le raisonnement pour $S_3(n)$. Cette mÃ©thode permet-elle de calculer $S_k(n)$ pour tout $k$ et $n$ dans $\N$?
 \end{Exo}
 
 
 \begin{Exo}
-Montrer que $\forall n \in \N$, 7 divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$.
+Montrer que pour tout $n \in \N$, 7 divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$.
 \end{Exo}
 
 \begin{Exo}
-Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite rÃ©elle telle que $\forall n \in \N$,
+Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite rÃ©elle telle que pour tout $ n \in \N$,
 $$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
-Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel $\forall n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
+Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
 \end{Exo}
 
 
@@ -87,9 +87,9 @@ Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divi
 Si un entier $n$ peut s'Ã©crire sous la forme $n=pq$, oÃ¹ $p$
 et $q$ sont des entiers, on dit que $n$ est un \emph{multiple} \index{multiple}
 de $p$ et que $p$ est un \emph{diviseur}\index{diviseur} de $n$.
+On Ã©crit aussi $p \mid n$ pour $p$ divise $n$.
 \end{Def}
 
-
 \begin{Exo}
  Soit $m = 2^3 * 5 * 7^2 * 13^3$. Combien le nombre $m$ a-t-il de diviseurs naturels ?
 \end{Exo}
@@ -101,9 +101,9 @@ Un \emph{nombre premier}\index{nombre!premier} est un nombre entier strictement
 \end{Def}
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 Ainsi, le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair) est 2.
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 \begin{Th}
 Il existe une infinitÃ© de nombres premiers.
@@ -121,7 +121,7 @@ Il existe une infinitÃ© de nombres premiers.
 \begin{Def}[DÃ©composition en facteurs premiers]
 L'Ã©criture d'un entier $n$ sous la forme $n=a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}\ldots$, oÃ¹ $a\vir b\vir c\vir\ldots$ sont les diviseurs premiers distincts de $n$ et oÃ¹ les exposants $\alpha\vir\beta\vir\gamma\vir\ldots$ sont tels que, par exemple, $n$ est divisible par $a^{\alpha}$ mais pas par $a^{\alpha+1}$ s'appelle la \emph{dÃ©composition en facteurs premiers} \index{dÃ©composition en facteurs premiers} de $n$.
 
-On dit que les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, \ldots sont les ordres de multiplicitÃ© des diviseurs $a$, $b$, $c$, \ldots)
+On dit que les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, \ldots sont les ordres de multiplicitÃ© des diviseurs $a$, $b$, $c$, \ldots
 \end{Def}
 
 
@@ -143,32 +143,34 @@ La dÃ©composition d'un entier en ses facteurs premiers est unique.
 \subsection{Relation de divisibilitÃ©}
 
 Dans le chapitre sur les relations entre ensembles,
-on a vu la relation binaire de \og divisibilitÃ©\fg{} dÃ©finie dans $\Net$.
-Cette relation est une relation d'ordre partielle:
-il existe des paires d'entiers non comparables par cette relation.
+on a vu que la relation binaire de \og divisibilitÃ©\fg{} (notÃ©e $\mid$) 
+dÃ©finie dans $\Net$.
+est une relation d'ordre.
+Or 6 ne divise pas 14 et 14 ne divise pas 6.
+Ces deux entiers ne sont donc pas comparables.
+Cet ordre n'est donc que partiel.
 
-\begin{Ex}
-3 ne divise pas 7 et 7 ne divise pas 3.
-Ces deux entiers ne sont donc pas comparables du point de vue de la divisibilitÃ©. 
-\end{Ex}
+Cependant 2 divise 6 et 14. C'est le plus grand des minorants de 6 et 14
+selon cette relation. C'est donc la borne infÃ©rieure.
+De mÃªme  6 divise 42 et 14 aussi. C'est le plus petit des majorants de 6 et 14
+selon cette relation. C'est donc la borne supÃ©rieure.
+Chaque couple d'entiers a donc  une borne infÃ©rieure et une borne supÃ©rieure. 
 
-Cet ordre n'est donc que partiel, mais il existe, pour chaque 
-couple d'entiers distincts, une borne infÃ©rieure et une borne supÃ©rieure. 
-Cette relation engendre donc un treillis.
 
 
 \begin{Def}[PGCD, PPCM]
-Tout ensemble fini de nombres entiers strictement positifs admet une borne sup et une borne inf pour la relation de divisibilitÃ©.
-
-Cette borne infÃ©rieure et cette borne supÃ©rieure sont respectivement appelÃ©es \emph{plus grand commun diviseur}\index{plus grand commun diviseur} \index{PGCD} et \emph{plus petit commun multiple} \index{PPCM} \index{plus petit commun multiple} de ces deux entiers.
+Tout ensemble fini de nombres entiers strictement positifs admet 
+une borne supÃ©rieure
+et une borne infÃ©rieure pour la relation de divisibilitÃ©.
+Cette borne infÃ©rieure et cette borne supÃ©rieure sont respectivement appelÃ©es \emph{plus grand commun diviseur (PGCD)} \index{plus grand commun diviseur}  \index{PGCD} et \emph{plus petit commun multiple (PPCM)} \index{PPCM} \index{plus petit commun multiple} de ces deux entiers.
+
+Pour $a$ et $b$ dans $\N$, 
+$\textit{PGCD}(a,b)$ et 
+$\textit{PPCM}(a,b)$ et 
+sont respectivement notÃ©s $a\et b$ et $a\ou b$.
 \end{Def}
 
-\begin{Notation}
-Ils sont respectivement notÃ©s $a\et b$ et $a\ou b$.
-\end{Notation}
-
-
-\begin{Def}
+\begin{Def}[Nombres premiers entre eux]
 Deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$ sont dits \emph{premiers entre eux} lorsque $a\et b=1$. 
 \end{Def}
 
@@ -176,7 +178,7 @@ Deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$ sont dits \emph{premiers en
 
 
 \begin{Exo}[Nombres de Fermat]
-On appelle nombres de Fermat les nombres de la forme $2^{2^p}+1$.
+Pour $p \in \N$, on appelle nombres de Fermat les nombres de la forme $2^{2^p}+1$.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que, pour que $2^n+1$ soit premier, il faut que $n$ soit une puissance de 2.
 
@@ -192,48 +194,46 @@ On appelle nombres de Fermat les nombres de la forme $2^{2^p}+1$.
 
 
 
-\section{Algorithmes d'Euclide et applications}
+\section{Algorithmes d'Euclide et applications}\index{algorithme!d'Euclide}
 
-\subsection{PGCD de deux entiers} 
+Par dÃ©finition, le PGCD de $a$ non nul avec
+0 est $a$ (dÃ©fintion raisonnable, car 0
+est divisible par tout entier non nul, donc par $a$, qui l'est aussi par $a$) 
+et enfin le PGCD de 0 et de 0 n'est pas
+dÃ©fini.
 
-On a vu plus haut la justification de l'existence du PGCD de deux nombres strictement positifs par comparaison de leurs dÃ©compositions en facteurs premiers.\\
 
 
-Par dÃ©finition, le PGCD de $a$ non nul avec 0 est $a$ (dÃ©fintion raisonnable, car 0 est divisible par tout entier non nul, donc par $a$, qui l'est aussi par $a$) et enfin le PGCD de 0 et de 0 n'est pas
-dÃ©fini.
+L'algorithme consistant Ã  comparer les dÃ©compositions en facteurs
+premiers n'est pas efficace, la dÃ©couverte de diviseurs de nombres
+trÃ¨s grands est un problÃ¨me difficile dont nous reparlerons plus loin.
 
 
-Il est possible de considÃ©rer des nombres nÃ©gatifs (bien que ce soit sans grand intÃ©rÃªt dans les applications pratiques), mais le PGCD est celui des valeurs absolues.\\
 
-L'algorithme consistant Ã  comparer les dÃ©compositions en facteurs premiers n'est pas efficace, la dÃ©couverte de diviseurs de nombres trÃ¨s grands est un problÃ¨me difficile dont nous reparlerons plus loin.
 
 
-\subsection{Algorithme d'Euclide} 
 
-\subsubsection{Algorithme}
-\index{algorithme!d'Euclide}
-On se limite ici au cas de deux entiers $a$ et $b$ strictement positifs. \\
 
-\noindent Supposons par exemple $a>b$...
+On se limite ici au cas de deux entiers $a$ et $b$ strictement positifs. Supposons par exemple $a>b$
 
 \begin{enumerate}
 \item La division euclidienne de $a$ par $b$ peut s'Ã©crire $a=bq+r$ avec $0\infeg r<b$.
 
-\item Soit $d$ un diviseur commun Ã  $a$ et $b$, qui peuvent alors s'Ã©crire $a=da'$ et $b=db'$.
-
-\item L'Ã©galitÃ© $a=bq+r$ devient $da'=db'q+r$ ou encore $r=d(a'-b'q)$, donc $d$ est aussi un diviseur commun Ã  $b$ et $r$.
+\item Soit $d$ un diviseur commun Ã  $a$ et $b$, qui peuvent alors s'Ã©crire $a=da'$ et $b=db'$. L'Ã©galitÃ© $a=bq+r$ devient $da'=db'q+r$ ou encore $r=d(a'-b'q)$, donc $d$ est aussi un diviseur commun Ã  $b$ et $r$.
 
 \item RÃ©ciproquement, soit $d$ un diviseur commun Ã  $b$ et $r$, qui peuvent alors s'Ã©crire $b=db'$ et $r=dr'$ et l'Ã©galitÃ© $a=bq+r$ devient $a=d(b'q+r')$.
 
 Donc $d$ est un diviseur commun Ã  $a$ et $b$, et, par inclusion rÃ©ciproque, les ensembles des diviseurs communs Ã  $a$ et $b$ d'une part et Ã  $b$ et $r$ d'autre part sont identiques.
-
 En particulier $a\et b=b\et r$.
 
-\item Si $r=0$, le $a\et b=b$, sinon on peut effectuer la division euclidienne de $b$ par $r$, qui donne un reste $r_{1}$, tel que $r_{1}<r$ et $b\et r=r\et r_{1}$.
+\item Si $r=0$ on a $a\et b= b\et 0$ qui est Ã©gal Ã  $b$.
 
-\item Cet algorithme est itÃ©rÃ© jusqu'Ã  l'obtention d'un reste nul, ce qui se produit obligatoirement puisqu'il s'agit d'entiers et que la suite des restes ainsi construite est strictement dÃ©croissante.
+\item Sinon,  $r$ est diffÃ©rent de $0$ et on peut donc effectuer la
+  division euclidienne de $b$ par $r$, qui donne un reste $r_{1}$, 
+  tel que $0 \le r_{1}<r$ et $b\et r=r\et r_{1}$.
 
-\item Le PGCD est alors l'avant-dernier reste (le dernier non nul).
+\item Cet algorithme est itÃ©rÃ© jusqu'Ã  l'obtention d'un reste nul, ce qui se produit obligatoirement puisqu'il s'agit d'entiers et que la suite des restes ainsi construite est strictement dÃ©croissante.
+  Le PGCD est alors l'avant-dernier reste (le dernier non nul).
 \end{enumerate}
 
 
@@ -277,18 +277,34 @@ else
 }\}}
 
 
-
-
-
-\begin{Ex}
-Comme $48=2^43$ et que $56=2^37$, on voit aisÃ©ment que $48\et 56=2^3$.
-\end{Ex}
-
 \begin{Exo}
- Calculez $102 \ou 138$.
+Si $p$ est un nombre premier, et $n$ un entier avec $n \ge 2$, on note 
+$a=p^n+1$ et  
+$b=p^n-1$.
+\begin{enumerate}
+\item On suppose que $p$ est Ã©gal Ã  2. 
+\begin{enumerate}
+\item Calculer $d = a \et b$ au moyen de l'algorithme d'Euclide.
+\item DÃ©terminer tous les couples d'entiers relatifs $(u,v)$ tels que $ua + vb=d$.
+\end{enumerate}
+\item On suppose maintenant que $p$ est diffÃ©rent de 2. 
+ \begin{enumerate}
+\item Montrer que $a$ et $b$ sont pairs et poser $a=2A$ et $b=2B$. 
+\item Calculer $A-B$. En dÃ©duire la valeur $d$ de $a \et b$.
+\item DÃ©terminer tous les couples d'entiers relatifs $(u,v)$ tels que $ua + vb=d$.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
 \end{Exo}
 
-\noindent RÃ©ponse : 2346.
+% \begin{Exo}
+% Comme $48=2^43$ et que $56=2^37$, on voit aisÃ©ment que $48\et 56=2^3$.
+% \end{Exo}
+
+% \begin{Exo}
+%  Calculez $102 \ou 138$.
+% \end{Exo}
+
+% \noindent RÃ©ponse : 2346.
 
 % \begin{Th}
 % $\Net$ est un treillis pour la divisibilitÃ©. 
@@ -319,7 +335,7 @@ Comme $48=2^43$ et que $56=2^37$, on voit aisÃ©ment que $48\et 56=2^3$.
 
 
 
-\subsection{Entiers relatifs}
+\section{Entiers relatifs}
 
 L'ensemble habituellement notÃ© $\Z$ des entiers relatifs est obtenu Ã  partir de $\N$ par le procÃ©dÃ© de symÃ©trisation pour l'addition.\\
 
@@ -356,13 +372,13 @@ Enfin, lorsque $r$ est nul, $a$ est dit \emph{divisible} par $b$, ou $b$ est un
 \end{Def}
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 Tout nombre non nul est au moins divisible par 1 et par lui-mÃªme ($a=a\times 1+0$). 
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 0 est divisible par tout nombre entier non nul $(0 = 0 \times b + 0 )$. 
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
 \begin{Exo}
@@ -514,7 +530,7 @@ $(k+l)\in\Z$, donc $x \equiv z [n]$ (transitivitÃ©).
 
 La classe d'Ã©quivalence d'un entier donnÃ© comprend donc cet entier et tous ceux qui ont le mÃªme reste que lui dans la division euclidienne par $n$.
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 Si $n = 3$, il y a trois classes distinctes :
 \begin{itemize}
  \item $\dot 0=\{\ldots,-6,-3,0,3,6,9,\ldots\}$, 
@@ -523,7 +539,7 @@ Si $n = 3$, il y a trois classes distinctes :
 \end{itemize}
 
 On retrouve ensuite les mÃªmes Ã©lÃ©ments : $\dot 3=\dot 0$, etc... 
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
 D'une maniÃ¨re gÃ©nÃ©rale, pour $n$ quelconque, il y a exactement $n$ classes d'Ã©quivalence, notÃ©es de $\dot 0$ Ã  $\dot {(n-1)}$, c'est-Ã -dire, il faut le remarquer, un nombre fini.
@@ -538,9 +554,9 @@ Il est notÃ© $\Z/n\Z$.
 \end{Notation}
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
  $\Z/3\Z =\{ \dot 0,\dot 1,\dot 2\}$.
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
 \begin{Th}
@@ -575,7 +591,7 @@ Par dÃ©finition, on pose $\dot x + \dot y = \dot {(x+y)}$ et $\dot x \cdot
 \end{Def}
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 C'est ainsi qu'on obtient les tables d'opÃ©rations suivantes dans $\Z/4\Z$ :\\
 
 
@@ -595,7 +611,7 @@ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
 \dot 3 & \dot 0 & \dot 3 & \dot 2 & \dot 1 \\ \hline \end{array}$ 
 \end{center}
 \vskip 10pt
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
 \begin{Rem}
@@ -788,7 +804,7 @@ Pour l'addition et la soustraction, les opÃ©rations et les tests de validitÃ© de
 
 \noindent Pour la multiplication, l'instruction assembleur n'est pas la mÃªme (le dÃ©passement de capacitÃ© doit Ãªtre ignorÃ© en a.s. dans le dernier exemple).
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 
 Premiers rÃ©sultats, corrects :
 
@@ -801,10 +817,10 @@ OpÃ©ration binaire & Entiers non signÃ©s & Entiers signÃ©s \\
 1011 & 11 & (-5) \\
 \end{tabular}
  \end{center}
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
  Un rÃ©sultat correct en arithmÃ©tique non \break signÃ©e, et nÃ©gatif en arithmÃ©tique signÃ©e, mais correct modulo 16 (-6 et 10 sont dans la mÃªme classe, mais cette classe  est reprÃ©sentÃ©e par 10 en a.n.s. et par -6 en a.s.) :
 \begin{center}
 \begin{tabular}{r | r | r}
@@ -815,10 +831,10 @@ OpÃ©ration binaire & Entiers non signÃ©s & Entiers signÃ©s \\
 1010 & 10 & (-6) \\
 \end{tabular}
 \end{center}
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 Un dÃ©passement de capacitÃ© dans les deux cas, mais  le rÃ©sultat est correct modulo 16 : les classes de 21, de -11 et de 5 sont les mÃªmes :
  \begin{center}
 \begin{tabular}{r | r | r}
@@ -830,12 +846,12 @@ OpÃ©ration binaire & Entiers non signÃ©s & Entiers signÃ©s \\
 \end{tabular}
  \end{center}
 Le rÃ©sultat (correct modulo 16) est disponible dans tous les cas, les \og dÃ©passement de capacitÃ©\fg{} et \og rÃ©sultat nÃ©gatif\fg{} sont signalÃ©s par le positionnement d'un bit dans un registre spÃ©cial.
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 Un rÃ©sultat correct en a.n.s., rÃ©sultat nÃ©gatif en a.s., mais correct modulo 16 :
  \begin{center}
 \begin{tabular}{r | r | r}
@@ -846,10 +862,10 @@ OpÃ©ration binaire & Entiers non signÃ©s & Entiers signÃ©s \\
 \underline{$\times$ 2} \\ 1010 & 10 & (-6) \\
 \end{tabular}
  \end{center}
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 DÃ©passement de capacitÃ© dans les deux cas, rÃ©sultat nÃ©gatif en a.s., mais rÃ©sultat correct modulo 16, compte tenu du choix des reprÃ©sentants dans les deux arithmÃ©tiques:
  \begin{center}
 \begin{tabular}{r | r | r}
@@ -860,12 +876,12 @@ OpÃ©ration binaire & Entiers non signÃ©s & Entiers signÃ©s \\
 (1)1110 & 14 & (-2) \\
 \end{tabular} 
  \end{center}
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
 
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 DÃ©passement de capacitÃ© dans les deux cas,  rÃ©sultat correct en a.s., correct modulo 16 en a.n.s.
  \begin{center}
 \begin{tabular}{r | r | r}
@@ -876,7 +892,7 @@ OpÃ©ration binaire & Entiers non signÃ©s & Entiers signÃ©s \\
 (-2)} \\ (1011)0110 & 6 & 6 \\
 \end{tabular} 
 \end{center}
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 
 
@@ -986,7 +1002,7 @@ v_{i+1})=r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1}=r_{i+2}$.
 
 Illustrons la mise en \oe{}uvre de cet algorithme...
 
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
 Soit Ã  obtenir un couple de BÃ©zout pour (23,17) :\vskip 10pt
 \begin{center}\begin{tabular}{c c c c}
 (23,1,0) & (17,0,1) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
@@ -996,7 +1012,7 @@ Soit Ã  obtenir un couple de BÃ©zout pour (23,17) :\vskip 10pt
 (1,3,-4) & (0,-17,23) & $\longrightarrow$ & FIN 
 \end{tabular}\end{center}\vskip 10pt
 On a bien $3 \times 23-4 \times 17=1$.\psaut 
-\end{Ex}
+\end{Exo}
 
 \begin{Rem}
 Il est possible d'obtenir -1 (ou $-d$ en gÃ©nÃ©ral) comme rÃ©sultat, donc $au-bv=-1$, cela dÃ©pend de la paritÃ© du nombre d'itÃ©rations effectuÃ©es dans l'algorithme prÃ©cÃ©dent.
