X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/cours-maths-dis.git/blobdiff_plain/8b65de9031d067d9806854c011a513c92dcf113e..381385111635a5d15f8bd60d6666f6c0f6a61bcc:/arithmetique/entiersNaturels.tex

diff --git a/arithmetique/entiersNaturels.tex b/arithmetique/entiersNaturels.tex
index 81ddb5b..4f3126e 100755
--- a/arithmetique/entiersNaturels.tex
+++ b/arithmetique/entiersNaturels.tex
@@ -64,10 +64,6 @@ On souhaite calculer $S_2(n) = 1^2+2^2+...+n^2$.
 % \end{Exo}
 
 
-\begin{Exo}
-Montrer que pour tout entier naturel $n$, 3 divise $4^n -1$.
-\end{Exo}
-
 \begin{Exo}
 Soit la suite $(U_n)_{n\in \N}$ définie par $U_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2} $.
 \begin{enumerate}
@@ -78,15 +74,21 @@ des multiples de $7$.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
-% \begin{Exo}
-% Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tout $ n \in \N$,
-% $$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
-% Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
-% \end{Exo}
 
-% \begin{Exo}
-% Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
-% \end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Montrer que pour tout entier naturel $n$, 3 divise $4^n -1$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tout $ n \in \N$,
+$$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
+Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
+\end{Exo}
 
 
 
@@ -115,22 +117,6 @@ Un \emph{nombre premier}\index{nombre!premier} est un nombre entier strictement
 Ainsi, le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair) est 2.
 \end{Exo}
 
-\begin{Th}
-Il existe une infinité de nombres premiers.
-\end{Th}
-
-\begin{Exo}[Nombres premiers en quantité infinie]
-Supposons comme hypothèse que l'ensemble des nombres premiers $\{ p_1, p_2, p_3 \ldots p_{n-1}, p_n \}$ est de cardinalité finie $n$.
-On construit le nombre $N =  p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que d'après l'hypothèse, il existe un nombre premier $q$ tel que 
-  $N$ est un multiple de $q$.
-\item Montrer cependant que $N$ n'est pas un multiple de $p_1$. Idem pour $p_2$, \ldots $p_n$.
-\item En déduire que $q$ est un nombre premier différent de $p_1$, de $p_2$, \ldots de $p_n$. 
-\item En déduire une contradiction dans l'hypothèse.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
 
 
 
@@ -142,12 +128,14 @@ On construit le nombre $N =  p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
 
 
 
+
+
 %\subsection{Décomposition en facteurs premiers}
 
 \begin{Def}[Décomposition en facteurs premiers]
 L'écriture d'un entier $n$ sous la forme $n=a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}\ldots$, où \begin{itemize}
 \item $a$, $b$, $c$, \ldots  sont des nombres premiers distincts 
-deux à deux tels que $a < b < c < ldots$;
+deux à deux tels que $a < b < c <\ldots$;
 \item les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont des entiers naturels 
   non nuls;
 \end{itemize}
@@ -167,9 +155,28 @@ La décomposition d'un entier en ses facteurs premiers est unique.
  \'Ecrivez les nombres 3850 et 1911 sous forme de produits de nombres premiers.
 \end{Exo}
 
+
+
+
 %\noindent Réponses : $2*5^2*7*11$ et $3*7^2*13$.
 
 
+\begin{Th}
+Il existe une infinité de nombres premiers.
+\end{Th}
+
+\begin{Exo}[Nombres premiers en quantité infinie]
+Supposons comme hypothèse que l'ensemble des nombres premiers $\{ p_1, p_2, p_3 \ldots p_{n-1}, p_n \}$ est de cardinalité finie $n$.
+On construit le nombre $N =  p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que d'après l'hypothèse, il existe un nombre premier $q$ tel que 
+  $N$ est un multiple de $q$.
+\item Montrer cependant que $N$ n'est pas un multiple de $p_1$. Idem pour $p_2$, \ldots $p_n$.
+\item En déduire que $q$ est un nombre premier différent de $p_1$, de $p_2$, \ldots de $p_n$. 
+\item En déduire une contradiction dans l'hypothèse.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
 
 
 %\subsection{Relation de divisibilité}
@@ -220,9 +227,15 @@ Deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$ sont dits \emph{premiers en
 Pour $p \in \N$, on appelle nombres de Fermat les nombres de la forme 
 $F_p = 2^{2^p}+1$.
 \begin{enumerate}
+\item Question préliminaire: montrer que les deux égalités suivantes sont établies:
+\begin{enumerate}
+\item $x^n- 1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+ x + 1)$  pour tout entier naturel $n$ strictement positif.
+\item $x^n+ 1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\ldots \pm x \mp 1)$  pour tout entier naturel $n$ impair
+\end{enumerate}
+
 \item Montrer que, 
   pour que $2^n+1$ soit premier, il est nécessaire 
-  que $n$ soit une puissance de 2.
+  que $n$ soit une puissance de 2. 
 
 \item Pour montrer que ce n'est pas suffisant, vérifier que $F_5$ est 
   divisible par 641.
@@ -231,7 +244,7 @@ $F_p = 2^{2^p}+1$.
 
 \item En déduire que $F_p$ et $F_{p+k}$ sont premiers entre eux.
 
-%\item En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.
+
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
@@ -428,84 +441,206 @@ On se place dans l'ensemble $\N$.
 \end{Exo}
 
 
-\section{Représentation des nombres entiers}
 
 
+\section{Théorème de Bézout}
 
-\begin{Def}[Principe de la numération de position]
-\index{Principe de la numérotation de position}
-Il consiste à choisir une base $b$ de numération, et $b$ symboles qui constitueront les chiffres dans la représentation d'un entier positif en base $b$.
-Celle-ci s'écrira alors
-$$n=n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$$ 
 
-Cette écriture est abrégée en ${\left(\overline{n_{p}n_{p-1}\ldots n_{0}}\right)}_{b}$.
-\end{Def}
+On considère deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$.
 
-En informatique, on utilise couramment les bases 2, 8 et 16.
+\begin{Th}[Théorème de Bézout]
+\index{théorème!de Bézout}
+Il existe un couple d'entiers $u$ et $v$ tels que $au-bv=d$, où $d$ est le PGCD de $a$ et de $b$. 
+\end{Th}
 
+\begin{Proof}
+On peut se ramener au cas où $a \et b=1$.
 
+En effet, si $d>1$, on peut écrire $a=a'd$ et $b=b'd$ avec $a' \et b'=1$; si le théorème est établi dans le cas du PGCD égal à $1$, on peut affirmer l'existence de $u$ et de $v$ tels que $a'u-b'v=1$; en multipliant les deux membres de cette égalité par $d$, on obtient $a'du-b'dv=d$,
+soit $au-bv=d$.
 
+Il suffit donc d'établir le théorème dans le cas où $d=1$ ($a$ et $b$ premiers entre eux). Plaçons nous dans $(\Z/b\Z)^*$ et considérons l'application de cet ensemble dans lui-même définie par $x \fc ax$. Essayons de résoudre $ax=ax'$, soit $a(x-x')=0$, soit encore $a(x-x') \equiv 0[b]$, ou finalement $a(x-x')=kb$, avec $k \in \Z$.
+
+Comme $a\et b=1$, $a$ ne divise pas $b$, donc divise $k$; on peut écrire $k=k'a$, il reste $x-x'=k'b$, donc $x \equiv x'[b]$, donc $x=x'$; finalement $ax=ax' \Imp x=x'$, donc l'application envisagée est injective; comme il s'agit d'un ensemble fini, elle est évidemment aussi surjective, donc il existe $u$ tel que $au=1$, ce qui s'écrit encore $au \equiv 1[b]$, ou encore $au=bv+1$, finalement $au-bv=1$. 
+\end{Proof}
 
 
-L'algorithme pour obtenir la représentation en base $b$ d'un entier est :
 
-\begin{enumerate}
- \item Effectuer la division euclidienne de cet entier par $b$, division qui donne un premier quotient et un premier reste.
- \item Le quotient est à sont tour divisé par $b$ pour donner un second quotient et un second reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul.
-\item Les restes successifs (tous strictement inférieurs à $b$), et en commençant par le dernier, constituent la représentation en base $b$ de l'entier donné.
-\end{enumerate}
+\begin{Rem}
+Ce couple n'est pas unique.
+\begin{Proof}
+En effet, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $(a,b)$, donc tel que $au-bv=d$, où $d=a\et b$, alors, pout tout $k$ dans $\Z$, $a(u+kb)-b(v+ka)= au-bv+kab-kab=au-bv=d$ aussi. 
+\end{Proof}
+\end{Rem}
+
+
 
 \begin{Exo}
-Donner la représentation de 23 en base 2.
+Montrez que, si $m$ est multiple de deux nombres premiers entre eux $a$ et $b$, alors $m$ est multiple de $ab$. 
 \end{Exo}
 
+% \noindent Réponse : $1 = aa'+bb'$, donc $m = maa'+mbb'$. Or $m=ax=by$, donc $m = ab(ya'+xb')$.
 
 
-\begin{Exo}[Numération, changements de base]
+
+\begin{Exo}
 \begin{enumerate}
-\item Chercher les entiers dont le carré a, en représentation décimale, 
-le même chiffre pour les dizaines et les unités. 
-\item On pose $a=2p-1$, $b=2p+1$, $c=2p+3$; trouver l'entier $p$ de manière que $a^2+b^2+c^2$ soit de la forme $\sur{xxxx}_{10}$.
-\item L'entier $n$ s'écrit $\sur{341}_{10}$ et $\sur{2331}_a$. Trouver $a$.
-\item Montrer que, dans toute base $b$ supérieure ou égale à 3, l'entier qui s'écrit $\sur{11211}_b$ n'est pas premier.
-\item Soit $n\geqslant 7$. Donner l'écriture de $(n+1)^4$ en base $n$.
+\item Montrez que, si on divise deux entiers naturels $a$ et $b$ par leur pgcd, alors les quotients obtenus sont premiers entre eux.
+
+\item Réciproquement, montrer que, si les quotients obtenus en divisant $a$ et $b$ par un diviseur commun $d$ sont premiers entre eux, alors $d=\textit{PGCD}(a,b)$.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
+% \noindent Réponse : Soit $d = \textit{PGCD}(a,b)$, et $q_1$ et $q_2$ les quotients de $a$ et $b$ par $d$. Alors $d = aa'+bb' = d q_1 a' + d q_2 b'$. Donc $1 = q_1 a' + q_2 b'$ : $q_1$ et $q_2$ sont premiers entre eux. La réciproque est du même genre.
 
+\subsection{Algorithme d'Euclide généralisé}
 
-\begin{Exo}[Développement décimal]
-On considère le nombre réel $x$ dont le dé\-ve\-lop\-pe\-ment décimal s'écrit $x=0,012\ 345\ 679\ 012\ 345\ 679\ \ldots\ \ldots\ \ldots$ (la séquence $012\ 345\ 679$ est reproduite indéfiniment). Ce développement décimal est périodique, de période 9.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que $x$
-vérifie une équation de la forme $10^kx=n+x$, où $k$ et $n$ sont
-des entiers à déterminer. En résolvant cette équation,
-montrer que $x$ est un nombre rationnel, et le mettre sous la forme
-$x= \fr pq$ , où $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
-\item Appliquer
-la même méthode au ``nombre" $y$ dont le développement
-décimal est $y= 0,999\ 999\ 999\ 999\ \ldots$ (périodique de période
-1). Quelle conclusion peut-on en tirer?
-\item Démontrer que tout nombre réel dont le développement
-décimal est fini ou périodique à partir d'un certain rang
-est un nombre rationnel.
-\item Réciproquement, on se propose de démontrer que le
-développement décimal de tout nombre rationnel est fini ou
-périodique à partir d'un certain rang. Pour cela, on
-considère un rationnel $x=\fr pq$ , avec $q>0$, $p\in
-\Z$, $p$ et $q$ premiers entre eux, et on étudiera successivement
-les cas suivants:
+
+
+Pour deux entiers positifs $a$ et $b$, on a vu que l'algorithme d'Euclide s'écrit : $a \et b = b \et r$, où $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
+
+
+En supposant $a>b$, si on pose $a=r_0$ et $b=r_1$, on définit une famille finie $(r_0,r_1,\ldots,r_k,r_{k+1})$ par $r_i=q_{i+1}r_{i+1}+r_{i+2}$ (c'est-à-dire que $r_{i+2}$ est le reste dans la division euclidienne de $r_i$ par $r_{i+1}$).
+
+
+\noindent Cette famille...
 \begin{itemize}
-\item $x$ est entier (c'est à dire $q=1$).
-\item $x$ est rationnel non entier, et $q$ est premier avec 10 (On
-pourra montrer que, si $q$ est premier avec 10, il existe un entier
-$k$, non nul, tel que $10^k\equiv 1\ [q]$).
-\item $x$ est rationnel non entier, mais $q$ n'est pas premier avec 10.
+\item est strictement décroissante,
+\item est telle que $r_{k+1}=0$,
+\item vérifie $r_0 \et r_1 = r_1 \et r_2= \ldots = r_{k-1} \et r_k = r_k \et r_{k+1} = r_k \et 0 = r_k$.
+\end{itemize}
+
+\bigskip
+
+On remarque que $r_{k-1}$ est un multiple de $r_k$, puisque la division euclidienne de $r_{k-1}$ par $r_k$ s'écrit $r_{k-1}=q_kr_k$.
+
+Soit $d$ le PGCD de $a$ et de $b$ (évidemment, $d=r_k$), on peut écrire $1 \times r_k-0 \times r_{k-1} = d$ puis $1 \times r_{k-2} - q_{k-1} \times r_{k-1}=d$.
+
+
+D'une manière générale, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $r_{i+1}$ et $r_{i+2}$, soit $u \cdot r_{i+1}+v \cdot r_{i+2}=d$, comme $r_i=q_{i+1}\cdot r_{i+1} + r_{i+2}$, on a $u\cdot r_{i+1}+v \cdot (r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1})=d$, soit $(u-q_{i+1}\cdot v)\cdot r_{i+1}+v \cdot r_i=d$.
+
+\subsection{L'algorithme.}
+\index{algorithme!d'Euclide!généralisé}
+Ceci donne l'idée de construire deux familles par les relations :
+\begin{itemize}
+\item $u_0=1$, $u_1=0$,$u_{i+2}=u_i-q_{i+1} \cdot u_{i+1}$
+\item $v_0=0$, $v_1=1$, $v_{i+2}=v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}$.
+\end{itemize}
+
+C'est ce que l'on appelle algorithme d'Euclide généralisé. On a alors $(u_k,v_k,r_k)=(u,v,d)$, $u$ et $v$ tels que $a \cdot u+b \cdot v=d$.
+
+\begin{Pre}
+Pour cela, il suffit de montrer par récurrence que $\qqs i \in
+\{0,\ldots,k\}, r_0 \cdot u_i + r_1 \cdot v_i = r_i$.
+\begin{itemize}
+ \item Initialisation de la récurrence : la relation est vraie pour $i=0$, en effet $r_0 \cdot u_0+r_1 \cdot v_0=r_0$, puisque $u_0=1$ et $v_0=0$.
+\item Caractère héréditaire de la propriété : en supposant que $i$ est un entier pour lequel $r_0 \cdot u_i + r_1 \cdot v_i =
+r_i$ et $r_0 \cdot u_{i+1}+r_1 \cdot v_{i+1}=r_{i+1}$, calculons $r_0 \cdot u_{i+2}+r_1 \cdot v_{i+2}= r_0 \cdot (u_i-q_{i+1} \cdot u_{i+1}) + r_1 \cdot (v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}) = r_0 \cdot
+u_i+r_1 \cdot v_i-q_{i+1}\cdot (r_0 \cdot u_{i+1}+r_1 \cdot
+v_{i+1})=r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1}=r_{i+2}$.
 \end{itemize}
+\end{Pre}
+
+
+\subsection{Exemple.}
+
+Illustrons la mise en \oe{}uvre de cet algorithme...
+
+\begin{Ex}
+Soit à obtenir un couple de Bézout pour (23,17) :\vskip 10pt
+\begin{center}\begin{tabular}{c c c c}
+(23,1,0) & (17,0,1) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
+(17,0,1) & (6,1,-1) & $\longrightarrow$ & $q=2$ \\
+(6,1,-1) & (5,-2,3) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
+(5,-2,3) & (1,3,-4) & $\longrightarrow$ & $q=5$ \\
+(1,3,-4) & (0,-17,23) & $\longrightarrow$ & FIN 
+\end{tabular}\end{center}\vskip 10pt
+On a bien $3 \times 23-4 \times 17=1$.\psaut 
+\end{Ex}
+
+\begin{Rem}
+Il est possible d'obtenir -1 (ou $-d$ en général) comme résultat, donc $au-bv=-1$, cela dépend de la parité du nombre d'itérations effectuées dans l'algorithme précédent.
+
+Ce n'est pas un résultat faux, puisqu'alors $bv-au=1$ et qu'on a quand même un couple de Bézout pour $(b,a)$.
+
+S'il est nécessaire d'obtenir un couple $(u,v)$ tel que $au-bv=1$
+et où $a$ et $b$ figurent dans cet ordre, et que l'algorithme a fourni un couple $(u',v')$ tel que $bv'-au'=1$, il suffit de prendre $u=b-u'$ et $v=a-v'$ et, dans ces conditions $au-bv=a(b-u')-b(a-v')= ab -au' -ab +bv'=bv'-au'=1$. 
+\end{Rem}
+
+\begin{Exo}
+Exprimer $\textit{PGCD}(1330,602)$ comme combinaison à coefficients entiers des nombres 1330 et 602.
+\end{Exo}
+
+
+
+\begin{Th}[Théorème de Gauss]
+Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturel non nuls. 
+Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ est premier avec $b$, 
+alors $a$ divise $c$.
+\end{Th}
+
+
+\begin{Exo}
+L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ d'inconnues $x$ et $y$ 
+$405x -120y =15$.
+\begin{enumerate}
+\item Trouver le pgcd de 405 et 120  à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
+\item En déduire une solution particulière de cette équation.
+\item En utilisant la solution particulière, montrer que $(E)$ est 
+  équivalente à $27(x-3) = 8(y-10)$.
+\item Utiliser le théorème de Gauss pour montrer que 
+  l'ensemble solution de $(E)$ est $\{(8k+3;27k+10)| k \in \Z\}$. 
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+  On considère l'équation $\frac{x}{9}-\frac{y}{4}=3$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels. 
+ \begin{enumerate}
+\item Montrer que cela implique qu'il existe $k \in \N$ tel que  
+ $x= 9(k+ 3)$ et $y=4k$.
+\item Démontrer que le PGCD de $x$ et $y$ ne peut être qu’un diviseur de 108. 
+\item Soit $m$ le  ppcm de $x$ et de $y$. 
+  On envisage la décomposition de $m$ en facteurs premiers. 
+  Trouver l'ensemble des entiers naturel $k$ pour que 
+  \begin{enumerate}
+ \item $m$ ne contienne pas le facteur 2.
+ \item $m$ contienne le facteur 2 ou le facteur $2^2$.
+\item  $m$ ne contienne pas le facteur 3.
+\item  $m$ contienne le facteur 3, ou le facteur $3^2$, ou le facteur $3^3$.
 \end{enumerate}
+\item Comment faut-il choisir $x$ et $y$ de telle façon que
+  l’on ait $\textit{PGCD}(x,y) = 18$? 
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
 
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item Décomposer 319 en facteurs premiers. 
+
+\item Démontrer que si $x$ et $y$ sont deux entiers 
+  naturels premiers entre eux, il en est de même pour les 
+  nombres $3x + 5y$ et $x + 2y$. 
+\item Résoudre dans $\Z^2$ le système d’inconnues $a$ et $b$: 
+$$
+\left\{
+\begin{array}{rcl}
+(3a +5b)(a+2b) &= & 1276\\
+ab & = & 2m
+\textrm{ tel que  $m$ est le PPCM de $a$ et $b$. }
+\end{array}
+\right.
+$$
+\end{enumerate}
 \end{Exo}
 
+\begin{Exo}
+Au 8° siècle, un groupe composé d’hommes et
+de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une 
+auberge. 
+Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5
+pièces chacune. Combien pouvait-il y 
+avoir d’hommes et de femmes dans le groupe?
+\end{Exo}
 
 \section{Arithmétique modulo $n$} 
 
@@ -723,11 +858,92 @@ Quel est le plus petit nombre de pièces d'or qu'il espère lorsqu'il décide d'
 
 
 \begin{Exo}
-Un nombre \og pseudo-premier de base $b$ \fg{}\index{pseudo-premier} est un entier naturel non premier $p$ tel que $(b^p-b) mod p = 0$.
+Un nombre \og pseudo-premier de base $b$ \fg{}\index{pseudo-premier} est un entier naturel non premier $p$ tel que $(b^p-b) \mod p = 0$.
 Vérifier que 561 est pseudo-premier de base 3 et que 341 est pseudo-premier de base 2.
 \end{Exo}
 
 
+
+\section{Représentation des nombres entiers}
+
+
+
+\begin{Def}[Principe de la numération de position]
+\index{Principe de la numérotation de position}
+Il consiste à choisir une base $b$ de numération, et $b$ symboles qui constitueront les chiffres dans la représentation d'un entier positif en base $b$.
+Celle-ci s'écrira alors
+$$n=n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$$ 
+
+Cette écriture est abrégée en ${\left(\overline{n_{p}n_{p-1}\ldots n_{0}}\right)}_{b}$.
+\end{Def}
+
+En informatique, on utilise couramment les bases 2, 8 et 16.
+
+
+
+
+
+L'algorithme pour obtenir la représentation en base $b$ d'un entier est :
+
+\begin{enumerate}
+ \item Effectuer la division euclidienne de cet entier par $b$, division qui donne un premier quotient et un premier reste.
+ \item Le quotient est à sont tour divisé par $b$ pour donner un second quotient et un second reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul.
+\item Les restes successifs (tous strictement inférieurs à $b$), et en commençant par le dernier, constituent la représentation en base $b$ de l'entier donné.
+\end{enumerate}
+
+\begin{Exo}
+Donner la représentation de 23 en base 2.
+\end{Exo}
+
+
+
+\begin{Exo}[Numération, changements de base]
+\begin{enumerate}
+\item Chercher les entiers dont le carré a, en représentation décimale, 
+le même chiffre pour les dizaines et les unités. 
+\item On pose $a=2p-1$, $b=2p+1$, $c=2p+3$; trouver l'entier $p$ de manière que $a^2+b^2+c^2$ soit de la forme $\sur{xxxx}_{10}$.
+\item L'entier $n$ s'écrit $\sur{341}_{10}$ et $\sur{2331}_a$. Trouver $a$.
+\item Montrer que, dans toute base $b$ supérieure ou égale à 3, l'entier qui s'écrit $\sur{11211}_b$ n'est pas  premier.
+\item Soit $n\geqslant 7$. Donner l'écriture de $(n+1)^4$ en base $n$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
+\begin{Exo}[Développement décimal]
+On considère le nombre réel $x$ dont le dé\-ve\-lop\-pe\-ment décimal s'écrit $x=0,012\ 345\ 679\ 012\ 345\ 679\ \ldots\ \ldots\ \ldots$ (la séquence $012\ 345\ 679$ est reproduite indéfiniment). Ce développement décimal est périodique, de période 9.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $x$
+vérifie une équation de la forme $10^kx=n+x$, où $k$ et $n$ sont
+des entiers à déterminer. En résolvant cette équation,
+montrer que $x$ est un nombre rationnel, et le mettre sous la forme
+$x= \fr pq$ , où $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
+\item Appliquer
+la même méthode au ``nombre" $y$ dont le développement
+décimal est $y= 0,999\ 999\ 999\ 999\ \ldots$ (périodique de période
+1). Quelle conclusion peut-on en tirer?
+\item Démontrer que tout nombre réel dont le développement
+décimal est fini ou périodique à partir d'un certain rang
+est un nombre rationnel.
+\item Réciproquement, on se propose de démontrer que le
+développement décimal de tout nombre rationnel est fini ou
+périodique à partir d'un certain rang. Pour cela, on
+considère un rationnel $x=\fr pq$ , avec $q>0$, $p\in
+\Z$, $p$ et $q$ premiers entre eux, et on étudiera successivement
+les cas suivants:
+\begin{itemize}
+\item $x$ est entier (c'est à dire $q=1$).
+\item $x$ est rationnel non entier, et $q$ est premier avec 10 (On
+pourra montrer que, si $q$ est premier avec 10, il existe un entier
+$k$, non nul, tel que $10^k\equiv 1\ [q]$).
+\item $x$ est rationnel non entier, mais $q$ n'est pas premier avec 10.
+\end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+\end{Exo}
+
+
+
 \section{Arithmétique en informatique}
 
 
@@ -924,160 +1140,4 @@ Opération binaire & Entiers non signés & Entiers signés \\
 \end{tabular} 
 \end{center}
 \end{Ex}
-
-
-
-
-
-
-\section{Théorème de Bézout}
-
-
-On considère deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$.
-
-\begin{Th}[Théorème de Bézout]
-\index{théorème!de Bézout}
-Il existe un couple d'entiers $u$ et $v$ tels que $au-bv=d$, où $d$ est le PGCD de $a$ et de $b$. 
-\end{Th}
-
-\begin{Proof}
-On peut se ramener au cas où $a \et b=1$.
-
-En effet, si $d>1$, on peut écrire $a=a'd$ et $b=b'd$ avec $a' \et b'=1$; si le théorème est établi dans le cas du PGCD égal à $1$, on peut affirmer l'existence de $u$ et de $v$ tels que $a'u-b'v=1$; en multipliant les deux membres de cette égalité par $d$, on obtient $a'du-b'dv=d$,
-soit $au-bv=d$.
-
-Il suffit donc d'établir le théorème dans le cas où $d=1$ ($a$ et $b$ premiers entre eux). Plaçons nous dans $(\Z/b\Z)^*$ et considérons l'application de cet ensemble dans lui-même définie par $x \fc ax$. Essayons de résoudre $ax=ax'$, soit $a(x-x')=0$, soit encore $a(x-x') \equiv 0[b]$, ou finalement $a(x-x')=kb$, avec $k \in \Z$.
-
-Comme $a\et b=1$, $a$ ne divise pas $b$, donc divise $k$; on peut écrire $k=k'a$, il reste $x-x'=k'b$, donc $x \equiv x'[b]$, donc $x=x'$; finalement $ax=ax' \Imp x=x'$, donc l'application envisagée est injective; comme il s'agit d'un ensemble fini, elle est évidemment aussi surjective, donc il existe $u$ tel que $au=1$, ce qui s'écrit encore $au \equiv 1[b]$, ou encore $au=bv+1$, finalement $au-bv=1$. 
-\end{Proof}
-
-
-
-\begin{Rem}
-Ce couple n'est pas unique.
-\begin{Proof}
-En effet, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $(a,b)$, donc tel que $au-bv=d$, où $d=a\et b$, alors, pout tout $k$ dans $\Z$, $a(u+kb)-b(v+ka)= au-bv+kab-kab=au-bv=d$ aussi. 
-\end{Proof}
-\end{Rem}
-
-
-
-\begin{Exo}
-Montrez que, si $m$ est multiple de deux nombres premiers entre eux $a$ et $b$, alors $m$ est multiple de $ab$. 
-\end{Exo}
-
-\noindent Réponse : $1 = aa'+bb'$, donc $m = maa'+mbb'$. Or $m=ax=by$, donc $m = ab(ya'+xb')$.
-
-
-
-\begin{Exo}
-Montrez que, si on divise deux entiers naturels $a$ et $b$ par leur pgcd, alors les quotients obtenus sont premiers entre eux.
-
-Réciproquement, montrer que, si les quotients obtenus en divisant $a$ et $b$ par un diviseur commun $d$ sont premiers entre eux, alors $d=pgcd(a,b)$.
-\end{Exo}
-
-\noindent Réponse : Soit $d = \textit{PGCD}(a,b)$, et $q_1$ et $q_2$ les quotients de $a$ et $b$ par $d$. Alors $d = aa'+bb' = d q_1 a' + d q_2 b'$. Donc $1 = q_1 a' + q_2 b'$ : $q_1$ et $q_2$ sont premiers entre eux. La réciproque est du même genre.
-
-
-
-\subsection{Algorithme d'Euclide généralisé}
-
-
-
-Pour deux entiers positifs $a$ et $b$, on a vu que l'algorithme d'Euclide s'écrit : $a \et b = b \et r$, où $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
-
-
-En supposant $a>b$, si on pose $a=r_0$ et $b=r_1$, on définit une famille finie $(r_0,r_1,\ldots,r_k,r_{k+1})$ par $r_i=q_{i+1}r_{i+1}+r_{i+2}$ (c'est-à-dire que $r_{i+2}$ est le reste dans la division euclidienne de $r_i$ par $r_{i+1}$).
-
-
-\noindent Cette famille...
-\begin{itemize}
-\item est strictement décroissante,
-\item est telle que $r_{k+1}=0$,
-\item vérifie $r_0 \et r_1 = r_1 \et r_2= \ldots = r_{k-1} \et r_k = r_k \et r_{k+1} = r_k \et 0 = r_k$.
-\end{itemize}
-
-\bigskip
-
-On remarque que $r_{k-1}$ est un multiple de $r_k$, puisque la division euclidienne de $r_{k-1}$ par $r_k$ s'écrit $r_{k-1}=q_kr_k$.
-
-Soit $d$ le PGCD de $a$ et de $b$ (évidemment, $d=r_k$), on peut écrire $1 \times r_k-0 \times r_{k-1} = d$ puis $1 \times r_{k-2} - q_{k-1} \times r_{k-1}=d$.
-
-
-D'une manière générale, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $r_{i+1}$ et $r_{i+2}$, soit $u \cdot r_{i+1}+v \cdot r_{i+2}=d$, comme $r_i=q_{i+1}\cdot r_{i+1} + r_{i+2}$, on a $u\cdot r_{i+1}+v \cdot (r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1})=d$, soit $(u-q_{i+1}\cdot v)\cdot r_{i+1}+v \cdot r_i=d$.
-
-\subsection{L'algorithme.}
-\index{algorithme!d'Euclide!généralisé}
-Ceci donne l'idée de construire deux familles par les relations :
-\begin{itemize}
-\item $u_0=1$, $u_1=0$,$u_{i+2}=u_i-q_{i+1} \cdot u_{i+1}$
-\item $v_0=0$, $v_1=1$, $v_{i+2}=v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}$.
-\end{itemize}
-
-C'est ce que l'on appelle algorithme d'Euclide généralisé. On a alors $(u_k,v_k,r_k)=(u,v,d)$, $u$ et $v$ tels que $a \cdot u+b \cdot v=d$.
-
-\begin{Pre}
-Pour cela, il suffit de montrer par récurrence que $\qqs i \in
-\{0,\ldots,k\}, r_0 \cdot u_i + r_1 \cdot v_i = r_i$.
-\begin{itemize}
- \item Initialisation de la récurrence : la relation est vraie pour $i=0$, en effet $r_0 \cdot u_0+r_1 \cdot v_0=r_0$, puisque $u_0=1$ et $v_0=0$.
-\item Caractère héréditaire de la propriété : en supposant que $i$ est un entier pour lequel $r_0 \cdot u_i + r_1 \cdot v_i =
-r_i$ et $r_0 \cdot u_{i+1}+r_1 \cdot v_{i+1}=r_{i+1}$, calculons $r_0 \cdot u_{i+2}+r_1 \cdot v_{i+2}= r_0 \cdot (u_i-q_{i+1} \cdot u_{i+1}) + r_1 \cdot (v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}) = r_0 \cdot
-u_i+r_1 \cdot v_i-q_{i+1}\cdot (r_0 \cdot u_{i+1}+r_1 \cdot
-v_{i+1})=r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1}=r_{i+2}$.
-\end{itemize}
-\end{Pre}
-
-
-\subsection{Exemple.}
-
-Illustrons la mise en \oe{}uvre de cet algorithme...
-
-\begin{Ex}
-Soit à obtenir un couple de Bézout pour (23,17) :\vskip 10pt
-\begin{center}\begin{tabular}{c c c c}
-(23,1,0) & (17,0,1) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
-(17,0,1) & (6,1,-1) & $\longrightarrow$ & $q=2$ \\
-(6,1,-1) & (5,-2,3) & $\longrightarrow$ & $q=1$ \\
-(5,-2,3) & (1,3,-4) & $\longrightarrow$ & $q=5$ \\
-(1,3,-4) & (0,-17,23) & $\longrightarrow$ & FIN 
-\end{tabular}\end{center}\vskip 10pt
-On a bien $3 \times 23-4 \times 17=1$.\psaut 
-\end{Ex}
-
-\begin{Rem}
-Il est possible d'obtenir -1 (ou $-d$ en général) comme résultat, donc $au-bv=-1$, cela dépend de la parité du nombre d'itérations effectuées dans l'algorithme précédent.
-
-Ce n'est pas un résultat faux, puisqu'alors $bv-au=1$ et qu'on a quand même un couple de Bézout pour $(b,a)$.
-
-S'il est nécessaire d'obtenir un couple $(u,v)$ tel que $au-bv=1$
-et où $a$ et $b$ figurent dans cet ordre, et que l'algorithme a fourni un couple $(u',v')$ tel que $bv'-au'=1$, il suffit de prendre $u=b-u'$ et $v=a-v'$ et, dans ces conditions $au-bv=a(b-u')-b(a-v')= ab -au' -ab +bv'=bv'-au'=1$. 
-\end{Rem}
-
-\begin{Exo}
-Exprimer $pgcd(1330,602)$ comme combinaison à coefficients entiers des nombres 1330 et 602.
-\end{Exo}
-
-
-
-\begin{Theo}[Théorème de Gauss]
-Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturel non nuls. 
-Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ est premier avec $b$, 
-alors $a$ divise $c$.
-\end{Theo}
-
-
-\begin{Exo}
-L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ d'inconnues $x$ et $y$ 
-$405x -120y =15$.
-\begin{enumerate}
-\item Trouver le pgcd de 405 et 120  à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
-\item En déduire une solution particulière de cette équation.
-\item En utilisant la solution particulière, montrer que $(E)$ est 
-  équivalente à $27(x-3) = 8(y-10)$.
-\item Utiliser le théorème de Gauss pour montrer que 
-  l'ensemble solution de $(E)$ est $\{(8k+3;27k+10)| k \in \Z\}$. 
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
 \centerline{\x{Fin du Chapitre}}
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