X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/cours-maths-dis.git/blobdiff_plain/86be95127ca8ca59052d395b45375110b70cbf17..refs/heads/master:/logique/Propositions13.tex?ds=inline

diff --git a/logique/Propositions13.tex b/logique/Propositions13.tex
index c6cf86d..e159edb 100644
--- a/logique/Propositions13.tex
+++ b/logique/Propositions13.tex
@@ -24,8 +24,7 @@ les $Z$ sont des $Y$, de dÃ©duire que tous les $Z$ sont des $X$}~\cite{Dowek07}.
 
 L'homme exprime son raisonnement par un discours, et ce discours
 utilise une langue (une langue naturelle, franÃ§ais, anglais,\ldots). 
-D'une maniÃ¨re gÃ©nÃ©rale, ce discours est articulÃ© en phrases, d'un
-niveau de complexitÃ© variable, et c'est l'Ã©tude de ces \og
+Ce discours est articulÃ© en phrases et c'est l'Ã©tude de ces \og
 Ã©noncÃ©s\fg{}  que se propose de faire la logique. 
 
 
@@ -117,7 +116,7 @@ $$
 
 
 
-D'une maniÃ¨re gÃ©nÃ©rale, le calcul propositionnel ne se prÃ©occupe que
+Attention, le calcul propositionnel ne se prÃ©occupe que
 des valeurs de vÃ©ritÃ©, et pas du tout des liens sÃ©mantiques qui
 peuvent exister entre des propositions. Ces derniÃ¨res sont reliÃ©es
 entre elles syntaxiquement par des connecteurs comme \og ou\fg{} ou
@@ -130,39 +129,38 @@ propositions (\og plus simples\fg{}).
 \subsection{Tables de vÃ©ritÃ© des connecteurs logiques}
 
 
-\centerline{\begin{tabular}{|c|c|c|}
+\begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
 $P$ & $Q$ & $P\ou Q$ \\ \hline
 F & F & F \\ \hline
 F & V & V \\ \hline
 V & F & V \\ \hline
 V & V & V \\ \hline
- \end{tabular}}
-
-\centerline{\begin{tabular}{|c|c|c|}
+ \end{tabular}
+~
+\begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
 $P$ & $Q$ & $P\et Q$ \\ \hline
 F & F & F \\ \hline
 F & V & F \\ \hline
 V & F & F \\ \hline
-V & V & V \\ \hline \end{tabular}}
-
-\centerline{ 
-\begin{tabular}{|c|c|} \hline
+V & V & V \\ \hline \end{tabular}
+~
+{ \begin{tabular}{|c|c|} \hline
 $P$ & $\non P$ \\ \hline
 F & V \\ \hline
 V & F \\ \hline
 \end{tabular}}
-
-\centerline{\begin{tabular}{|c|c|c|}
+~
+{\begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
 $P$ & $Q$ & $P\imp Q$ \\ \hline
 F & F & V \\ \hline
 F & V & V \\ \hline
 V & F & F \\ \hline
 V & V & V \\ \hline \end{tabular}}
-
-\centerline{\begin{tabular}{|c|c|c|} 
+~
+{\begin{tabular}{|c|c|c|} 
 \hline
 $P$ & $Q$ & $P\eqv Q$ \\ \hline
 F & F & V \\ \hline
@@ -202,27 +200,27 @@ DÃ©terminer la valeur de vÃ©ritÃ© des propositions suivantes
 \item \og si le soleil tourne autour de la terre alors la terre est ronde\fg{}
 \item \og si la terre est ronde alors le soleil tourne autour de la terre\fg{}
 \item \og si vous Ã©tudiez la logique alors $E=m.c^2$\fg{}
-\item \og si NapolÃ©on est mort alors il a gagnÃ© la bataille de Waterloo\fg{}
-\item \og s'il pleut en ce moment alors il pleut en ce moment\fg{}
-\item \og si tous les hommes sont passionnÃ©s par la logique alors Dieu existe\fg{}
-\item \og si le Diable existe alors ceci est un exercice de logique\fg{}
+% \item \og si NapolÃ©on est mort alors il a gagnÃ© la bataille de Waterloo\fg{}
+% \item \og s'il pleut en ce moment alors il pleut en ce moment\fg{}
+% \item \og si tous les hommes sont passionnÃ©s par la logique alors Dieu existe\fg{}
+% \item \og si le Diable existe alors ceci est un exercice de logique\fg{}
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 
-La maniÃ¨re de mener un raisonnement qui utilise Ã©ventuellement des
-propositions qui se prÃ©sentent sous la forme d'implications logiques
-est l'objet de la thÃ©orie de la dÃ©duction qui sera Ã©tudiÃ©e plus loin. 
+% La maniÃ¨re de mener un raisonnement qui utilise Ã©ventuellement des
+% propositions qui se prÃ©sentent sous la forme d'implications logiques
+% est l'objet de la thÃ©orie de la dÃ©duction qui sera Ã©tudiÃ©e plus loin. 
 
 
 
-\begin{Rem}
-MÃªme remarque que pour l'implication logique: l'Ã©quivalence logique
-de deux propositions fausses est une proposition vraie. 
-\end{Rem}
+% \begin{Rem}
+% MÃªme remarque que pour l'implication logique: l'Ã©quivalence logique
+% de deux propositions fausses est une proposition vraie. 
+% \end{Rem}
 
 
-\begin{Exoc}
+\begin{Exo}
  En notant $M$ et $C$ les affirmations suivantes:
 \begin{itemize}
 \item $M$ = \og Jean est fort en Maths\fg{},
@@ -237,44 +235,44 @@ usuels.
 \item \label{it:x1} \og Jean est fort en Maths mais faible en Chimie\fg{}
 \item \label{it:x2} \og Jean n'est fort ni en Maths ni en Chimie\fg{}
 \item \label{it:x3} \og Jean est fort en Maths ou il est Ã  la fois fort en Chimie et faible en Maths\fg{}
-\item \label{it:x4} \og Jean est fort en Maths s'il est fort en Chimie\fg{}
-\item \label{it:x5} \og Jean est fort en Chimie et en Maths ou il est fort en Chimie et faible en Maths\fg{}
+% \item \label{it:x4} \og Jean est fort en Maths s'il est fort en Chimie\fg{}
+% \item \label{it:x5} \og Jean est fort en Chimie et en Maths ou il est fort en Chimie et faible en Maths\fg{}
 \end{enumerate}
 
-% AG: je peux ajouter ici un mecanisme d'option qui fait que
-% l'etudiant n'a pas la reponse dans son poly, mais le prof l'a.
+% % AG: je peux ajouter ici un mecanisme d'option qui fait que
+% % l'etudiant n'a pas la reponse dans son poly, mais le prof l'a.
 
-RÃ©ponses: 
+% RÃ©ponses: 
 
-\ref{it:x1}. $M \et (\non C)$; 
-\ref{it:x2}. $(\non M) \et (\non C)$; 
-\ref{it:x3}. $M \ou ( C  \et \non M )$; 
-\ref{it:x4}. $C \imp M$; 
-\ref{it:x5}. $(M \et C) \ou (\non M \et Q)$.
-\end{Exoc}
+% \ref{it:x1}. $M \et (\non C)$; 
+% \ref{it:x2}. $(\non M) \et (\non C)$; 
+% \ref{it:x3}. $M \ou ( C  \et \non M )$; 
+% \ref{it:x4}. $C \imp M$; 
+% \ref{it:x5}. $(M \et C) \ou (\non M \et Q)$.
+\end{Exo}
 
-\begin{Exo}
- En notant $M$, $C$ et $A$ les trois affirmations suivantes:
-\begin{itemize}
- \item $M$ = \og Pierre fait des Maths\fg{};
-\item $C$ = \og Pierre fait de la Chimie\fg{};
-\item $A$ = \og Pierre fait de l'Anglais\fg{}.
-\end{itemize}
+% \begin{Exo}
+%  En notant $M$, $C$ et $A$ les trois affirmations suivantes:
+% \begin{itemize}
+%  \item $M$ = \og Pierre fait des Maths\fg{};
+% \item $C$ = \og Pierre fait de la Chimie\fg{};
+% \item $A$ = \og Pierre fait de l'Anglais\fg{}.
+% \end{itemize}
 
-ReprÃ©senter les affirmations qui suivent sous forme
-symbolique, Ã  l'aide des lettres $M$, $C$, $A$ et des connecteurs
-usuels. 
+% ReprÃ©senter les affirmations qui suivent sous forme
+% symbolique, Ã  l'aide des lettres $M$, $C$, $A$ et des connecteurs
+% usuels. 
 
-\begin{enumerate}
- \item \label{ex2:1} \og Pierre fait des Maths et de l'Anglais mais pas de Chimie\fg{}
-\item \label{ex2:2} \og Pierre fait des Maths et de la Chimie mais pas Ã  la fois de la Chimie et de l'Anglais\fg{}
-\item \label{ex2:3}\og Il est faux que Pierre fasse de l'Anglais sans faire de Maths\fg{}
-\item \label{ex2:4} \og Il est faux que Pierre ne fasse pas des Maths et fasse quand mÃªme de la chimie\fg{}
-\item \label{ex2:5} \og Il est faux que Pierre fasse de l'Anglais ou de la Chimie sans faire des Maths\fg{}
-\item \label{ex2:6} \og Pierre ne fait ni Anglais ni Chimie mais il fait des Maths\fg{}
-\end{enumerate}
+% \begin{enumerate}
+%  \item \label{ex2:1} \og Pierre fait des Maths et de l'Anglais mais pas de Chimie\fg{}
+% \item \label{ex2:2} \og Pierre fait des Maths et de la Chimie mais pas Ã  la fois de la Chimie et de l'Anglais\fg{}
+% \item \label{ex2:3}\og Il est faux que Pierre fasse de l'Anglais sans faire de Maths\fg{}
+% \item \label{ex2:4} \og Il est faux que Pierre ne fasse pas des Maths et fasse quand mÃªme de la chimie\fg{}
+% \item \label{ex2:5} \og Il est faux que Pierre fasse de l'Anglais ou de la Chimie sans faire des Maths\fg{}
+% \item \label{ex2:6} \og Pierre ne fait ni Anglais ni Chimie mais il fait des Maths\fg{}
+% \end{enumerate}
 
-\end{Exo}
+% \end{Exo}
 % RÃ©ponses:
 
 % \ref{ex2:1}. $M \et A \et (\non C)$; 
@@ -283,7 +281,7 @@ usuels.
 % \ref{ex2:4}. $\non ((\non M) \et C)$; 
 % \ref{ex2:5}. $\non ((A \ou C) \et \non M)$;
 % \ref{ex2:6}. $(\non A) \et (\non C) \et M$.
-% \end{Exoc}
+% \end{Exo}
 
 
 \begin{Exo}
@@ -296,6 +294,21 @@ $P \Rightarrow Q$ et  $ \neg( P\Rightarrow Q)$
 \item DÃ©finir les nÃ©gations de $ P\land Q$, $ P\lor Q$ et $P \Rightarrow Q$.
 \end{enumerate}
 
+
+\begin{Th}
+On a les rÃ¨gles syntaxiques suivantes de simplification de nÃ©gations:
+\begin{itemize}
+\item $\neg (A \lor B) = (\neg A) \land (\neg B)$;
+\item $\neg (A \land B) = (\neg A) \lor (\neg B)$;
+\item $\neg \neg A = A $;
+\item $\neg (A \Rightarrow B) = A \land (\neg B)$.
+\end{itemize}
+On remarque que la troisiÃ¨me rÃ¨gle se dÃ©duit des trois autres:
+$\neg (A \Rightarrow B) = \neg (\neg A \lor B) = (\neg \neg A) \land (\neg B)$. 
+\end{Th}
+
+
+
 \end{Exo}
 \begin{Exo}
  \'Enoncer la nÃ©gation des affirmations suivantes en Ã©vitant d'employer l'expression: \og il est faux que\fg{}
@@ -305,8 +318,8 @@ $P \Rightarrow Q$ et  $ \neg( P\Rightarrow Q)$
 \item \og Le nombre 522 n'est pas divisible par 3 mais il est divisible par 7\fg{}
 \item \og Ce quadrilatÃ¨re n'est ni un rectangle ni un losange\fg{}
 \item \og Si Paul ne va pas travailler ce matin il va perdre son emploi\fg{}
-\item \og Tout nombre entier impair peut Ãªtre divisible par 3 ou par 5 mais jamais par 2\fg{}
-\item \og Tout triangle Ã©quilatÃ©ral a ses angles Ã©gaux Ã  60Â°\fg{}
+% \item \og Tout nombre entier impair peut Ãªtre divisible par 3 ou par 5 mais jamais par 2\fg{}
+% \item \og Tout triangle Ã©quilatÃ©ral a ses angles Ã©gaux Ã  60Â°\fg{}
 \end{enumerate}
 
 
@@ -323,7 +336,7 @@ $P \Rightarrow Q$ et  $ \neg( P\Rightarrow Q)$
 % \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
-% \begin{Exoc}
+% \begin{Exo}
 %  Quelles sont les valeurs de vÃ©ritÃ© des propositions suivantes ?
 % \begin{enumerate}
 % \item \label{it:3:1}$\pi$ vaut 4 et la somme des angles d'un triangle
@@ -363,7 +376,7 @@ $P \Rightarrow Q$ et  $ \neg( P\Rightarrow Q)$
 % \ref{it:3:9} V; 
 % %\ref{it:3:10} F; 
 % \ref{it:3:11} V. 
-% \end{Exoc}
+% \end{Exo}
 
 % \begin{Exo}
 % Partant des deux affirmations $P$ et $Q$, on peut en construire une autre, notÃ©e $P \downarrow Q$, bÃÂ¢tie sur le modÃ¨le: \og ni $P$, ni $Q$\fg{}.
@@ -437,13 +450,13 @@ suivants:
 \begin{enumerate}
 \item \og $A$ si $B$\fg{}
 \item \og $A$ est condition nÃ©cessaire pour $B$\fg{} 
-\item \og $A$ sauf si $B$\fg{}
+%\item \og $A$ sauf si $B$\fg{}
 \item \og $A$ seulement si $B$\fg{}
 \item \og $A$ est condition suffisante pour $B$\fg{}
 \item \og $A$ bien que $B$\fg{}
 \item \og Non seulement $A$, mais aussi $B$\fg{}
 \item \og $A$ et pourtant $B$\fg{}
-\item \og $A$ Ã  moins que $B$\fg{}
+%\item \og $A$ Ã  moins que $B$\fg{}
 \item \og Ni $A$, ni $B$\fg{}
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
@@ -461,11 +474,11 @@ traduction vous paraÃ®t impossible, dites-le et expliquez pourquoi):
 \item C'est seulement si un Ã©tudiant travaille qu'il a de bonnes notes.
 \item Un Ã©tudiant n'a de bonnes notes que s'il travaille.
 \item Pour un Ã©tudiant, le travail est une condition nÃ©cessaire Ã  l'obtention de bonnes notes.
-\item Un Ã©tudiant a de mauvaises notes, Ã  moins qu'il ne travaille.
+%\item Un Ã©tudiant a de mauvaises notes, Ã  moins qu'il ne travaille.
 \item MalgrÃ© son travail, un Ã©tudiant a de mauvaises notes.
 \item Un Ã©tudiant travaille seulement s'il a de bonnes notes.
-\item \`A quoi bon travailler, si c'est pour avoir de mauvaises notes?
-\item Un Ã©tudiant a de bonnes notes sauf s'il ne travaille pas.
+%\item \`A quoi bon travailler, si c'est pour avoir de mauvaises notes?
+%\item Un Ã©tudiant a de bonnes notes sauf s'il ne travaille pas.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
@@ -515,54 +528,54 @@ dans la mÃªme proposition, puisqu'il n'y a pas de prioritÃ© entre $\ou$
 et $\et$: $(A \ou B) \et C \neq A \ou (B \et C)$. 
 \end{Th}
 
-\begin{Rem}
-L'implication n'est pas associative: $A \imp (B \imp C) \neq (A \imp
-B) \imp C$. Donc les parenthÃ¨ses sont obligatoires. 
-Il en est de mÃªme pour $\eqv$, et a fortiori quand ces deux opÃ©rateurs
-sont mÃ©langÃ©s dans une mÃªme proposition. 
-\end{Rem}
+% \begin{Rem}
+% L'implication n'est pas associative: $A \imp (B \imp C) \neq (A \imp
+% B) \imp C$. Donc les parenthÃ¨ses sont obligatoires. 
+% Il en est de mÃªme pour $\eqv$, et a fortiori quand ces deux opÃ©rateurs
+% sont mÃ©langÃ©s dans une mÃªme proposition. 
+% \end{Rem}
 
 % AG: On convient en gÃ©nÃ©ral d'associer Ã  droite quand il n'y a 
 % pas de parenthÃ¨ses.
 
-\begin{Exoc}
- Quelles sont les faÃ§ons de placer des parenthÃ¨ses dans $\non P \ou Q
- \et \non R$ afin d'obtenir l'expression correcte d'une formule
- propositionnelle ? DÃ©terminer la table de vÃ©ritÃ© de chacune des
- formules obtenues. 
+% \begin{Exo}
+%  Quelles sont les faÃ§ons de placer des parenthÃ¨ses dans $\non P \ou Q
+%  \et \non R$ afin d'obtenir l'expression correcte d'une formule
+%  propositionnelle ? DÃ©terminer la table de vÃ©ritÃ© de chacune des
+%  formules obtenues. 
 
 
 
-RÃ©ponses: 
+% RÃ©ponses: 
 
-1) $\non P \ou (Q \et \non R)$; 
-2) $(\non P \ou Q )
-\et \non R$; 
-3) $(\non (P \ou Q)) \et \non R$; 
-4) $\non (P \ou
-(Q \et \non R))$; 
-5) $\non ((P \ou Q) \et \non R)$. 
+% 1) $\non P \ou (Q \et \non R)$; 
+% 2) $(\non P \ou Q )
+% \et \non R$; 
+% 3) $(\non (P \ou Q)) \et \non R$; 
+% 4) $\non (P \ou
+% (Q \et \non R))$; 
+% 5) $\non ((P \ou Q) \et \non R)$. 
 
-Tables de vÃ©ritÃ©:
+% Tables de vÃ©ritÃ©:
 
-$$
-\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|c|}
-\hline
-P & Q & R & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
-\hline
-V & V & V & F & F & F & F & V \\
-V & V & F & V & V & F & F & F \\
-V & F & V & F & F & F & F & V \\
-V & F & F & F & F & F & F & F \\
-F & V & V & V & F & F & V & V \\
-F & v & F & V & V & F & F & F \\
-F & F & V & V & F & F & V & V \\
-F & F & F & V & V & V & V & V \\
-\hline
-\end{array}
-$$
+% $$
+% \begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|c|}
+% \hline
+% P & Q & R & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+% \hline
+% V & V & V & F & F & F & F & V \\
+% V & V & F & V & V & F & F & F \\
+% V & F & V & F & F & F & F & V \\
+% V & F & F & F & F & F & F & F \\
+% F & V & V & V & F & F & V & V \\
+% F & v & F & V & V & F & F & F \\
+% F & F & V & V & F & F & V & V \\
+% F & F & F & V & V & V & V & V \\
+% \hline
+% \end{array}
+% $$
 
-\end{Exoc}
+% \end{Exo}
 
 
 
@@ -570,37 +583,37 @@ $$
 
 
 
-\begin{Exoc}
+\begin{Exo}
 Construire les tables de vÃ©ritÃ© des formules propositionnelles suivantes:
-\begin{enumerate}
-\item $ \non P \et Q$
-\item $\non P \imp P \ou Q$
-\item $\non ( \non P \et \non Q)$
-\item $P \et Q \imp \non Q$
-\item $(P \imp Q) \ou (Q \imp P)$
-\item $(P \imp \non Q ) \ou (Q \imp \non P)$
-\item $(P \ou \non Q ) \et (\non P \ou Q)$
-\item $P \imp (\non P \imp P)$
-\end{enumerate}
+% \begin{enumerate}
+% \item $ \non P \et Q$
+% \item $\non P \imp P \ou Q$
+% \item $\non ( \non P \et \non Q)$
+% \item $P \et Q \imp \non Q$
+% \item $(P \imp Q) \ou (Q \imp P)$
+% \item $(P \imp \non Q ) \ou (Q \imp \non P)$
+% \item $(P \ou \non Q ) \et (\non P \ou Q)$
+% \item $P \imp (\non P \imp P)$
+% \end{enumerate}
 
 
-RÃ©ponse:
+% RÃ©ponse:
 
-$$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
-\hline
-P & Q & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
-\hline
-V & V & F & V & V & F & V & F & V & V \\
-V & F & F & V & V & V & V & V & F & V \\
-F & V & V & V & V & V & V & V & F & V \\
-F & F & F & F & F &  V & V & V & V & V \\
-\hline
-\end{array}
-$$
-\end{Exoc}
+% $$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
+% \hline
+% P & Q & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
+% \hline
+% V & V & F & V & V & F & V & F & V & V \\
+% V & F & F & V & V & V & V & V & F & V \\
+% F & V & V & V & V & V & V & V & F & V \\
+% F & F & F & F & F &  V & V & V & V & V \\
+% \hline
+% \end{array}
+% $$
+% \end{Exo}
 
-\begin{Exo}
- Faire de mÃªme avec
+% \begin{Exo}
+%  Faire de mÃªme avec
 \begin{enumerate}
  \item $(P \ou Q) \ou (\non R)$
 \item $P \ou (\non (Q \et R))$
@@ -754,24 +767,24 @@ suivante:
 
 \begin{enumerate}
 
-\item Si $F$ est de la forme $P$, o\`u $P$ est une variable
-  propositionnelle, alors $\Phi_F(p)=p$. 
+\item Si c'est une variable $P$, propositionnelle, alors $\Phi_P(p)=p$. 
 
-\item Si $F$ est de la forme $\non G$, o\`u $G$ est une formule
-  propositionnelle, alors $\Phi_F=\overline{\Phi_G}$. 
+\item Si c'est une nÃ©gation  d'une formule
+  propositionnelle $G$, alors $\Phi_{\non G}=\overline{\Phi_G}$. 
 
-\item Si $F$ est de la forme $G\ou H$, o\`u $G$ et $H$ sont des formules
-  propositionnelles, alors  $\Phi_F=\Phi_G+\Phi_H$.  
+\item Si c'est une disjonction entre deux formules
+  propositionnelle $G$ ou $H$, alors  $\Phi_{G \lor H}=\Phi_G+\Phi_H$.  
 
-\item Si $F$ est de la forme $G\et H$, o\`u $G$ et $H$ sont des formules
-  propositionnelles, alors $\Phi_F=\Phi_G\cdot \Phi_H$.  
+\item Si c'est une conjonction entre deux formules
+  propositionnelle $G$ et $H$, alors  $\Phi_{G \land H}=\Phi_G \cdot \Phi_H$.  
 
-\item Si $F$ est de la forme $G\imp H$, o\`u $G$ et $H$ sont des
-  formules propositionnelles, alors $\Phi_F=\overline{\Phi_G}+\Phi_H$.  
+\item Si elle est de la forme $G\imp H$, o\`u $G$ et $H$ sont des
+  formules propositionnelles, alors 
+  $\Phi_{G\imp H}=\overline{\Phi_G}+\Phi_H$.  
 
-\item \label{item:eqv} Si F est de la forme $G\eqv H$, o\`u $G$ et $H$ sont des formules
-  propositionnelles, alors 
- $\Phi_F=\overline{\Phi_G}\cdot\overline{\Phi_H}+\Phi_G\cdot\Phi_H$.
+\item \label{item:eqv} Si c'est une Ã©quivalence entre
+les formules propostionnelles  $G$ et $H$, alors 
+ $\Phi_{G \Leftrightarrow H}=\overline{\Phi_G}\cdot\overline{\Phi_H}+\Phi_G\cdot\Phi_H$.
 
 \end{enumerate}
 \end{Def}
@@ -801,34 +814,39 @@ suivante:
 
 
 \begin{Ex}
-Soit $F=A\ou\non B\eqv(B\imp C)$. On a alors:
-
-\hfil$\Phi_F(a,b,c)=\overline{a+\overline b}\cdot
-\overline{\overline b+c}+(a+\overline b)\cdot(\overline
-b+c)=\overline a\cdot b\cdot b\cdot\overline c+\overline b+a\cdot
-c=\overline b+\overline a\cdot\overline c+a\cdot 
-c$.\hfil
+Soit $F=(A\ou\non B) \land (B\imp C)$. Cette formule dÃ©pend des trois variables 
+$A$, $B$ et $C$.On a alors:
+$$
+\begin{array}{l}
+\Phi_F(a,b,c)= \Phi_{(A\ou\non B) \land (B\imp C)}(a,b,c) = \\
+\Phi_{A\ou\non B}(a,b) \cdot \Phi_{B\imp C}(b,c) =
+(\Phi_{A}(a) + \Phi_{\non B}(b)) \cdot (\overline{\Phi_{B}(b)}+ \Phi_{C}(c))=\\
+(a+ \overline{\Phi_{B}(b)}) \cdot (\overline{b}+ c)=
+(a+ \overline{b}) \cdot (\overline{b}+ c)= \overline{b} + ac
+\end{array}
+$$
 \end{Ex}
 
 % AG: Faux pour imp et eqv qui ne sont pas (utiles) dans l'algÃ¨bre
 % et que l'interpretation ramene a ET, OU, NON. A modifier.
-\begin{Rem}
-Il est clair que les \og tables de vÃ©ritÃ©\fg{}  des connecteurs
-logiques sont les mÃªmes que les tables des opÃ©rations boolÃ©ennes sur
-$\{\faux,\vrai\}$ 
+% \begin{Rem}
+% Il est clair que les \og tables de vÃ©ritÃ©\fg{}  des connecteurs
+% logiques sont les mÃªmes que les tables des opÃ©rations boolÃ©ennes sur
+% $\{\faux,\vrai\}$ 
 
-\begin{itemize}
-\item de la nÃ©gation boolÃ©enne (pour la nÃ©gation logique),
-\item de la somme boolÃ©enne (pour la disjonction logique),
-\item du produit boolÃ©en (pour la conjonction logique),
-%\item de la fonction boolÃ©enne de deux variables appelÃ©e \og
-%  implication\fg{}  (pour l'implication logique) 
-%\item de la fonction boolÃ©enne de deux variables appelÃ©e \og
-%  Ã©quivalence\fg{}  (pour l'Ã©quivalence logique). 
-\end{itemize}
+% \begin{itemize}
+% \item de la nÃ©gation boolÃ©enne (pour la nÃ©gation logique),
+% \item de la somme boolÃ©enne (pour la disjonction logique),
+% \item du produit boolÃ©en (pour la conjonction logique),
+% %\item de la fonction boolÃ©enne de deux variables appelÃ©e \og
+% %  implication\fg{}  (pour l'implication logique) 
+% %\item de la fonction boolÃ©enne de deux variables appelÃ©e \og
+% %  Ã©quivalence\fg{}  (pour l'Ã©quivalence logique). 
+% \end{itemize}
 
-Ainsi, la dÃ©termination de la valeur de vÃ©ritÃ© d'une proposition composÃ©e se ramÃ¨ne Ã  un simple calcul en algÃ¨bre de Boole sur la fonction de vÃ©ritÃ© de la formule propositionnelle associÃ©e.
-\end{Rem}
+% 
+La dÃ©termination de la valeur de vÃ©ritÃ© d'une proposition composÃ©e se ramÃ¨ne Ã  un simple calcul en algÃ¨bre de Boole sur la fonction de vÃ©ritÃ© de la formule propositionnelle associÃ©e.
+% \end{Rem}
 
 
 
@@ -894,7 +912,7 @@ tautologies; la reconnaissance de cette propriÃ©tÃ© n'est cependant pas
 toujours complÃ¨tement Ã©vidente\ldots 
 
 
-% \begin{Exoc}
+% \begin{Exo}
 % Les formules propositionnelles suivantes sont-elles des tautologies ?
 
 % \begin{enumerate}
@@ -917,7 +935,7 @@ toujours complÃ¨tement Ã©vidente\ldots
 % \ref{item:taut:7}. et 
 % \ref{item:taut:8}. sont des tautologies.
 
-% \end{Exoc}
+% \end{Exo}
 
 % AG: Indiquer la mÃ©thode de ``preuve'' ou dire ``Montrer''
 \begin{Exo}
@@ -1070,9 +1088,9 @@ $$\begin{array}{c  r  l}
 % 1 & \{P \et Q\} & P\\
 % 2 & \{(P \et Q) \ou R\} & P\ \et (Q \ou R) \\
 % 3 & \{(P \et Q) \imp R \} & (P \imp R) \et (Q \imp R) \\
-4 & \{P \imp (Q \ou R)\} & (P \imp Q) \ou (P \imp R) \\
-5 & \{A \imp (P \ou Q), \neg S \lor A \} & (\neg P \lor S) \imp Q \\
-5 & \{A \imp (B \et C), \neg C \lor D \lor R, R \imp \neg B \} & 
+1 & \{P \imp (Q \ou R)\} & (P \imp Q) \ou (P \imp R) \\
+2 & \{A \imp (P \ou Q), \neg S \lor A \} & (\neg P \lor S) \imp Q \\
+3 & \{A \imp (B \et C), \neg C \lor D \lor R, R \imp \neg B \} & 
 (A \land D) \imp \neg R \\
 \end{array}
 $$
@@ -1161,7 +1179,7 @@ $$
 %RÃ©ponse: oui pour 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12.
 \end{Exo}
 
-\begin{Exoc} 
+\begin{Exo} 
 Soit $F$ une formule propositionnelle dÃ©pendant de trois variables $P,
 Q, R$ qui possÃ¨de deux propriÃ©tÃ©s: 
 \begin{itemize}
@@ -1195,60 +1213,60 @@ $
 (P \et \non Q \et \non R) \ou 
 (\non P \et \non Q \et R) \ou 
 (\non P \et Q \et \non R)$ 
-\end{Exoc}
+\end{Exo}
 
-\begin{Exo}
-DÃ©terminer des formules propositionnelles $F, G, H$ dÃ©pendant des
-variables $P,Q,R$ qui admettent les tables de vÃ©ritÃ©: 
-$$\begin{array}{ccc}
-\begin{array}{|ccc|c|}
-\hline
+% \begin{Exo}
+% DÃ©terminer des formules propositionnelles $F, G, H$ dÃ©pendant des
+% variables $P,Q,R$ qui admettent les tables de vÃ©ritÃ©: 
+% $$\begin{array}{ccc}
+% \begin{array}{|ccc|c|}
+% \hline
 
-P & Q & R & F \\
-\hline
-V & V & V & V\\
-V & V & F & F \\
-V & F & V & V \\
-V & F & F & F \\
-F & V & V & F \\
-F & V & F & V \\
-F & F& V & V \\
-F & F & F & V\\
-\hline
-\end{array}
-& 
-\begin{array}{|ccc|c|}
-\hline
-P & Q & R & G \\
-\hline
-V & V & V & F\\
-V & V & F & V \\
-V & F & V & V \\
-V & F & F & F \\
-F & V & V & F \\
-F & V & F & V \\
-F & F& V & V \\
-F & F & F & F\\
-\hline
-\end{array}
-&
-\begin{array}{|ccc|c|}
-\hline
-P & Q & R & H \\
-\hline
-V & V & V & V\\
-V & V & F & V \\
-V & F & V & V \\
-V & F & F & F \\
-F & V & V & F \\
-F & V & F & V \\
-F & F& V & V \\
-F & F & F & V\\
-\hline
-\end{array}
-  \end{array}
-$$
-\end{Exo}
+% P & Q & R & F \\
+% \hline
+% V & V & V & V\\
+% V & V & F & F \\
+% V & F & V & V \\
+% V & F & F & F \\
+% F & V & V & F \\
+% F & V & F & V \\
+% F & F& V & V \\
+% F & F & F & V\\
+% \hline
+% \end{array}
+% & 
+% \begin{array}{|ccc|c|}
+% \hline
+% P & Q & R & G \\
+% \hline
+% V & V & V & F\\
+% V & V & F & V \\
+% V & F & V & V \\
+% V & F & F & F \\
+% F & V & V & F \\
+% F & V & F & V \\
+% F & F& V & V \\
+% F & F & F & F\\
+% \hline
+% \end{array}
+% &
+% \begin{array}{|ccc|c|}
+% \hline
+% P & Q & R & H \\
+% \hline
+% V & V & V & V\\
+% V & V & F & V \\
+% V & F & V & V \\
+% V & F & F & F \\
+% F & V & V & F \\
+% F & V & F & V \\
+% F & F& V & V \\
+% F & F & F & V\\
+% \hline
+% \end{array}
+%   \end{array}
+% $$
+% \end{Exo}
 
 % RÃ©ponses:
 
@@ -1265,63 +1283,6 @@ $$
 
 \subsection{Simplification du calcul des fonctions de vÃ©ritÃ©}
 
-\subsubsection{ThÃ©orÃ¨me de substitution}
-
-\begin{Th}[ThÃ©orÃ¨me de substitution]
- \index{thÃ©orÃ¨me!de substitution} 
-Soit $F$ une formule propositionnelle dans laquelle interviennent les
-variables propositionnelles $P_1\,$, $P_2\,$, $P_3\,$,\ldots, $P_n$. 
-Supposons que l'on remplace ces variables par des formules
-propositionnelles $G_1\,$, $G_2\,$, $G_3\,$,\ldots, $G_n$; la nouvelle
-formule propositionnelle obtenue est notÃ©e $F^*$. 
-
-
-Dans ces conditions: si $\tauto F$, alors $\tauto F^*$. 
-\end{Th}
-
-
-
-\begin{Proof}
-$F$ Ã©tant une tautologie, sa fonction de vÃ©ritÃ© ne dÃ©pend pas des
-valeurs de vÃ©ritÃ© des variables boolÃ©ennes, qui peuvent donc
-Ãªtre remplacÃ©es par n'importe quelle fonction boolÃ©enne. 
-\end{Proof}
-
-Attention, la rÃ©ciproque n'est pas vraie\ldots
-
-\begin{Ex}
-Soit $F=A\imp B$ et $F^*=P\et \non P \imp Q$, 
-obtenue Ã  partir de $F$ en remplaÃ§ant $A$ par
-$P\et \non P$ et $B$ par $Q$.
-Comme $\Phi_{F^*}(p,q)=\overline{p\cdot\overline
-  p}+q=\overline 0+q=1+q=1$, alors $F^{*}$ est une tautologie.
-Cependant de $\Phi_{F}(a,b)$, on ne peut pas dire que $F$ est une tautologie.
-\end{Ex}
-
-
-Exemple d'utilisation de ce rÃ©sultat:
-
-\begin{Ex}
-La formule propositionnelle 
-$$F^*=((P\imp Q\et\non R)\ou (\non S\eqv T))\imp ((P\imp
-Q\et\non R)\ou(\non S\eqv T)),$$
-est compliquÃ©e puisqu'elle contient 5 variables propositionnelle.
-il y a donc 32 lignes
-Ã  calculer pour obtenir les valeurs de la fonction de vÃ©ritÃ©. 
-Cependant, il suffit de remarquer que $F^*$ est obtenue Ã  partir de
-$F=A \imp A$, qui est une tautologie; donc $F^*$ en est une aussi. 
-\end{Ex}
-
-
-
-Ce rÃ©sultat peut Ã©videmment Ãªtre appliquÃ© aussi Ã  des parties de
-formules propositionnelles, pour accÃ©lÃ©rer le calcul de leurs fonctions
-de vÃ©ritÃ©: 
-si une partie d'une formule propositionnelle constitue Ã  elle seule une
-tautologie, la partie correspondante de la fonction de vÃ©ritÃ© peut
-Ãªtre avantageusement remplacÃ©e par 1. 
-
-\subsubsection{ThÃ©orÃ¨me de la validitÃ©}
 
 \begin{Th}[ThÃ©orÃ¨me de la validitÃ©]
 Soit $\{G_1,G_2,\ldots,G_n\}$ un ensemble de formules propositionnelles
@@ -1534,60 +1495,60 @@ Donc Pierre est le meurtrier
   Marie n'Ã©tait pas prÃ©sente?  
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
-\subsection{Conclusion}
-
-Le calcul sur les fonctions de vÃ©ritÃ© paraÃ®t tout-Ã -fait
-satisfaisant et sÃ©duisant, lorsqu'il s'agit de calculer des valeurs de
-vÃ©ritÃ© ou d'examiner des consÃ©quences logiques. 
-Il est vrai qu'il est simple, nÃ©cessite un minimum de rÃ©flexion (trÃ¨s
-important dans le cas des ordinateurs!) et qu'il est trÃ¨s facile Ã 
-programmer. 
-
-
-Mais, pour une formule propositionnelle qui comporte 10 variables
-propositionnelles (ce qui n'est pas beaucoup pour les problÃ¨mes que
-l'on cherche Ã  programmer!), la table des valeurs de la fonction de
-vÃ©ritÃ© comporte $2^{10}=1024$ lignes. 
-Celui qui opÃ¨re Ã  la main a dÃ©jÃ  dÃ©missionnÃ©.
-L'ordinateur dÃ©missionne un peu plus loin, certes, mais il finit aussi
-par avouer son incapacitÃ©: 
-\begin{itemize}
-\item Sur les machines modernes, il n'est plus impossible d'envisager
-  d'Ã©crire et d'exÃ©cuter une \og boucle vide\fg{} qui porte sur toutes
-  les valeurs entiÃ¨res reprÃ©sentables sur 32 bits, donc de 0 Ã 
-  $2^{32}-1$, le temps d'exÃ©cution est rÃ©cemment devenu raisonnable. 
-\item Il ne faut cependant pas exiger que ce temps demeure raisonnable
-  dÃ¨s qu'il s'agit d'exÃ©cuter un algorithme un peu compliquÃ©. Et 32
-  variables constituent un nombre 
-ridiculement petit pour un systÃ¨me expert, dans lequel les expressions
-offrent souvent une complexitÃ© qui n'a aucune commune mesure avec ce
-que l'on peut imaginer de plus compliquÃ©\ldots 
-\end{itemize}
+% \subsection{Conclusion}
+
+% Le calcul sur les fonctions de vÃ©ritÃ© paraÃ®t tout-Ã -fait
+% satisfaisant et sÃ©duisant, lorsqu'il s'agit de calculer des valeurs de
+% vÃ©ritÃ© ou d'examiner des consÃ©quences logiques. 
+% Il est vrai qu'il est simple, nÃ©cessite un minimum de rÃ©flexion (trÃ¨s
+% important dans le cas des ordinateurs!) et qu'il est trÃ¨s facile Ã 
+% programmer. 
+
+
+% Mais, pour une formule propositionnelle qui comporte 10 variables
+% propositionnelles (ce qui n'est pas beaucoup pour les problÃ¨mes que
+% l'on cherche Ã  programmer!), la table des valeurs de la fonction de
+% vÃ©ritÃ© comporte $2^{10}=1024$ lignes. 
+% Celui qui opÃ¨re Ã  la main a dÃ©jÃ  dÃ©missionnÃ©.
+% L'ordinateur dÃ©missionne un peu plus loin, certes, mais il finit aussi
+% par avouer son incapacitÃ©: 
+% \begin{itemize}
+% \item Sur les machines modernes, il n'est plus impossible d'envisager
+%   d'Ã©crire et d'exÃ©cuter une \og boucle vide\fg{} qui porte sur toutes
+%   les valeurs entiÃ¨res reprÃ©sentables sur 32 bits, donc de 0 Ã 
+%   $2^{32}-1$, le temps d'exÃ©cution est rÃ©cemment devenu raisonnable. 
+% \item Il ne faut cependant pas exiger que ce temps demeure raisonnable
+%   dÃ¨s qu'il s'agit d'exÃ©cuter un algorithme un peu compliquÃ©. Et 32
+%   variables constituent un nombre 
+% ridiculement petit pour un systÃ¨me expert, dans lequel les expressions
+% offrent souvent une complexitÃ© qui n'a aucune commune mesure avec ce
+% que l'on peut imaginer de plus compliquÃ©\ldots 
+% \end{itemize}
 
 
 
 
 
-Les \og raccourcis\fg{}  qui viennent d'Ãªtre Ã©tudiÃ©s et qui permettent
-d'accÃ©lÃ©rer, voire de supprimer totalement, le calcul d'une fonction
-de vÃ©ritÃ©, sont plus utiles lorsque l'on opÃ¨re \og Ã  la main\fg{}  que
-pour la programmation d'algorithmes de logique. 
+% Les \og raccourcis\fg{}  qui viennent d'Ãªtre Ã©tudiÃ©s et qui permettent
+% d'accÃ©lÃ©rer, voire de supprimer totalement, le calcul d'une fonction
+% de vÃ©ritÃ©, sont plus utiles lorsque l'on opÃ¨re \og Ã  la main\fg{}  que
+% pour la programmation d'algorithmes de logique. 
 
 
 
 
 
-Il faut donc garder en rÃ©serve la mÃ©thode des fonctions de vÃ©ritÃ©:
-celle-ci peut Ãªtre trÃ¨s utile dans certains cas, essentiellement
-lorsque le problÃ¨me peut Ãªtre rÃ©solu \og Ã  la main\fg{}, mais il faut
-aussi trouver une autre mÃ©thode pour songer Ã  aborder des problÃ¨mes
-plus complexes. 
+% Il faut donc garder en rÃ©serve la mÃ©thode des fonctions de vÃ©ritÃ©:
+% celle-ci peut Ãªtre trÃ¨s utile dans certains cas, essentiellement
+% lorsque le problÃ¨me peut Ãªtre rÃ©solu \og Ã  la main\fg{}, mais il faut
+% aussi trouver une autre mÃ©thode pour songer Ã  aborder des problÃ¨mes
+% plus complexes. 
 
-Cette mÃ©thode, qui supprime toute rÃ©fÃ©rence aux valeurs de vÃ©ritÃ©,
-fait l'objet du 
-chapitre suivant.
+% Cette mÃ©thode, qui supprime toute rÃ©fÃ©rence aux valeurs de vÃ©ritÃ©,
+% fait l'objet du 
+% chapitre suivant.
 
-\gsaut
+% \gsaut
 \centerline{\x{Fin du Chapitre}}
 
 
