From: Jean-François Couchot <couchot@couchot.iut-bm.univ-fcomte.fr>
Date: Tue, 30 Apr 2013 15:48:51 +0000 (+0200)
Subject: quelques modifs en arith
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quelques modifs en arith
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5c1c3e8a2b91380e75280c27e6b6169f9773a594
diff --git a/arithmetique/entiersNaturels.tex b/arithmetique/entiersNaturels.tex
index 945a103..4f5d729 100755
--- a/arithmetique/entiersNaturels.tex
+++ b/arithmetique/entiersNaturels.tex
@@ -64,10 +64,6 @@ On souhaite calculer $S_2(n) = 1^2+2^2+...+n^2$.
 % \end{Exo}
 
 
-\begin{Exo}
-Montrer que pour tout entier naturel $n$, 3 divise $4^n -1$.
-\end{Exo}
-
 \begin{Exo}
 Soit la suite $(U_n)_{n\in \N}$ définie par $U_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2} $.
 \begin{enumerate}
@@ -78,15 +74,21 @@ des multiples de $7$.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
-% \begin{Exo}
-% Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tout $ n \in \N$,
-% $$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
-% Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
-% \end{Exo}
 
-% \begin{Exo}
-% Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
-% \end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Montrer que pour tout entier naturel $n$, 3 divise $4^n -1$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tout $ n \in \N$,
+$$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
+Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
+\end{Exo}
 
 
 
@@ -115,22 +117,6 @@ Un \emph{nombre premier}\index{nombre!premier} est un nombre entier strictement
 Ainsi, le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair) est 2.
 \end{Exo}
 
-\begin{Th}
-Il existe une infinité de nombres premiers.
-\end{Th}
-
-\begin{Exo}[Nombres premiers en quantité infinie]
-Supposons comme hypothèse que l'ensemble des nombres premiers $\{ p_1, p_2, p_3 \ldots p_{n-1}, p_n \}$ est de cardinalité finie $n$.
-On construit le nombre $N =  p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que d'après l'hypothèse, il existe un nombre premier $q$ tel que 
-  $N$ est un multiple de $q$.
-\item Montrer cependant que $N$ n'est pas un multiple de $p_1$. Idem pour $p_2$, \ldots $p_n$.
-\item En déduire que $q$ est un nombre premier différent de $p_1$, de $p_2$, \ldots de $p_n$. 
-\item En déduire une contradiction dans l'hypothèse.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
 
 
 
@@ -142,6 +128,8 @@ On construit le nombre $N =  p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
 
 
 
+
+
 %\subsection{Décomposition en facteurs premiers}
 
 \begin{Def}[Décomposition en facteurs premiers]
@@ -167,9 +155,28 @@ La décomposition d'un entier en ses facteurs premiers est unique.
  \'Ecrivez les nombres 3850 et 1911 sous forme de produits de nombres premiers.
 \end{Exo}
 
+
+
+
 %\noindent Réponses : $2*5^2*7*11$ et $3*7^2*13$.
 
 
+\begin{Th}
+Il existe une infinité de nombres premiers.
+\end{Th}
+
+\begin{Exo}[Nombres premiers en quantité infinie]
+Supposons comme hypothèse que l'ensemble des nombres premiers $\{ p_1, p_2, p_3 \ldots p_{n-1}, p_n \}$ est de cardinalité finie $n$.
+On construit le nombre $N =  p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que d'après l'hypothèse, il existe un nombre premier $q$ tel que 
+  $N$ est un multiple de $q$.
+\item Montrer cependant que $N$ n'est pas un multiple de $p_1$. Idem pour $p_2$, \ldots $p_n$.
+\item En déduire que $q$ est un nombre premier différent de $p_1$, de $p_2$, \ldots de $p_n$. 
+\item En déduire une contradiction dans l'hypothèse.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
 
 
 %\subsection{Relation de divisibilité}
@@ -220,9 +227,15 @@ Deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$ sont dits \emph{premiers en
 Pour $p \in \N$, on appelle nombres de Fermat les nombres de la forme 
 $F_p = 2^{2^p}+1$.
 \begin{enumerate}
+\item Question préliminaire: montrer que les deux égalités suivantes sont établies:
+\begin{enumerate}
+\item $x^n- 1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+ x + 1)$  pour tout entier naturel $n$ strictement positif.
+\item $x^n+ 1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\ldots \pm x \mp 1)$  pour tout entier naturel $n$ impair
+\end{enumerate}
+
 \item Montrer que, 
   pour que $2^n+1$ soit premier, il est nécessaire 
-  que $n$ soit une puissance de 2.
+  que $n$ soit une puissance de 2. 
 
 \item Pour montrer que ce n'est pas suffisant, vérifier que $F_5$ est 
   divisible par 641.
@@ -231,7 +244,7 @@ $F_p = 2^{2^p}+1$.
 
 \item En déduire que $F_p$ et $F_{p+k}$ sont premiers entre eux.
 
-%\item En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.
+
 \end{enumerate}
 \end{Exo}