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@@ -1,919 +1,154 @@
-\section{Relations}
-On se donne deux ensembles $E$ et $F$.
-
-\begin{Def}[Relation binaire, graphe]
-On dit que:
- \begin{itemize}
-\item l'on a dÃ©fini une \emph{relation binaire} \index{relation binaire} ${\mathcal{R}}$ entre ces deux ensembles lorsque l'on s'est donnÃ© une partie $G$ de l'ensemble produit $E\times F$ ($G\sse E\times F$).
-\item Cette partie est appelÃ©e \emph{graphe} \index{graphe} de la relation binaire.
-\item Si $x (\in E)$ et $y (\in F)$ sont tels que $(x,y)\in G$, on dit que $x$ est \emph{en relation avec} $y$ par la relation ${\mathcal{R}}$.
- \end{itemize}
-\end{Def}
-
-
-Pour formaliser cette proposition, on utilise la notation 
-$x {\mathcal{R}} y$ comme suit:
-
-\begin{Notation}
-$$x {\mathcal{R}} y \Ssi \quad\hbox{[\og x est en relation avec y\fg{}  ]}\Ssi
-(x,y)\in G\quad\hbox{[$G$: graphe de la relation ${\mathcal{R}}$]}.$$
-\end{Notation}
-
-\begin{Exo}
-On se place dans l'ensemble $E = \{1,2,3,\hdots,20\}$.
-
-ReprÃ©senter, dans le plan rapportÃ© Ã  deux axes de coordonnÃ©es rectangulaires, les graphes des relations binaires sur $E$ dont les dÃ©finitions suivent:
-\begin{itemize}
-\item $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow x \leqslant y$.
-\item $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow x | y$: $x$ divise $y$.
-\item $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow x \equiv y[3]$: $x$ est congru Ã  $y$ modulo 3.
-\item $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow y = x^2$.
-\end{itemize}
-\end{Exo}
-
-
-
-
-\begin{Rem}
-Lorsque $E=F$, on parle de relation binaire dÃ©finie dans l'ensemble $E$.
-Son graphe est une partie de $E^2$.
-\end{Rem}
-
-\begin{Rem}
-Il est possible que $x \mathcal{R} y$ sans que $y \mathcal{R} x$.
-\end{Rem}
-
-
-\begin{Exo}
-A-t-on $y \mathcal{R} x$ quand $x \mathcal{R} y$, dans les relations binaires dÃ©finies dans l'exercice prÃ©cÃ©dent ?
-\end{Exo}
-
-\begin{Exo}
-Sur l'ensemble des mots de la langue franÃ§aise, on dÃ©finit la relation: \og le mot M est liÃ© au mot N s'ils coÃ¯ncident quand on Ã©crit M Ã  l'envers \fg{}.
-
-DÃ©terminer quelques couples de mots en relation, ainsi que des mots en relation avec eux-mÃªmes. Comment appelle-t-on de tels mots ?
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exoc}
-Sur l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs, on dÃ©finit deux relations, notÃ©es respectivement $\Sigma$ et $\Delta$, de la faÃ§on suivante:
-\begin{itemize}
- \item $x \Sigma y$ quand la somme $x+y$ est paire
-\item  $x \Delta y$ quand la diffÃ©rence $x-y$ est paire
-\end{itemize}
-Sont-elles Ã©gales ?
-
-\noindent\textit{\underline{RÃ©ponse: }} $x \Sigma y \Leftrightarrow \exists k \in \Z, x+y = 2k \Leftrightarrow \exists k \in \Z, x+y-2y = 2k-2y = 2(k-y).$
-
-Donc $x \Sigma y \Leftrightarrow \exists k' \in \Z,  x-y =  2k' \Leftrightarrow x \Delta y.$
-\end{Exoc}
-
-\section{Application d'un ensemble dans un autre}
-
-\subsection{Application et relation fonctionnelle}
-
-
-\begin{Def}[Application]
-Une \emph{application}\index{application} de l'ensemble $E$ dans l'ensemble $F$ est une relation binaire particuliÃ¨re ${\mathcal{R}}$ entre $E$ et $F$, dont le graphe $G$ doit possÃ©der les propriÃ©tÃ©s suivantes:
-
-\begin{itemize}
- \item pour tout Ã©lÃ©ment $x$ de $E$, il doit exister un Ã©lÃ©ment $y$ de $F$ tel que $(x,y)$ soit Ã©lÃ©ment de $G$;
- \item cet Ã©lÃ©ment $y$ doit Ãªtre unique.
-\end{itemize}
-\end{Def}
-
-
-
-\noindent Voici la formalisation (partielle) de ces propositions:
-
-\begin{itemize}
-\item $\qqs x\in E,\ \exi y\in F,\ (x,y)\in G$
-\item $\qqs x\in E,\ \qqs y\in F,\ \qqs y'\in F, [(x,y)\in G\ {\rm et}\ (x,y')\in G \Longrightarrow y=y']$.
-\end{itemize}
-
-\medskip
-
-Il existe un intermÃ©diaire entre relation et application \ldots
-
-\begin{Def}[Relation fonctionnelle]
-On parle de \emph{relation fonctionnelle}\index{relation!fonctionnelle} quand tout Ã©lÃ©ment de l'ensemble de dÃ©part possÃ¨de au plus une image.
-\end{Def}
-
-\begin{Rem}
-Une application est donc une relation fonctionnelle particuliÃ¨re : tout Ã©lÃ©ment de l'ensemble de dÃ©part possÃ¨de exactement une image.
-\end{Rem}
-
-
-\begin{Exo}
-Parmi les relations suivantes de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$, repÃ©rez les relations fonctionnelles, repÃ©rez les applications:
-\begin{enumerate}
-\item $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, |y| = \sqrt{x} \}$
-\item $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, xy = 1 \}$
-\item $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, y-x+2 = 0 \}$
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-%\noindent\textit{\underline{RÃ©ponse:}} Les deux derniÃ¨res sont des relations fonctionnelles, et la derniÃ¨re est la seule application. 
-
-\subsection{Image et antÃ©cÃ©dent d'un Ã©lÃ©ment}
-
-
-On suppose dorÃ©navant que $\mathcal{R}$ est une application. Pour un $x$ donnÃ© de $E$, il lui correspond un et un seul $y$ de $F$ qui est en relation avec lui par ${\mathcal{R}}$.
-
-\begin{Def}
-Cet unique $y$ est alors appelÃ© \emph{image}\index{image} de $x$ par l'application dÃ©finie par ${\mathcal{R}}$.
-\end{Def}
-
-\begin{Notation}
-Si l'on dÃ©signe par $f$ cette application, l'expression \og $y$ est l'image de $x$ par $f$\fg{} est formalisÃ©e par $y=f(x)$.
-De plus,  on formalise la proposition \og $f$ est une application de $E$ dans $F$\fg{} par $f: E\vers F$. La proposition \og $y$ est l'image de $x$ par $f$\fg{}   peut aussi Ãªtre traduite par: $f: x \fc y$.
-\end{Notation}
-
-
-
-\begin{Exo}
- InterprÃ©ter chacune des situations suivantes au moyen d'une application. Pour cela, on dÃ©finira deux ensembles $A$ et $B$ ainsi que $f: A\vers B$. PrÃ©ciser dans chaque cas pourquoi il s'agit bien d'une application.
-
-\begin{enumerate}
-\item Le registre d'un hÃ´tel qui possÃ¨de 55 chambres.
-\item Le numÃ©ro d'INSEE.
-\item La paritÃ© d'un entier naturel.
-\end{enumerate}
-
-\end{Exo}
-
- 
-RÃ©ciproquement, soit $f$ une application\ldots
-
-\begin{Def}[AntÃ©cÃ©dent]
-Si $y$ est l'image de $x$ par $f$, alors $x$ est appelÃ© un \emph{antÃ©cÃ©dent} \index{antÃ©cÃ©dent} de $y$ par $f$.
-\end{Def}
-
-Un quelconque Ã©lÃ©ment $y$ de $F$ ne possÃ¨de pas forcÃ©ment d'antÃ©cÃ©dant par une application $f : E \longrightarrow F$. Et il n'y a pas forcÃ©ment unicitÃ© quand il en possÃ¨de : un $y$ de $F$ peut avoir plusieurs antÃ©cÃ©dants par une application $f$.
-
-Les cas particuliers oÃ¹ tout $y$ de $F$ possÃ¨de au plus un antÃ©cÃ©dant, et au moins un antÃ©cÃ©dant, sont Ã©tudiÃ©s dans les deux sections suivantes.
-
-\subsection{Applications injectives}
-
-
-
-\begin{Def}[InjectivitÃ©]
-L'application $f:E \longrightarrow F$ est dite \emph{injective} \index{application!injective} quand tout $y \in F$ possÃ¨de au plus un antÃ©cÃ©dant par $f$.
-\end{Def}
-
-
-\begin{Rem}
-Le terme injection\index{injection} est synonyme d'\og application injective\fg{}.
-\end{Rem}
- 
-L'injectivitÃ© d'une application peut se caractÃ©riser de la maniÃ¨re suivante.
-
-\begin{Th}[CaractÃ©risation des fonctions injectives]
-$$\hbox{\og $f:E \longrightarrow F$ est une application injective\fg{}  } \Longleftrightarrow [ \forall x,x' \in E, f(x)=f(x') \Imp x=x' ]$$
-\end{Th}
-
-\begin{Exo}
-Prouver, en utilisant la caractÃ©risation ci-dessus, que les applications suivantes sont injectives :
-\begin{enumerate}
-\item $f : \R \longrightarrow \R, x \fc 2x+3$.
-\item $f : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \R, x \fc 3 x^2 +1$.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-Prouver, en utilisant la caractÃ©risation ci-dessus, que les applications suivantes ne sont pas injectives :
-\begin{enumerate}
-\item $f : \R \longrightarrow \R, x \fc |x|$.
-\item $f : \R \longrightarrow \R, x \fc x^2$.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-Tracez le graphe d'une application qui est injective, et d'une application qui ne l'est pas. Trouver une caractÃ©risation de l'injectivitÃ© d'une application $f :E \longrightarrow F$, Ã  partir du nombre d'intersections entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites verticales $y=b, b\in F$.
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-Soit $f:E \longrightarrow F$ une application injective. Peut-elle perdre ce caractÃ¨re injectif si on rÃ©duit l'ensemble d'arrivÃ©e ? Et si l'on rÃ©duit l'ensemble de dÃ©part ?
-
-Que se passe-t-il si l'on change Â«rÃ©duitÂ» en Â«augmenteÂ» dans les prÃ©cÃ©dentes questions ?
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-On suppose $g o f$ injective. Montrer que $f$ est injective. Est-ce que $g$ est obligatoirement injective ?
-\end{Exo}
-
-
-\subsection{Applications surjectives}
-
-La dÃ©finition d'une application $f$ exige seulement que chaque Ã©lÃ©ment $x$ de $E$ admette une image (unique) $y$ dans $F$, mais pas que tout Ã©lÃ©ment $y$ de $F$ admette un antÃ©cÃ©dent dans $E$.
-S'il en est nÃ©anmoins ainsi, l'application est dite \emph{surjective}:
-\begin{Def}
- Une application \emph{surjective}\index{application!surjective} $f: E\vers F$ est une application telle que tout $y$ de $F$ admette un antÃ©cÃ©dent dans $E$.
-\end{Def}
-
-\begin{Rem}
-\emph{Surjection} est synonyme d'\og application surjective\fg{}. \index{surjection}
-\end{Rem}
-
-
-\begin{Exo}
-Tracez le graphe d'une application qui est surjective, et d'une application qui ne l'est pas.
-\end{Exo}
-
-\begin{Exo}
-Donnez des exemples (sous forme analytique) de fonctions surjectives, et de fonction qui ne le sont pas.
-\end{Exo}
-
-\subsection{Image d'un ensemble par une application}
-
-D'une maniÃ¨re gÃ©nÃ©rale, on peut considÃ©rer l'ensemble des images des Ã©lÃ©ments de $E$ par une application $f$ de $E$ dans $F$ (ils en ont tous une, et une seule).
-
-\begin{Def}[Image d'un ensemble par une application]
-Cet ensemble, qui est Ã©videmment une partie de $F$, est notÃ© $f<E>$, et est appelÃ© \emph{image de $E$ par $f$}: $$f<E>=\{f(x)\in F \mid x\in E\}$$
-\end{Def}
-
-
-\begin{Rem}
-Si tous les Ã©lÃ©ments de $F$ ont un antÃ©cÃ©dent dans $E$ ($f$ est surjective), cela signifie que tout Ã©lÃ©ment de $F$ est Ã©lÃ©ment de $f<E>$, donc que $F\sse f<E>$. Comme on a remarquÃ© par ailleurs que $f<E>\sse F$, on a, dans ce cas, $f<E>=F$.
-\end{Rem}
-
-
-
-Cette derniÃ¨re remarque permet la formalisation suivante: 
-
-\begin{Th}[CaractÃ©risation de la surjectivitÃ©]
-$$\hbox{\og $f$ est (une application) surjective\fg{}  } \Ssi f<E>=F$$
-\end{Th}
-
-
-\begin{Ex}
-Soit l'application \og Ã©lÃ©vation au carrÃ© \fg{} $f: x \longmapsto x^2$ de $\R$ dans $\R$. Elle est:
-\begin{itemize}
-\item non surjective: $f < \R > = \R^+$,
-\item non injective: $f(-2) = f(2) = 4$.
-\end{itemize}
-\end{Ex}
-
-\begin{Exo}
-On suppose $g o f$ surjective. Montrer que $g$ est surjective. Est-ce que $f$ est obligatoirement surjective ?
-\end{Exo}
-
-\subsection{Applications bijectives}
-
-
-\begin{Def}[Applications bijectives]
-Une application qui est Ã  la fois injective et surjective est dite \emph{bijective} \index{application!bijective}. 
-\end{Def}
-
-
-\begin{Rem}
-Synonyme d'\og application bijective\fg{}: bijection\index{bijection}.
-\end{Rem}
-
-\begin{Exo}
-Dans chaque cas, dire si l'application $f:A \vers B$ est injective, surjective ou bijective.
-
-\begin{enumerate}
-\item $A = \R, B = \R, f(x) = x+7$
-\item $A = \R, B = \R, f(x) = x^2+2x-3$
-\item $A = \{ x \in \R | 4 \leqslant x \leqslant 9 \}, B = \{ x \in \R | 21 \leqslant x \leqslant 96 \}, f(x) = x^2+2x-3$
-\item $A = \R, B = \R, f(x) = 3x-2|x|$
-\item $A = \R, B = \R, f(x) = e^x+1$
-\item $A = \N, B = \N, f(x) = x(x+1)$
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Th}
-Dans le cas d'une bijection, Ã  chaque Ã©lÃ©ment $x$ de $E$ correspond un et un seul Ã©lÃ©ment $y$ de $F$ (dÃ©finition d'une application) et, rÃ©ciproquement, Ã  chaque (surjectivitÃ©) Ã©lÃ©ment $y$ de $F$ correspond un et un seul (injectivitÃ©) Ã©lÃ©ment $x$ de $E$.
-\end{Th}
-
-
-Cette derniÃ¨re proposition est prÃ©cisÃ©ment l'affirmation de l'existence d'une application $g$ de $F$ dans $E$, telle que $x = g(y) \Longleftrightarrow f(x) = y $.
-
-
-
-
-\begin{Def}[Application inverse]
-Cette application est appelÃ©e \emph{application inverse}\index{application!inverse} de l'application $f$.
-\end{Def}
-
-\begin{Notation}
- On la note $f^{-1}$
-\end{Notation}
-
-\begin{Exo}
-Reprendre l'exercice prÃ©cÃ©dent, en trouvant l'application rÃ©ciproque des applications bijectives.
-\end{Exo}
-
-
-% \begin{Rem}
-% On peut dÃ©montrer que la bijectivitÃ© est une condition nÃ©cessaire et suffisante pour qu'une application admette une inverse.
-% \end{Rem}
-
-\begin{Ex}
-Soit l'application \og multiplication par 2 \fg{} $f: x \longmapsto 2 x$ de $\R$ dans $\R$. Elle est surjective et injective.
-Elle admet donc une application inverse: $f^{-1}: x \longmapsto \dfrac{x}{2}$.
-\end{Ex}
-
-\begin{Exo}
-Soit $f: \Z \vers \Z$ dÃ©finie par $f(n) = n + (-1)^n$.
-\begin{enumerate}
- \item Montrer que $n$ et $f(n)$ sont toujours de paritÃ© diffÃ©rente.
-\item Montrer que $f$ est bijective.
-\item Calculer $f(f(n))$. En dÃ©duire une expression de $f^{-1}$ et rÃ©soudre l'Ã©quation $347 = n+(-1)^n$.
-\end{enumerate}
-
-\end{Exo}
-
-
-\section{Cardinal et puissance d'un ensemble}
-
-Il s'agit ici de proposer une rÃ©flexion sur la notion intuitive de \og nombre d'Ã©lÃ©ments d'un ensemble\fg{}, nÃ©cessaire pour pouvoir aborder ultÃ©rieurement les notions de dÃ©nombrabilitÃ© et de calculabilitÃ©, fondamentaux en informatique.
-
-
-\subsection{Cas des ensembles finis}
-
-
-On commence par prendre deux ensembles $E=\{a,b,c,d\}$ et $F=\{1,2,3\}$ et Ã  remarquer que:
-\begin{itemize}
- \item il est possible de dÃ©finir une injection de $F$ dans $E$, mais pas une surjection,
- \item de dÃ©finir une surjection de $E$ sur $F$, mais pas d'injection,
-\end{itemize}
-\ldots tout simplement parce qu'il n'y a \og pas assez\fg{} d'Ã©lÃ©ments dans $F$ (ou \og trop\fg{}  dans $E$).
-
-
-Si l'on  veut pouvoir dÃ©finir une bijection entre deux ensembles, il semble nÃ©cessaire et suffisant qu'ils aient le mÃªme \og nombre d'Ã©lÃ©ments\fg{} (on se limite ici au domaine fini).
-Cette notion intuitive, rÃ©sultat immÃ©diat d'une simple opÃ©ration de comptage, est reliÃ©e Ã  la notion mathÃ©matique de mise en bijection avec une partie de $\Net$ de la forme $\{1\vir 2\vir\ldots\vir n\}$. 
- Ainsi, pour $n\in\Net$ donnÃ©, les ensembles Ã  $n$ Ã©lÃ©ments sont tous ceux qui peuvent Ãªtre mis en bijection avec $\{1\vir 2\vir\ldots\vir n\}$ (et, par convention, $\varnothing$ a 0 Ã©lÃ©ment).
-
-
-\begin{Def}[Cardinal d'un ensemble fini]
-L'Ã©lÃ©ment maximum $n$ de la partie finie $P=\{1\vir 2\vir\ldots\vir n\}$ de $\Net$ est un reprÃ©sentant du \emph{cardinal} \index{ensemble!cardinal}\index{cardinal} de tout ensemble en bijection avec $P$.
-\end{Def}
-
-
-
-Pas de problÃ¨me donc lorsque l'on s'en tient aux ensembles finis, dont la dÃ©finition mathÃ©matique est:
-
-
-\begin{Def}[Ensemble fini]
-Un ensemble est dit fini\index{ensemble!fini} s'il ne peut pas Ãªtre mis en bijection avec une partie stricte de lui-mÃªme.
-\end{Def}
-
-
-\subsection{Cas des ensembles infinis}
-
-
-
-Lorsque l'on se pose la question du \og nombre d'Ã©lÃ©ments\fg{}  d'un ensemble infini, on peut Ãªtre tentÃ©, dans un premier temps, de rÃ©pondre par \og une infinitÃ©\fg{}, ce qui n'est pas satisfaisant pour au moins deux raisons: 
-
-\begin{itemize}
- \item jusqu'Ã  prÃ©sent, le \og nombre d'Ã©lÃ©ments\fg{}  Ã©tait un entier, et l'infini n'est pas un nombre entier,
- \item cela laisserait supposer que tous les ensemble infinis ont le mÃªme \og nombre d'Ã©lÃ©ments\fg{}
-\end{itemize}
-
-
-
-Une rÃ©flexion plus appronfondie apparaÃ®t comme nÃ©cessaire. On dÃ©cide donc de se calquer sur le domaine fini\ldots 
-
-
-\begin{Def}[Puissance d'un ensemble infini]
-Deux ensembles ont \emph{mÃªme puissance}\index{ensemble!puissance}\index{puissance!d'un ensemble} (\og mÃªme nombre d'Ã©lÃ©ments\fg{}) si l'on peut les mettre en bijection.
-\end{Def}
-
-
-
-\begin{Ex}
-Il existe des bijections entre $\N$ et l'ensemble des entiers pairs ($2\N$) ou impairs ($2\N+1$), qui conduisent Ã  des formulations du style \og il y a autant d'entiers que d'entiers pairs \fg{}.
-\end{Ex}
- 
-
-\begin{Rem}
-$(2\N) \cup (2\N+1) = \N$, bien que ces trois ensembles \og on le mÃªme nombre d'Ã©lÃ©ments \fg{}, les deux premiers Ã©tants disjoints \ldots \'A rapprocher de $\infty\plinf=\infty$.
-\end{Rem}
-
-
-\begin{Rem}
-Pour ce genre de raisons, on a tendance Ã  abandonner ce vocabulaire (sur les nombres d'individus) pour dire simplement que ces ensembles ont mÃªme puissance.
-\end{Rem}
-
-
-
-\subsection{Puissance d'un ensemble infini}
-
-
-Si $E$ est un ensemble infini, le rÃ©sultat fondamental est:
-
-\begin{Th}
-Il est impossible de dÃ©finir une surjection de $E$ sur $\mathcal{P}(E)$.
-\end{Th}
-
-\begin{Pre}
- Admis
-\end{Pre}
-
-Ce rÃ©sultat montre que, mÃªme si $E$ est un ensemble infini, il ne peut Ãªtre mis en bijection avec ${\cal P}(E)$, qui a donc \og strictement plus d'Ã©lÃ©ments\fg{}  que $E$.
-ConsÃ©quemment, $\N$ et ses parties infinies, $\Z$, et mÃªme $\Q$ ont tous la mÃªme puissance, dite \emph{puissance du dÃ©nombrable} \index{puissance!du dÃ©nombrable}. Mais\ldots 
-
-
-\begin{Def}[Puissance du continu]
-${\cal P}(\N)$ n'est pas dÃ©nombrable, et est de puissance strictement supÃ©rieure, dite \emph{puissance du continu}\index{puissance!du continu}, dite 
- \emph{puissance de $\R$}.
-\end{Def}
-
-
-\noindent De mÃªme, ${\cal P}(\R)$ est de puissance strictement supÃ©rieure Ã  $\R$, et ainsi de suite\ldots 
-
-\begin{Th}
-$\R$ est indÃ©nombrable. 
-\end{Th}
-
-\begin{Pre}[DÃ©monstration de Cantor]
-Supposons que $\mathbb{R}$ soit dÃ©nombrable.
-On pourrait alors Ã©crire la liste de TOUS les rÃ©els,
-Ã  partir du premier, en Ã©criture dÃ©cimale $r_1$, $r_2$, $r_3$, etc.
-
-On choisit pour les nombres dÃ©cimaux l'Ã©criture qui ne comporte que des zÃ©ros Ã  partir d'un certain rang, s'il y a ambiguÃ¯tÃ©.
-Ainsi, l'on prÃ©fÃ©rera l'Ã©criture 1 Ã  0,9999999\ldots \ldots  (ces nombres sont Ã©gaux ; c'est-Ã -dire que l'on a affaire ici Ã  deux reprÃ©sentations dÃ©cimales d'un mÃªme nombre).
-
-
- Construisons alors le nombre $S$ de la maniÃ¨re suivante:
- \begin{enumerate}
- \item sa partie entiÃ¨re est 0,
- \item et pour sa partie dÃ©cimale,
-   \begin{itemize}
-   \item le premier chiffre est diffÃ©rent du premier chiffre aprÃ¨s la virgule de $r_1$,
-   \item le deuxiÃ¨me chiffre est diffÃ©rent du deuxiÃ¨me chiffre aprÃ¨s la virgule de $r_2$,
-   \item \emph{etc.}
-   \end{itemize}
- \end{enumerate}
-
-Le nombre $S$ ne fait alors pas partie de la liste des rÃ©els, ce qui est contradictoire: l'hypothÃ¨se $\mathbb{R}$ dÃ©nombrable (on peut numÃ©roter tous les rÃ©els avec $\mathbb{N}$) est erronÃ©e.
-\end{Pre}
-\section{Relations d'ordre}
-Dans ce paragraphe, on se place dans le cas oÃ¹ $E=F$.
-Soit ${\mathcal{R}}$ une relation binaire dÃ©finie dans un ensemble $E$, de graphe $G$.
-
-\subsection{RÃ©flexivitÃ©, antisymÃ©trie, transitivitÃ©}
-
-
-\begin{Def}[RÃ©flexivitÃ©]
- ${\mathcal{R}}$ est dite \emph{rÃ©flexive} \index{relation!rÃ©flexive} quand tout Ã©lÃ©ment de $E$ est en relation avec lui-mÃªme:
-$$\qqs x\in E,\ (x,x)\in G$$
-\end{Def}
-
-
-\begin{Rem}
- C'est-Ã -dire $\qqs x\in E,\ x {\mathcal{R}} x$, ou encore: la diagonale de $E^2$ est incluse dans $G$.
-\end{Rem}
-
-
-
-\begin{Def}[AntisymÃ©trie]
- ${\mathcal{R}}$ est dite \emph{antisymÃ©trique} \index{relation!antisymÃ©trique} si, lorsque  $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas Ãªtre en relation avec $x$ (sauf si $x=y$):
-
-$$\qqs x\in E,\ \qqs y\in E,\ (x,y)\in G ~{\rm et}\ (y,x)\in G\ \Imp x=y$$
-\end{Def}
-
-
-\begin{Rem}
- C'est-Ã -dire $\qqs(x,y)\in E^2,\ x {\mathcal{R}} y\ {\rm et}\ y {\mathcal{R}} x\Imp\ x=y$.
-\end{Rem}
-
-
-
-\begin{Def}[TransitivitÃ©]
- ${\mathcal{R}}$ est dite \emph{transitive} \index{relation!transitive} lorsque, si $x$ est en relation avec $y$, et si $y$ l'est avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$: 
-$$\qqs x\in E,\qqs y\in E,\ \qqs z\in E,\ (x,y)\in G\ {\rm et}\ (y,z)\in G
-\Imp (x,z)\in G$$
-\end{Def}
-
-
-\begin{Rem}
-C'est-Ã -dire: $\qqs x\in E,\ \qqs y\in E,\qqs z \in E,\ x {\mathcal{R}} y\ {\rm et}\ y {\mathcal{R}} z \Imp x {\mathcal{R}} z$. 
-\end{Rem}
-
-
-\begin{Exo}
-Les relations suivantes sont-elles rÃ©flexives, antisymÃ©triques ou transitives ?
-\begin{enumerate}
-\item $A = \mathbb{R}$ et $x \mathcal{R} y$ si $|x| = |y|$.
-\item $A = \mathbb{R}$ et $x \mathcal{R} y$ si $sin^2 x + \cos^2 y = 1 $.
-\item $A = \mathbb{N}$ et $x \mathcal{R} y$ s'il existe $p$ et $q$ entiers tels que $y = p x^q$.
-\item $A$ est l'ensemble des points du plan, et $x \mathcal{R} y$ si la distance de $x$ Ã  $y$ est infÃ©rieure Ã  52,7 km.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-Sur un ensemble Ã  $n$ Ã©lÃ©ments, combien y a-t-il de relations\ldots 
-\begin{enumerate}
-\item rÃ©flexives~? 
-\item symÃ©triques~?
-\end{enumerate} 
-\end{Exo}
-
-
-
-\begin{Exo}
-DÃ©terminer quand une relation $\mathcal{R}$ dans un ensemble $A$ est 
-\begin{enumerate}
-\item non rÃ©flexive,
-\item non symÃ©trique,
-\item non transitive,
-\item non antisymÃ©trique.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-Donner des exemples de relation $\mathcal{R}$ dans $\{1,2,3\}$ ayant les propriÃ©tÃ©s suivantes:
-\begin{enumerate}
-\item $\mathcal{R}$ est symÃ©trique,
-\item $\mathcal{R}$ n'est ni symÃ©trique ni antisymÃ©trique,
-\item $\mathcal{R}$ est transitive mais $\mathcal{R} \cup \mathcal{R}^{-1}$ n'est pas transitive.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-Soit $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ deux relations dans $A$.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que si $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont transitives alors $\mathcal{R} \cap \mathcal{S}$ est transitive.
-\item Si $\mathcal{R}$ est antisymÃ©trique alors $\mathcal{R} \cap \mathcal{S}$ est antisymÃ©trique.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-
-\subsection{Relation d'ordre}
-
-\begin{Def}[Relation d'ordre]
-${\mathcal{R}}$ est une \emph{relation d'ordre}\index{relation!d'ordre} lorsqu'elle est rÃ©flexive, antisymÃ©trique et transitive.
-\end{Def}
-
-
-\begin{Ex}[Exemples de relations d'ordre]
-Quelques relations d'ordre: 
-\begin{itemize}
-\item $(\R,\leqslant)$
-\item $({\cal P}(E),\sse)$
-\end{itemize}
-\end{Ex}
-
-\begin{Ex}[Relation de divisibilitÃ©]
-On note $a|b$ si et seulement si $b$ est un multiple de $a$ ($\exists k \in \Net, b=ka$).
-
-C'est une relation d'ordre dÃ©finie dans $\Net$. En effet, elle est
-
-\begin{description}
-\item[reflexive:] $a=1a$, donc $a|a$ est vrai,
-\item[antisymÃ©trique:] si $a|b$ et $b|a$, alors $\exists k,k' \in \Net, a=kb$ et $b=k'a$. Donc $a = kk' a$. Comme $a \neq 0$, $kk'=1$. Mais $k,k' \in \Net$, donc $k = k' = 1$, et $a = b$.
-\item[transitive:] si $a|b$ et $b|c$, alors alors $\exists k,k' \in \Net, a=kb$ et $b=k'c$. Donc $a = k k' c$: il existe $k'' \in \Net$ ($k''=k k'$) tel que $a = k''c$: $a|c$.
-\end{description}
-
-\end{Ex}
-
-
-La structure algÃ©brique constituÃ©e par l'ensemble $E$, muni de la
-relation d'ordre ${\mathcal{R}}$, (c'est-Ã -dire: le couple $(E,{\mathcal{R}})$) est
-celle d'\emph{ensemble ordonnÃ©}\index{ensemble!ordonnÃ©}.
+Dans tout ce chapitre, on se donne deux ensembles $E$ et $F$. 
 
+\section{Relations}
 
 
-\subsection{Ordre partiel, ordre total}
-
-Une relation d'ordre dÃ©finie dans un ensemble $E$ peut possÃ©der une propriÃ©tÃ© supplÃ©mentaire, celle selon laquelle tous les Ã©lÃ©ments de $E$ sont comparables entre eux.
-On formalise comme suit:
-
-
-\begin{Def}[Relation d'ordre totale]
-Une relation d'ordre qui possÃ¨de cette derniÃ¨re propriÃ©tÃ© est dite relation d'\emph{ordre total}\index{relation!d'ordre!totale}, et la structure algÃ©brique correspondante est celle d'\emph{ensemble totalement ordonnÃ©}\index{ensemble!totalement ordonnÃ©}.
-\end{Def}
-
-
-\begin{Rem}
-Cette propriÃ©tÃ© est aussi Ã©quivalente Ã : $$\qqs x\in E,\ \qqs y\in E,\ x\ {\mathcal{R}}\ y\ {\rm ou}\ y {\mathcal{R}} x$$
-\noindent ou encore: \og si $x$ n'est pas en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$ \fg{}.
-\end{Rem}
-
-
-\begin{Def}[Relation d'ordre partiel]
-Dans le cas contraire, il existe des Ã©lÃ©ments qui ne sont pas comparables: on parle alors d'\emph{ordre partiel} \index{relation!d'ordre!partiel}.
+\begin{Def}[Relation binaire]
+On dÃ©finit une \emph{relation binaire} \index{relation binaire} entre
+les deux ensembles $E$ et $F$ lorsqu'on construit une partie $G$
+de l'ensemble produit $E\times F$ 
+($G\sse E\times F$).
+Si $x$ dans $E$ et $y$ dans $F$ sont tels que $(x,y)\in G$, on dit 
+que $x$ est \emph{en Relation avec} $y$. On note cela $x{\mathcal{R}}y$.
 \end{Def}
 
-
-\begin{Ex}
-$\leqslant$ est une relation d'ordre totale dans $\R$.
-\end{Ex}
-
-\begin{Ex}
-$\subset$ dans $\mathcal{P}(E)$, et $|$ dans $\N$ sont des relations d'ordre partiels.
-\end{Ex}
-
-
-
 \begin{Exo}
-Parmi les relations suivantes sur l'ensemble $E$, repÃ©rez les relations d'ordre, les relations d'ordre total:
 \begin{enumerate}
-\item $E = \mathbb{Z}$, $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{N}: x = y^k$.
-\item $E = \mathbb{N}$, $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x<y$.
-\item $E = \mathbb{R}$, $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x^2 = y^2$.
-\item $E = \mathbb{R}^2$, $(x_1,x_2) \mathcal{R} (y_1,y_2) \Leftrightarrow (x_1 \leqslant y_2) \et (x_2 \leqslant y_1)$.
+\item DÃ©finir la relation \og a pour mention au Bac \fg{} comme une 
+  relation entre deux ensembles.
+\item DÃ©finir l'index d'un livre comme une relation entre deux ensembles.
+\item DÃ©finir le fait d'avoir un compte dans une banque comme une relation entre deux ensembles.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 
 
-\begin{Exo}
-Tenter de caractÃ©riser par son graphe une relation d'ordre (partiel, total).
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-DÃ©finir, par leurs graphes, les relations d'ordre dans E qui comportent respectivement le moins et le plus possible de points; que peut-on dire de ces relations? 
-\end{Exo}
-
-
-
-
-
-
-
-\subsection{\'ElÃ©ments maximaux}
-
-Soit $(E,{\mathcal{R}})$ un ensemble ordonnÃ© et $A$ une partie de $E$. Quelques dÃ©finitions\ldots 
-
-
-\begin{Def}[Majorant]
-On appelle \emph{majorant} \index{majorant} de $A$ tout Ã©lÃ©ment $M$ de $E$ tel que, quel que soit $a\in A$, $a{\mathcal{R}}M$.
-\end{Def}
-
-
-\begin{Def}[Partie majorÃ©e]
-La partie $A$ de $E$ est dite \emph{majorÃ©e}\index{partie majorÃ©e} s'il existe un majorant de $A$.
-\end{Def}
-
-\begin{Exo}
-Trouvez des exemples de majorants et de parties majorÃ©es sur 
-$\N$ et 
-$\R$.
-\end{Exo}
-
 
 \begin{Rem}
-Il existe des parties non majorÃ©es ($\mathcal{R}^+$ pour $\leqslant$ dans $\R$)
-\end{Rem}
-
-\begin{Rem}
-Il peut exister une infinitÃ© de majorants pour une partie majorÃ©e.
+Lorsque $E=F$, on parle de relation binaire dÃ©finie dans l'ensemble $E$.
+Son graphe est une partie de $E^2$.
+Dans ce cas, il est possible que $x \mathcal{R} y$ sans que $y \mathcal{R} x$.
+(Penser Ã  la relation \og est plus Ã¢gÃ© que \fg{}).
 \end{Rem}
 
 
-\begin{Def}[Minorant]
-On appelle \emph{minorant} \index{minorant} de $A$ tout Ã©lÃ©ment $m$ de $E$ tel que, quel que soit $a\in A$, $m{\mathcal{R}}a$.
-
-On parle aussi de partie minorÃ©e.
-\end{Def}
-
-\begin{Exo}
-Trouvez des exemples de minorants et de parties minorÃ©es sur 
-$\mathbb{Z}$ et 
-$\mathbb{Q}$.
-\end{Exo}
-
-
 
-\begin{Def}[ÃlÃ©ment maximum]
-On appelle \emph{Ã©lÃ©ment maximum} \index{maximum} de $A$ un Ã©lÃ©ment de $A$ qui est majorant de $A$.
-\end{Def}
- 
-\begin{Exo}
-Trouvez des exemples d'Ã©lÃ©ment maximum sur $\mathbb{N}$ et 
-$\R$.
-\end{Exo}
+% \begin{Exo}
+% Sur l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs, on dÃ©finit deux relations $\Sigma$ et $\Delta$:
+% \begin{itemize}
+%  \item $x \Sigma y$ quand la somme $x+y$ est paire
+% \item  $x \Delta y$ quand la diffÃ©rence $x-y$ est paire
+% \end{itemize}
+% Sont-elles Ã©gales ?
+% \end{Exo}
 
-\begin{Notation}
- $\max A$.
-\end{Notation}
 
-\begin{Rem}
- Si $A$ est non majorÃ©e, il est exclu qu'elle admette un Ã©lÃ©ment maximum.
- Cet Ã©lÃ©ment maximum n'existe pas toujours, mÃªme pour une partie majorÃ©e. Ainsi, l'intervalle rÃ©el ]2,3[ est majorÃ©, mais n'a pas d'Ã©lÃ©ment maximum.
-Cependant, s'il existe, cet Ã©lÃ©ment est unique.
-\end{Rem}
+\section{Relations d'ordre}
+On se place dans le cas oÃ¹ $E=F$.
+Soit ${\mathcal{R}}$ une relation binaire dÃ©finie
+dans un ensemble $E$.
 
+\subsection{RÃ©flexivitÃ©, antisymÃ©trie, transitivitÃ©}
 
 
-\begin{Def}[ÃlÃ©ment minimum]
- On appelle \emph{Ã©lÃ©ment minimum} \index{minimum} de $A$ un Ã©lÃ©ment de $A$ qui est minorant de $A$.
+\begin{Def}[RÃ©flexivitÃ©]
+ ${\mathcal{R}}$ est dite \emph{rÃ©flexive} \index{relation!rÃ©flexive} quand tout Ã©lÃ©ment de $E$ est en relation avec lui-mÃªme : $\qqs x\in E,\ x {\mathcal{R}} x$. 
+%  ou encore 
+% $\qqs x\in E,\ (x,x)\in G$.
 \end{Def}
- 
-
-\begin{Notation}
- $\min A$.
-\end{Notation}
-
-\begin{Exo}Etant donnÃ© 
-$B=\{1,2,3,4,5\}$ 
-ordonnÃ© selon la relation 
-$4 < 2$,
-$5<2$,
-$5<3$,
-$2<1$,
-$3<1$.
-Trouver $\min A$ et $\max A$. 
-\end{Exo}
-
 
 
-\begin{Def}[Borne supÃ©rieure]
-On appelle \emph{borne supÃ©rieure}\index{borne!supÃ©rieure} de $A$ l'Ã©lÃ©ment minimum, s'il existe, de l'ensemble des majorants de $A$.
+\begin{Def}[AntisymÃ©trie]
+ ${\mathcal{R}}$ est dite \emph{antisymÃ©trique} \index{relation!antisymÃ©trique} si, lorsque  $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas Ãªtre en relation avec $x$ (sauf si $x=y$): 
+ $\qqs(x,y)\in E^2,\ x {\mathcal{R}} y\ {\rm et}\ y {\mathcal{R}} x\Imp\ x=y$.
+% ou encore
+% $\qqs x\in E,\ \qqs y\in E,\ (x,y)\in G ~{\rm et}\ (y,x)\in G\ \Imp x=y$
+% %
 \end{Def}
- 
 
-\begin{Notation}
- $\sup A$.
-\end{Notation}
 
 
-\begin{Def}[Borne infÃ©rieure]
- On appelle \emph{borne infÃ©rieure}\index{borne!infÃ©rieure} de $A$ l'Ã©lÃ©ment maximum de l'ensemble des minorants de $A$.
+\begin{Def}[TransitivitÃ©]
+ ${\mathcal{R}}$ est dite \emph{transitive} \index{relation!transitive} lorsque, si $x$ est en relation avec $y$, et si $y$ l'est avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$:
+$\qqs x\in E,\ \qqs y\in E,\qqs z \in E,\ x {\mathcal{R}} y\ {\rm et}\ y {\mathcal{R}} z \Imp x {\mathcal{R}} z$. 
+% $$\qqs x\in E,\qqs y\in E,\ \qqs z\in E,\ (x,y)\in G\ {\rm et}\ (y,z)\in G
+% \Imp (x,z)\in G$$
 \end{Def}
- 
 
-\begin{Notation}
- $\inf A$.
-\end{Notation}
 
 
 
 \begin{Exo}
-Trouvez des exemples de bornes sup et de bornes inf sur $\R$.
+Les relations suivantes sont-elles rÃ©flexives, antisymÃ©triques ou transitives ?
+\begin{enumerate}
+\item $A = \mathbb{R}$ et $x \mathcal{R} y$ si $|x| = |y|$.
+\item $A = \mathbb{R}$ et $x \mathcal{R} y$ si $\sin^2 x + \cos^2 y = 1 $.
+\item $A = \mathbb{N}$ et $x \mathcal{R} y$ s'il existe $p$ et $q$ entiers tels que $y = p x^q$.
+% \item $A$ est l'ensemble des points du plan, et $x \mathcal{R} y$ si la distance de $x$ Ã  $y$ est infÃ©rieure Ã  52,7 km.
+\end{enumerate}
 \end{Exo}
 
-\begin{Exo}[Relations d'ordre en AlgÃ¨bre de Boole]
-Soit $\cal A$ une algÃ¨bre de Boole.
 
-On considÃ¨re la relation binaire, de symbole $<$, dÃ©finie par $$a<b \Ssi a+b=b.$$
+
+\begin{Exo}
+Sur $\N^*$ on dÃ©finit la relation
+$a \mathcal{R} b$ si et seulement si $a^b \leq b ^a$.
 \begin{enumerate}
-\item Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre.
-\item Montrer que $a<b\ \Ssi\ a\cdot b=a$.
-\item Montrer que, $\forall (a,b,c)\in {\cal A}^3,\ b\cdot c<a\cdot b+{\sur a}\cdot c$.
-\item On dÃ©finit la relation binaire $\sse$ par: $a\sse b$ si et seulement si 
-$a\cdot{\sur b}=0$; montrer que c'est une relation d'ordre. 
-\item Comparer $<$ et $\sse$.
-\item En utilisant l'une ou l'autre des dÃ©finitions ci-dessus pour la relation d'ordre, trouver,
-lorsqu'ils existent, les Ã©lÃ©ments $\sup \{a,b\}$ et $\inf \{a,b\}$. 
-Trouver $\max {\cal A}$ et
-$\min {\cal A}$.
+\item VÃ©rifier que cette relation est rÃ©flexive et transitive.
+\item Comparer 2 et 4. La relation est-elle antisymÃ©trique?
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 
 
-
-% \begin{Exo}[Une relation d'ordre]
-% On considÃ¨re l'ensemble des points d'un plan affine euclidien, et on y dÃ©finit une relation binaire (symbole $\leqslant $) par $P_1\leqslant P_2 \Ssi (x_1\leqslant x_2\  {\rm et}\ y_1\leqslant y_2)$.
-
+% \begin{Exo}
+% Soit $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ deux relations dans $A$.
 % \begin{enumerate}
-%  \item DÃ©finir, lorsqu'ils existent, les points $\sup\{P_1,P_2\}$ et $\inf\{P_1,P_2\}$.
-%  \item Existent-ils toujours, quels que soient les points $P_1$ et $P_2$ ?
+% \item Montrer que si $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont transitives alors $\mathcal{R} \cap \mathcal{S}$ est transitive.
+% \item Si $\mathcal{R}$ est antisymÃ©trique alors $\mathcal{R} \cap \mathcal{S}$ est antisymÃ©trique.
 % \end{enumerate}
 % \end{Exo}
 
 
-\begin{Th}
-Il est clair que:
-\begin{itemize}
-
-\item dans certains cas, les Ã©lÃ©ments dÃ©finis ici n'existent pas,
-
-\item que l'Ã©lÃ©ment maximum est aussi borne supÃ©rieure.
-\end{itemize}
-
-\noindent Et finalement, pour une partie $A$ d'un ensemble ordonnÃ© $E$:
-
-\begin{itemize}
- \item $A$ peut ne pas Ãªtre majorÃ©e.
-\item Si $A$ est majorÃ©e, elle peut ne pas admettre de borne supÃ©rieure.
-\item Si $Sup A$ existe ($A$ est majorÃ©e), $A$ peut ne pas admettre d'Ã©lÃ©ment maximum.
-\item Si $Max A$ existe, alors $Sup A = Max A$.
-\end{itemize}
-
-\noindent\ldots et on a les mÃªmes rÃ©sultats pour les parties minorÃ©es.
-\end{Th}
-
-
+\subsection{Relation d'ordre}
 
+\begin{Def}[Relation d'ordre]
+${\mathcal{R}}$ est une \emph{relation d'ordre}\index{relation!d'ordre} si elle est rÃ©flexive, antisymÃ©trique et transitive.
+\end{Def}
 
-\begin{Ex}
- Cas de $E=\{x\in\Q\mid x\leqslant 32\}$.
-\begin{itemize}
-\item ensemble majorÃ© de nombres rÃ©els
-\item 56, 32 sont majorants
-\item ensemble $E'$ des majorants: $E'=\{y\in\Q\mid y\geqslant 32\}$
-\item $\max E=32$
-\item $\min E'=32$, donc $\sup E=32$.
-\end{itemize}
-\end{Ex}
 
 \begin{Ex}
-Cas de $E=\{x\in\Q\mid x<32\}$.
-\begin{itemize}
-\item ensemble majorÃ© de nombres rÃ©els
-\item 56, 32 sont majorants
-\item ensemble $E'$ des majorants: $E'=\{y\in\Q\mid y\geqslant 32\}$
-\item $E$ n'a pas d'Ã©lÃ©ment maximum
-\item $\min E'=32$, donc $\sup E=32$.
-\end{itemize}
+Quelques relations d'ordre: $(\R,\leqslant)$, $({\cal P}(E),\sse)$
 \end{Ex}
 
-\begin{Exo}
-Etant donnÃ© $A=\{1,2,3,4,\ldots\}= \N \setminus\{1\}$ ordonnÃ© par 
-\og $x$ divise $y$ \fg{}.
-\begin{enumerate}
-\item Trouver tous les Ã©lÃ©ments minimaux;
-\item Trouver tous les Ã©lÃ©ments maximaux.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-\begin{Exo}
-Soit  $W=\{1,2,3,4,\ldots,8\}$ ordonnÃ© comme Ã  la figure~\ref{fig:ordre:10.6} et
-le sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$.
-\begin{enumerate}
-\item Trouver l'ensemble des majorants de $V$;
-\item Trouver l'ensemble des minorants de $V$;
-\item $\sup(V)$ et $\inf(V)$ existent-ils ?
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-\begin{figure}[h]
-\begin{center}
-\includegraphics[width=3cm]{ensembles/relExo.eps}
-\end{center}
-\caption{Relation d'ordre particuliÃ¨re\label{fig:ordre:10.6}}
-\end{figure}
-
-
-
-
-\subsection{Treillis}
-
-%\subsubsection{Cas des ensembles totalement ordonnÃ©s}
-
-Dans un ensemble totalement ordonnÃ©, si l'on choisit une paire d'Ã©lÃ©ments quelconques $(x,y)$ il est possible de dÃ©cider lequel est le plus petit et lequel est le plus grand.
-Ainsi, l'ensemble $\{x\vir y\}$ admet un Ã©lÃ©ment minimum et un Ã©lÃ©ment maximum;
-ces deux Ã©lÃ©ments sont aussi (respectivement) borne infÃ©rieure et supÃ©rieure, on peut Ã©crire $\inf\{x\vir y\}=x$ et $\sup\{x\vir y\}=y$.
-L'existence de ces deux Ã©lÃ©ments est assurÃ©e, ce qui n'est pas le cas dans un ensemble qui n'est que partiellement ordonnÃ©.
-
-
-
-%\subsubsection{
-Dans des ensembles partiellement ordonnÃ©s,
-il existe cependant des paires d'Ã©lÃ©ments $(x,y)$ qui ne sont pas comparables.
-Pour une telle paire, les Ã©lÃ©ments $\min\{x\vir y\}$ et $\max\{x\vir y\}$ ne sont pas dÃ©finis.
-NÃ©anmoins, il se peut que les Ã©lÃ©ments $\inf\{x\vir y\}$ et
-$\sup\{x\vir y\}$ soient eux dÃ©finis.
-
-
-
-Si cette propriÃ©tÃ© est vÃ©rifiÃ©e pour tous les couples d'Ã©lÃ©ments $(x,y)$, alors l'ensemble est un treillis:
-
-
-\begin{Def}[Treillis]
-Un ensemble ordonnÃ© est un \emph{treillis} \index{treillis} lorsque toute partie finie admet une borne sup et une borne inf.
-\end{Def}
-
-\begin{Rem}
- Il suffit que la propriÃ©tÃ© soit vraie pour deux Ã©lÃ©ments distincts (\emph{i.e.} une partie Ã  deux Ã©lÃ©ments) pour qu'elle soit vrai pour toutes les parties finies. (On l'admettra).
-\end{Rem}
-
-% \begin{Exo}
-% DÃ©montrez l'assertion de la remarque prÃ©cÃ©dente.
-% \end{Exo}
+\begin{Ex}[Relation de divisibilitÃ©]
+On note $a|b$ si et seulement si $b$ est un multiple de $a$ ($\exists k \in \Net, b=ka$).
+C'est une relation d'ordre dÃ©finie dans $\Net$. En effet, elle est
 
+\begin{description}
+\item[rÃ©flexive:] $a=1a$, donc $a|a$ est vrai,
+\item[antisymÃ©trique:] si $a|b$ et $b|a$, alors $\exists k,k' \in \Net, a=kb$ et $b=k'a$. Donc $a = kk' a$. Comme $a \neq 0$, $kk'=1$. Mais $k,k' \in \Net$, donc $k = k' = 1$, et $a = b$.
+\item[transitive:] si $a|b$ et $b|c$, alors alors $\exists k,k' \in \Net, a=kb$ et $b=k'c$. Donc $a = k k' c$: il existe $k'' \in \Net$ ($k''=k k'$) tel que $a = k''c$: $a|c$.
+\end{description}
 
-\begin{Def}[Treillis complet]
- Si la propriÃ©tÃ© est vrai pour toute partie, alors le treillis est dit \emph{complet}\index{treillis!complet}.
-\end{Def}
+\end{Ex}
 
 
-\begin{Ex}
-Un ensemble totalement ordonnÃ© est toujours un treillis. 
-\end{Ex}
+% La structure algÃ©brique constituÃ©e par l'ensemble $E$, muni de la
+% relation d'ordre ${\mathcal{R}}$, 
+% (c'est-Ã -dire: le couple $(E,{\mathcal{R}})$) est
+% celle d'\emph{ensemble ordonnÃ©}\index{ensemble!ordonnÃ©}.
 
 
-\begin{Rem}
- Cette notion n'offre un intÃ©rÃªt que dans le cas d'un ensemble partiellement ordonnÃ©, car l'existence d'une borne infÃ©rieure et d'une borne supÃ©rieure pour tout couple (et donc pour toute partie finie) permet de les comparer aux autres par l'intermÃ©diaire de ces bornes, mÃªme si on ne peut pas les comparer entre eux.
 
 
-En effet, on a toujours $\inf\{x\vir y\}\leqslant x\leqslant \sup\{x\vir
-y\}$ et $\inf\{x\vir y\}\leqslant y\leqslant \sup\{x\vir y\}$ (on reprend les exemples vus plus haut).
-\end{Rem}
+\begin{Exo}
+On dÃ©finit une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $\R\times \R^+$ par 
+$(x,y) \mathcal{R} (x',y')$ ssi 
+$x^2+y^2 < x'^2+y'^2$ ou 
+($x^2+y^2 = x'^2+y'^2$ et  $x \leq  x'$).
+Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre.
+\end{Exo}
 
 
 
@@ -923,14 +158,15 @@ On considÃ¨re\ldots
 \begin{enumerate}
 \item $E=\{1\vir 2\vir 3\vir 4\vir 5\vir 6\vir 7\vir 8\vir 9\}$ et on
 dÃ©finit la relation binaire $\mathcal{R}$ dans $E$ par son graphe
-$G=\{ $ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6), (2,8), (2,9), (3,3), (4,3), (4,4), (4,6), (4,8), (4,9), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), 
-(5,9), (6,6), (6,8), (6,9), (7,7), (7,8), (7,9), (8,8), (9,9) $\}$
-(c'est-Ã -dire: $1{\mathcal{R}}1$, etc\ldots). Montrer que cette relation est une relation d'ordre. $E$ est-il totalement ordonnÃ© par cette relation ?
-Est-il un treillis ?
+$G=\{$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6), (2,8), (2,9), (3,3), (4,3), (4,4), (4,6), (4,8), (4,9), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), 
+(5,9), (6,6), (6,8), (6,9), (7,7), (7,8), (7,9), (8,8), (9,9)$\}$
+(c'est-Ã -dire: $1{\mathcal{R}}1$, etc\ldots). 
+Justifier que cette relation est une relation d'ordre.
 
 \item MÃªmes questions pour $E'=\{1\vir 2\vir 3\vir 4\vir 5\vir 6\}$ et
-$G'=\{$ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), 
-(2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,6), (4,4), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)$\}$.
+$G'=\{$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), 
+(2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,6), (4,4), (4,6), (5,5), (5,6), 
+(6,6)$\}$.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
@@ -947,26 +183,16 @@ On se place encore dans ce paragraphe dans le cas oÃ¹ $E=F$.
 Soit ${\mathcal{R}}$ une relation binaire dÃ©finie dans un ensemble (non vide) $E$, de graphe $G$.
 
 \begin{Def}[Relation symÃ©trique]
-${\mathcal{R}}$ est dite \emph{symÃ©trique} \index{relation!symÃ©trique} si, dÃ¨s que $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$
-$$\qqs x\in E,\ \qqs y\in E, (x,y)\in G \Imp (y,x)\in G$$
+${\mathcal{R}}$ est dite \emph{symÃ©trique} \index{relation!symÃ©trique} si, dÃ¨s que $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$:
+$\qqs x\in E, \qqs y\in E,\ x {\mathcal{R}} y \Imp y {\mathcal{R}} x$.
 \end{Def}
 
 
 
-\begin{Rem}
- Ou encore: $\qqs x\in E, \qqs y\in E,\ x {\mathcal{R}} y \Imp y {\mathcal{R}} x$.
-\end{Rem}
-
-
-\begin{Exo}
- Est-ce qu'une relation sur un ensemble A dont le graphe est constituÃ© uniquement de couples (x,x) est symÃ©trique ? transitive ?
-\end{Exo}
-
-
-
 
 \begin{Def}[Relation d'Ã©quivalence]
-${\mathcal{R}}$ est une relation d'Ã©quivalence lorsqu'elle est rÃ©flexive, symÃ©trique et transitive.
+${\mathcal{R}}$ est une relation d'Ã©quivalence lorsqu'elle est 
+rÃ©flexive, symÃ©trique et transitive.
 \end{Def}
 
 
@@ -979,89 +205,97 @@ ${\mathcal{R}}$ est une relation d'Ã©quivalence lorsqu'elle est rÃ©flexive, sym
 \begin{Ex}[Relation de congruence modulo $n$ dans $\Z$]
 Par dÃ©finition: $$x\equiv y\ [n]
 \hbox{(lire: \og $x$ est congru Ã  $y$ modulo $n$\fg{} )} \Ssi
-\exi k\in\Z,\ x-y=k\cdot n$$.
-\begin{itemize}
-\item rÃ©flexivitÃ©: $x\equiv x [n]$: en effet, $x-x=0\cdot n$, et
+\exi k\in\Z,\ x-y=k\cdot n.$$
+\begin{description}
+\item[rÃ©flexive:] $x\equiv x [n]$: en effet, $x-x=0\cdot n$, et
 $0\in\Z$.
-\item symÃ©trie: si $x\equiv y\ [n]$, $\exists k\in\Z$, $x-y=k\cdot n$;
+\item[symÃ©trique:] si $x\equiv y\ [n]$, $\exists k\in\Z$, $x-y=k\cdot n$;
 alors $y-x=(-k)\cdot n$; or, si $k\in\Z$, $(-k)\in\Z$, donc $y\equiv x\
 [n]$.
-\item transitivitÃ©: si $x\equiv y\ [n]$ et $y\equiv z\ [n]$, $\exi
+\item[transitive:] si $x\equiv y\ [n]$ et $y\equiv z\ [n]$, $\exi
 k\in\Z$, $x-y=k\cdot n$ et $\exi l\in\Z$, $y-z=l\cdot n$. En
-aditionnant membre Ã  membre ces deux Ã©galitÃ©s, on obtient
+additionnant membre Ã  membre ces deux Ã©galitÃ©s, on obtient
 $x-z=(k+l)\cdot n$, or $(k,l)\in\Z^2$, donc $k+l \in\Z$, donc
 $x\equiv z\ [n]$.
-\end{itemize}
-C'est bien une relation d'Ã©quivalence. 
+\end{description}
 \end{Ex}
 
 
 
 \begin{Exo}
-Sur $\mathbb{Z}$, on Ã©crit \og $x \mathcal{R} y$ quand $x+y$ est pair. \fg{}
-
-Montrez que $\mathcal{R}$ est une relation d'Ã©quivalence.
-\end{Exo}
-
-\begin{Exo}
-Sur $\mathbb{R}$, on dÃ©finit la relation \og $x \mathcal{R} y$ quand 
-$\cos(2x)=\cos(2y)$\fg{}.
-
-Montrez que $\mathcal{R}$ est une relation d'Ã©quivalence.
+Montrer que les relations suivantes sont des relations d'Ã©quivalence:
+\begin{itemize}
+\item Sur $\mathbb{Z}$, on Ã©crit  $x \mathcal{R} y$ quand $x+y$ est pair.
+\item Sur $\mathbb{R}$, on Ã©crit $x \mathcal{R} y$ quand 
+$\cos(2x)=\cos(2y)$.
+\end{itemize}
 \end{Exo}
 
 
 
 
-
-
 \subsection{Classes d'Ã©quivalence}
 
 
 \begin{Def}[Classe d'Ã©quivalence]
 Soit $x$ un Ã©lÃ©ment de $E$, et $\mathcal{R}$ une relation d'Ã©quivalence sur $E$.
-On appelle \emph{classe d'Ã©quivalence} \index{classe d'Ã©quivalence} de cet Ã©lÃ©ment l'ensemble des Ã©lÃ©ments de $E$ qui sont en relation avec $x$ (on dit encore: \og qui sont Ã©quivalents Ã  $x$ \fg{}).
+On appelle \emph{classe d'Ã©quivalence} \index{classe d'Ã©quivalence} 
+de cet Ã©lÃ©ment l'ensemble des Ã©lÃ©ments de $E$ qui
+ sont en relation avec $x$ (on dit encore: \og qui sont Ã©quivalents Ã  $x$ \fg{}).
 \end{Def}
 
 
 
 
 \begin{Notation}
-On note $\dot x$ la classe de l'Ã©lÃ©ment $x$: $\dot x=\{y\in E \mid y {\mathcal{R}} x\}$
+On note $\dot x$ la classe de l'Ã©lÃ©ment
+$x$: $\dot x=\{y\in E \mid y {\mathcal{R}} x\}$.
 \end{Notation}
 
-
 \begin{Exo}
-Trouvez les classes d'Ã©quivalences des deux exercices prÃ©cÃ©dents.
+Dans $\R$, on considÃ¨re la relation binaire $\mathcal{R}$ dÃ©finie par:
+$x\mathcal{R}y$ ssi   $x^2 - y^2 = x- y$.
+\begin{enumerate}
+\item VÃ©rifier que $\mathcal{R}$ est une relation d'Ã©quivalence.
+\item Pour tout rÃ©el $x$, dÃ©terminer $\dot x$.
+\end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 \begin{Exo}
-On dÃ©finit une relation sur l'ensemble des mots de la langue franÃ§aise de la faÃ§on suivante: \og le mot $M$ est liÃ© au mot $N$ si $N$ est une anagramme\index{anagramme}\footnote{Mot obtenu par transposition des lettres d'un autre mot. Une anagramme intÃ©ressante: aimer - Marie. Le pseudonyme de Alcofribas Nasier est, Ã  peu prÃ¨s, l'anagramme de FranÃ§ois Rabelais.} de $M$.\fg{}
-Quelle est la classe d'Ã©quivalence du mot chien?
+Dans $\R$, on considÃ¨re la relation binaire $\mathcal{R}$ dÃ©finie par:
+$x\mathcal{R}y$ ssi   $x.e^{y}= y.e^{x}$.
+\begin{enumerate}
+\item VÃ©rifier que $\mathcal{R}$ est une relation d'Ã©quivalence.
+\item Pour tout rÃ©el $x$, dÃ©terminer le nombre d'Ã©lÃ©ments de $\dot x$.
+\end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 
 
+% \begin{Exo}
+% On dÃ©finit une relation sur l'ensemble des mots de la langue franÃ§aise de la faÃ§on suivante: \og le mot $M$ est liÃ© au mot $N$ si $N$ est une anagramme\index{anagramme}\footnote{Mot obtenu par transposition des lettres d'un autre mot. Une anagramme intÃ©ressante: aimer - Marie. Le pseudonyme de Alcofribas Nasier est, Ã  peu prÃ¨s, l'anagramme de FranÃ§ois Rabelais.} de $M$.\fg{}
+% Quelle est la classe d'Ã©quivalence du mot chien?
+% \end{Exo}
 
 
-\begin{Th}
-Une classe d'Ã©quivalence n'est jamais vide. 
-\end{Th}
 
-\begin{Pre}
-En effet, la classe de $x$ contient toujours au moins l'Ã©lÃ©ment $x$ lui-mÃªme, par rÃ©flexivitÃ©.
-\end{Pre}
+
+
+% \begin{Th}
+% Une classe d'Ã©quivalence n'est jamais vide. 
+% \end{Th}
+
+% \begin{Pre}
+% En effet, la classe de $x$ contient toujours au moins l'Ã©lÃ©ment $x$ lui-mÃªme, par rÃ©flexivitÃ©.
+% \end{Pre}
 
 
 
 \begin{Th}
 L'intersection de deux classes d'Ã©quivalence distinctes est vide.
+On dit aussi que les classes sont deux Ã  deux disjointes.
 \end{Th}
 
-\begin{Rem}
- On dit aussi que les classes sont deux Ã  deux disjointes.
-\end{Rem}
-
 
 \begin{Pre}
 On considÃ¨re deux classes, $\dot x$ et $\dot y$, soit $z\in\dot x\inter\dot y$; $\qqs t\in\dot x$, on a $(t,x)\in G$; mais
@@ -1075,7 +309,8 @@ confondues; donc deux classes distinctes sont disjointes).
 \end{Pre}
 
 \begin{Def}[Partition d'un ensemble]
-Une \emph{partition}\index{partition} d'un ensemble $E$ est une famille de sous-ensembles de $E$, 2 Ã  2 disjoints, et dont la rÃ©union est Ã©gale Ã  E$.$
+Une \emph{partition}\index{partition} d'un ensemble $E$ est une famille
+de sous-ensembles de $E$, 2 Ã  2 disjoints, et dont la rÃ©union est Ã©gale Ã  $E$.
 \end{Def}
 
 
@@ -1087,7 +322,6 @@ Les classes d'Ã©quivalence rÃ©alisent une partition de $E$.
 \begin{Pre}
 Comme les classes sont des parties de $E$, leur rÃ©union est une partie de
 $E$.
-
 RÃ©ciproquement, tout Ã©lÃ©ment de $E$ appartient Ã  une classe (\og tout Ã©lÃ©ment est classÃ©\fg{}). Donc $E$ est une partie de la rÃ©union des classes; et $E$ est Ã©gal Ã  la rÃ©union des classes.
 \end{Pre}
 
@@ -1109,103 +343,63 @@ $\dot 3=\{\ldots,-9,-5,-1,3,7,11,15,\ldots\}$
 \begin{Exo}
 Soit $\mathcal{R}$ la relation d'Ã©quivalence suivante dans l'ensemble 
 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$:
-$$
-\mathcal{R} = \{(1,1), (1,5), (2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (4,4), (5,1), (5,5), (6,2), (6,3), (6,6)\}
-$$
+$
+\mathcal{R} = \{(1,1), (1,5), (2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (4,4), (5,1), (5,5), (6,2), (6,3), (6,6)\}.
+$
 Trouver la partition de $A$ induite par $\mathcal{R}$, c'est-Ã -dire trouver les classes d'Ã©quivalence de $\mathcal{R}$.
 \end{Exo}
 
 
 
 
-\begin{Exo}[Une relation d'Ã©quivalence]
+\begin{Exo}
 On considÃ¨re l'ensemble des points du plan rapportÃ© Ã 
 deux axes de coordonnÃ©es rectangulaires et deux points $P_1$ et
 $P_2$ de coordonnÃ©es respectives $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$; on
 dÃ©finit dans cet ensemble la relation binaire ${\mathcal{R}}$ par:
-$$P_1 {\mathcal{R}} P_2 \Ssi x_1y_1=x_2y_2$$
-\begin{itemize}
-\item S'agit-il d'une relation d'Ã©quivalence? Si oui, Ã©tudier
-les classes d'Ã©quivalence.
-\item MÃªmes questions pour la relation ${\mathcal{R}}'$, dÃ©finie par
-$$P_1 {\mathcal{R}}' P_2 \Ssi x_1y_1=x_2y_2\ {\rm et}\ x_1x_2\geqslant 0$$
-\end{itemize}
-\end{Exo}
-
-
-
-
-
-\begin{Exo}
-Tenter de caractÃ©riser par son graphe une relation d'Ã©quivalence.
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-DÃ©finir, par leurs graphes, les relations d'Ã©quivalence dans $E$ qui comportent respectivement le moins et le plus possible de points.
-Que peut-on dire de ces relations? 
+\begin{enumerate}
+\item $P_1 {\mathcal{R}} P_2 \Ssi x_1y_1=x_2y_2$.
+  Est-ce une relation d'Ã©quivalence? Si oui, Ã©tudier
+ses classes.
+\item MÃªmes questions pour ${\mathcal{R}}$, dÃ©finie par
+$P_1 {\mathcal{R}} P_2 \Ssi x_1y_1=x_2y_2\ {\rm et}\ x_1x_2\geqslant 0$
+\end{enumerate}
 \end{Exo}
 
 
-\subsection{Ensemble-quotient}
-
-\begin{Def}[Ensemble-quotient]
-Il s'agit de l'ensemble des classes d'Ã©quivalence de tous les Ã©lÃ©ments de $E$.
-\end{Def}
-
-
-\begin{Notation}
-$E/{\mathcal{R}}$.
-\end{Notation}
-
-
-Pour parler aisÃ©ment d'une classe, on choisit un de ses Ã©lÃ©ments, et cet Ã©lÃ©ment, surmontÃ© d'un point, sert Ã  reprÃ©senter la classe en question.
-Une fois que ce choix est fait, il est dÃ©finitif, et il n'est plus question d'Ã©voquer les autres Ã©lÃ©ments de cette classe, il faut
-se tenir, sous peine d'incohÃ©rence, au choix qui a Ã©tÃ© fait.
-
-
-
-\begin{Ex}[Congruence modulo 4]
-On choisit pour reprÃ©sentants les entiers $<4$, donc 0, 1, 2 et 3.
-L'ensemble-quotient est $\Z/4\Z=\{\dot 0,\dot 1,\dot 2,\dot 3\}$.
-\end{Ex}
-
-
-
-\section{CompatibilitÃ© entre une opÃ©ration et une relation binaire}
-
-\begin{Def}
-La relation binaire (dans $E$) de symbole ${\mathcal{R}}$ est dite
-\emph{compatible avec l'opÃ©ration} (dÃ©finie dans $E$) de symbole $\circ$ lorsque, quels que soient les Ã©lÃ©ments $x$, $x'$, $y$ et $y'$ de $E$: si $x{\mathcal{R}}x'$ et si $y{\mathcal{R}}y'$, alors $(x\circ y){\mathcal{R}}(x'\circ y')$
-\end{Def}
 
 
-Autrement dit, l'opÃ©ration conserve la relation.
 
+% \begin{Exo}
+% Tenter de caractÃ©riser par son graphe une relation d'Ã©quivalence.
+% \end{Exo}
 
-\begin{Ex}
-On considÃ¨re la relation classique d'inÃ©galitÃ© dans $\R$: si on a $x\leqslant x'$ et $y\leqslant y'$, on peut Ã©crire $x+x'\leqslant y+y'$.
-
-Ce rÃ©sultat est bien connu: on a le droit \og d'additionner des inÃ©galitÃ©s membre Ã  membre\fg{}. En d'autres termes, l'addition des rÃ©els est compatible avec l'inÃ©galitÃ©.
 
 
-Mais, de $-2\leqslant 1$ et de $-3\leqslant -1$, on ne peut pas dÃ©duire que $6\leqslant -1$\ldots  On n'a pas le droit de \og multiplier des inÃ©galitÃ©s membre Ã  membre\fg{}.
 
-La multiplication des rÃ©els, quant a elle, n'est donc pas compatible avec l'inÃ©galitÃ©. 
-\end{Ex}
+% \subsection{Ensemble-quotient}
 
+% \begin{Def}[Ensemble-quotient]
+% Il s'agit de l'ensemble des classes d'Ã©quivalence de tous les Ã©lÃ©ments de $E$.
+% \end{Def}
 
 
-\begin{Exo}[Congruences modulo $n$]
-Montrer que la relation de congruence modulo $n$ dans $\Z$ dÃ©finie en cours est compatible avec addition et multiplication.
+% \begin{Notation}
+% $E/{\mathcal{R}}$.
+% \end{Notation}
 
-Ãtablir les tables des opÃ©rations que l'on peut alors dÃ©finir dans les ensembles $\Z/5\Z$, $\Z/6\Z$.
-\end{Exo}
 
-Lorsqu'une relation d'Ã©quivalence est compatible avec une opÃ©ration, on peut dÃ©finir dans {l'ensemble-quotient} une opÃ©ration, dite \emph{induite} de celle qui existe dans l'ensemble d'origine.
+% Pour parler aisÃ©ment d'une classe, on choisit un de ses Ã©lÃ©ments, 
+% et cet Ã©lÃ©ment, surmontÃ© d'un point, sert Ã  reprÃ©senter la classe en question.
+% Une fois que ce choix est fait, il est dÃ©finitif, et il n'est plus question d'Ã©voquer les autres Ã©lÃ©ments de cette classe, il faut
+% se tenir, sous peine d'incohÃ©rence, au choix qui a Ã©tÃ© fait.
 
 
 
+% \begin{Ex}[Congruence modulo 4]
+% On choisit pour reprÃ©sentants les entiers $<4$, donc 0, 1, 2 et 3.
+% L'ensemble-quotient est $\Z/4\Z=\{\dot 0,\dot 1,\dot 2,\dot 3\}$.
+% \end{Ex}
 
 
 
