From: couchot <jf.couchot@gmail.com>
Date: Thu, 3 Oct 2013 19:33:49 +0000 (+0200)
Subject: synthese ensemble13
X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/cours-maths-dis.git/commitdiff_plain/fbbd9218eb932e26e0400a94d73669716780a54a

synthese ensemble13
---

diff --git a/ensembles/IntroAuxEnsembles13.tex b/ensembles/IntroAuxEnsembles13.tex
new file mode 100755
index 0000000..6b6bc06
--- /dev/null
+++ b/ensembles/IntroAuxEnsembles13.tex
@@ -0,0 +1,318 @@
+\section{Rappels de théorie des ensembles}
+
+\subsection{Notion première d'ensemble}
+
+\begin{description}
+ \item[Ensemble]\index{ensemble} Un ensemble est une collection
+   d'objets distincts réunis en vertu d'une propriété commune.
+
+On peut définir un ensemble de deux manières :
+\begin{itemize}
+ \item \emph{en extension} : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent,
+ \item \emph{en compréhension} : en donnant la propriété que doivent posséder les éléments de l'ensemble.
+\end{itemize}
+\end{description}
+
+\begin{Notation}
+On note $\N_n$ l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à $n$.
+\end{Notation}
+
+\begin{Exo}
+\begin{enumerate}
+\item Définir les ensembles suivants en compréhension:
+\begin{enumerate}
+\item A = \{1,2,4,8,16,32,64\};
+\item B = \{1,2,7,14\}.
+\end{enumerate}
+\item Définir les ensembles suivants en extension:
+\begin{enumerate}
+\item $A = \{ x \in \R | x(x+5) = 14 \}$;
+\item $C = \{ x \in \N_{10}^* | x^4 -1 \textrm{ est divisible par 5 } \}$.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+\subsection{Règles de fonctionnement}
+
+
+ \paragraph{Relation d'appartenance.} \index{appartenance} On admet être capable de décider si un objet est ou non élément d'un ensemble. Le fait que l'élément $x$ appartienne à l'ensemble $X$ se note : $x \in X$.
+
+\paragraph{Objets distincts.} On admet aussi être capable de distinguer entre eux les éléments d'un ensemble. En particulier, un ensemble ne peut pas contenir deux fois le même objet.
+
+\paragraph{Ensemble vide.}\index{ensemble!vide} Il existe un ensemble ne contenant aucun élément, appelé ensemble vide: $\varnothing$.
+L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe. 
+
+
+\paragraph{Dernière règle de fonctionnement des ensembles.} \textcolor{red}{Un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même}.
+
+
+
+\subsection{Sous-ensembles, ensemble des parties}
+
+Les sous-ensembles sont définis par la relation d'inclusion\index{inclusion}...
+
+\begin{Def}
+$A$ est un sous-ensemble de $B$ ($A \subset B$)\fg{} si et seulement si tout élément de $A$ appartient à $B$. On dit aussi que $A$ est une partie de $B$.
+\end{Def}
+
+
+\begin{Th}
+L'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble.
+\end{Th}
+
+\begin{Proof}
+Raisonnons par l'absurde: 
+si l'ensemble vide n'est pas inclus dans $A$, 
+alors il existe au moins un élément de l'ensemble vide qui n'appartient pas à $A$.
+Ceci est absurde puisque l'ensemble vide est vide.
+\end{Proof}
+
+
+\begin{Th}
+Tout ensemble est inclus dans lui-même.
+\end{Th}
+
+
+\begin{Def}
+Soit $A$ un ensemble. L'ensemble des parties de $A$, noté $\mathcal{P}(A)$, est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $A$.
+\end{Def}
+
+
+
+\begin{Th}
+Pour tout ensemble $A$, on a $\varnothing, A \in \mathcal{P}(A)$.
+\end{Th}
+
+
+\begin{Ex}
+ Si $A = \{ 1, 2, 3\}$, alors  $\mathcal{P}(A) = \{ \varnothing , \{1 \},\{2 \}, \{3 \},  \{1,2 \}, \{1,3 \}, \{2,3 \}, \{1,2,3 \} \}$.
+\end{Ex}
+
+
+\begin{Exo}
+Justifier le fait que le nombre d'éléments de $\mathcal{P}(A)$ est égal à $2^n$, où $n$ représente le nombre d'éléments de $A$.
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Exo}
+On considère A = \{1,2\}. Dire quelles assertions sont exactes :
+\begin{enumerate}
+\item $1 \in A$,
+\item $1 \subset A$,
+\item $\{1\} \in A$,
+\item $\{1\} \subset A$,
+\item $\varnothing \in A$,
+\item $\varnothing \subset A$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Reprendre l'exercice précédent, avec $A = \{\{1\}, \{2\}\}$.
+\end{Exo}
+
+
+
+
+\begin{Exo}
+Est-ce que $\{a\} \in \{a,b,c\}$ ? Former la liste des parties de $\{a,b,c\}$.
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Exo}
+ Montrer que $\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)$ quand $A \subset B$.
+\end{Exo}
+
+
+\section{Opérations sur les ensembles}
+
+\subsection{\'Egalite de deux ensembles}
+
+\begin{Def}
+Deux ensembles sont \emph{égaux} si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
+\end{Def}
+
+
+
+$A \subset B$ et $B \subset A \Longleftrightarrow A = B$. 
+
+\begin{Exo}
+Dans chacun des cas suivants, déterminer si les ensembles sont égaux :
+\begin{enumerate}
+ \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \geqslant |x| \}$;
+\item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \leqslant |x| \}$;
+\item $A = \Z$ et $B = \{ x \in \Z | x(x-1) \textrm{ pair } \}$;
+on pourra réfléchir sur la parité de $x(x-1)$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\subsection{Réunion, intersection}
+
+\begin{Def}[Reunion]\index{réunion} 
+La \emph{réunion} des deux ensembles $A$ et  $B$, notée $A \cup B$ est
+l'ensemble des éléments qui sont éléments de $A$ ou de $B$.
+\end{Def}
+\begin{Ex}
+ $A = \{1,2,3\}, B = \{1,4,5\}, \text{ alors } A \cup B = \{ 1,2,3,4,5\}$
+\end{Ex}
+
+
+\begin{Def}[Intersection]\index{réunion} 
+L'\emph{intersection} des deux ensembles $A$ et  $B$, notée $A \cap B$, 
+est l'ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$.
+\end{Def}
+
+
+
+
+
+
+
+\begin{Th}[Propriétés de la réunion et de l'intersection]
+La réunion de deux ensembles possède certaines propriétés :
+\begin{itemize}
+ \item idempotence : $A \cup A = A$ et $A \cap A = A$;
+ \item commutativité : $A \cup B = B \cup A $ et $A \cap B = B \cap A$;
+ \item associativité : $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ et $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$;
+ \item éléments neutres : $A \cup \varnothing = A$ et $A \cap \Omega = A$.
+\end{itemize}
+\end{Th}
+
+\begin{Exo}
+\item Construire la réunion puis l'intersection des ensembles $A = \{x \in \R | 0 \leqslant x \leqslant 3 \}$, $B = \{ x \in \R | -2 < x \leqslant 1 \}$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Faire la réunion des ensembles $A$ et $B$, quand $A = \{x \in \N | x \textrm{ impair } \}$, et $B = \{ x \in \N | x \textrm{  pas divisible par 3 } \}$.
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Th}[Distributivités de $\cup$ et $\cap$]
+On a les distributivités :
+\begin{itemize}
+ \item de $\cup$ sur $\cap$ : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
+\item de $\cap$ sur $\cup$ : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
+\end{itemize}
+\end{Th}
+
+\begin{Exo}
+ On se donne trois ensembles $A, B, C$ tels que $A \cap B \cap C = \varnothing $. Sont-ils nécessairement disjoints deux à deux ? Donner des exemples.
+\end{Exo}
+
+
+\subsection{Complémentation}
+
+\begin{Def}[Complémentation]
+Pour $A \subset E$, on définit le \emph{complémentaire}\index{ensemble!complémentaire}\index{complémentation} de $A$ par rapport à $E$ comme l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas éléments de $A$. On note le complémentaire de $A$ dans $E$ : $E \setminus A$ (\og $E$ moins $A$ \fg{}) ou $\bar A$ quand ce n'est pas ambiguë.
+\end{Def}
+
+
+
+\begin{Th}
+La complémentation a plusieurs propriétés remarquables :
+ \begin{itemize}
+ \item involution\index{involution} : $\bar{\bar{A}} = A$,
+ \item loi de De Morgan\index{loi de De Morgan}  : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$, et $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.
+\end{itemize}
+\end{Th}
+
+
+
+\begin{Exo}
+Pour deux ensembles $A$ et $B$, 
+on appelle différence symétrique, note $A\Delta B$, 
+l'ensemble défini par 
+$A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ 
+c'est-à-dire que $A \Delta B$ est constitué des éléments qui appartiennent soit à $A$, soit à $B$, mais pas aux deux.
+\begin{enumerate}
+\item Montrez que $A\Delta B = [A\inter(E\moins B)]\union[(E\moins A) \inter B]$.
+\item Simplifier les expressions $A \Delta A$, $A \Delta (E\moins A)$, $A \Delta E$ et $E\moins (A\triangle B)$.
+\item Montrer que, si $A\triangle B=C$, alors $A\triangle C=B$ et $B\triangle C=A$.
+\item Montrer que si $A \Delta B = A \Delta C$ alors $B = C$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+\subsection{Produit cartésien}
+
+Le produit cartésien des ensembles $A$ et $B$ (dans cet ordre) est l'ensemble, que l'on note $A \times B$ (\og $A$ croix $B$ \fg{}) des couples ordonnés $(a,b)$ où $a \in A$ et $b \in B$. Dans le couple $(a,b)$:
+\begin{itemize}
+\item $(a,b)$ n'est pas un ensemble et 
+\item $(a,b)$ est distinct de $(b,a)$.
+\end{itemize}
+
+
+
+
+\begin{Exo}
+Énumérez les éléments de $\{a,b,c\}\times\{1,2\}$ . 
+Combien y en a-t-il?
+\end{Exo}
+
+
+
+
+\section{Exercices supplémentaires}
+
+\begin{Exo}
+Soit $E$ un ensemble non vide et $A$, $B$, $C$, $X$, $Y$ des parties de $E$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que si on a $(X\inter A=X\inter B)$ et $Y\sse X$ sont 
+alors on a $ Y\inter A=Y\inter B$.
+ \item  Montrer que si on a 
+   $(A\union C)\sse(A\union B)$ et $(A\inter C)\sse(A\inter B)$ 
+   alors  on a  $C\sse B$.
+
+\item  Montrer que si on a  
+$ A\sse (B\inter C) $ et $(B\union C)\sse A $ 
+alors on a 
+$ A=B=C$.
+
+ \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
+
+\begin{Exo}
+Soit $E$ un ensemble non vide et ${\cal P}(E)$ l'ensemble de ses parties.
+
+Soit $f$ une application croissante, pour l'inclusion, de ${\cal P}(E)$ dans lui-même (c'est-à-dire : si $X$ et $Y$ sont deux parties de $E$ et si $X \sse Y$, alors $f(X) \sse f(Y)$).
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que, pour tout couple $(X,Y)$ de parties de $E$, on a: $f(X) \union
+f(Y) \sse f(X \union Y)$.
+
+\item On dit qu'une partie $X$ de $E$ est régulière si et seulement si $f(X) \sse X$. Montrer qu'il existe au moins une partie
+régulière dans $E$ et que, si $X$ est régulière, il en est de même de $f(X)$.
+
+\item Soit $A$ l'intersection de toutes les parties régulières de $E$. Montrer que $A$ est régulière et que $f(A) = A$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+\begin{Exo}[Fonction caractéristique des parties d'un ensemble]
+On appelle fonction caractéristique de la partie $A$ de l'ensemble $E$ $(E\neq\vide$, $A\neq\vide$, $A\sse E$) l'application $f_A:E\imp\{0,1\}$, définie par:
+\begin{itemize}
+\item $\qqs x\in A,\ f_A(x) = 1$;
+\item $\qqs x \in E\moins A,\ f_A(x) = 0$.
+\end{itemize}
+
+On pose de plus  $\qqs x\in E, f_{\vide}(x) = 0$ et $f_E(x)=1$.
+
+Étudier les fonctions caractéristiques d'une réunion, d'une intersection de deux parties, ainsi que celle du
+complémentaire d'une partie.
+\end{Exo}
+
+
+
+
+\gsaut
+\centerline{\x{Fin du Chapitre}}
+
diff --git a/logique/AlgBoole13.tex b/logique/AlgBoole13.tex
new file mode 100755
index 0000000..37a972f
--- /dev/null
+++ b/logique/AlgBoole13.tex
@@ -0,0 +1,731 @@
+
+\section{Propriétés générales}
+
+
+%\subsection{Définition}
+\begin{Def}[Algèbre de Boole] On appelle \emph{algèbre de
+Boole}\index{algèbre de Boole} la structure algébrique 
+$(\mathcal{A},+,.,\overline{\mathstrut\enskip})$
+définie par un
+ensemble (non vide) $\mathcal{A}$ et trois opérations  :
+\begin{itemize}
+ \item la somme booléenne (binaire) : ``+'',
+ \item le produit booléen (binaire) : ``.'' et 
+ \item la négation booléenne (unaire) : ``{$\overline{\mathstrut\enskip}$}'' 
+(par exemple $\overline{a}$).
+\end{itemize}
+et qui doivent posséder les propriétés données du tableau ci-dessous.
+\end{Def}
+
+% AG : parmi ces propriétés, certaines découlent des autres.
+% Lesquelles ? Quelle sont les axiomatisations minimales le splus
+% intéressantes ?
+%
+% CG : Je pense que pour nos étudiants, il vaut mieux tout détailler,
+% au risque de se répéter. Ce qui n'empêche pas que l'on peut évoquer,
+% à l'oral, la redondance.
+
+
+
+% CG : Je n'arrive pas à mettre la table sur la même page que la 
+% définition d'une algèbre de boole. J'ai donc supprimé le Table,
+% et réduit la taille des caractères. Je pense que c'est préférable
+% de tout avoir sur une même page.
+
+\begin{small}
+$$
+\begin{array}{||c|c||c|c||}
+\hline
+\hbox{Propriété}        &   & &            \\ \hline
+\hbox{idempotence}      & a+a=a               &    \hbox{distributivités}  & a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c 
+                                        \\
+                        & a\cdot a=a           &                         & a+b\cdot c=(a+b) \cdot(a+c)
+                                           \\ \hline
+
+\hbox{commutativité}    & a+b=b+a         & \hbox{involution}       & \sur{\sur a}=a    \\ 
+&a\cdot b=b\cdot a &                        &  \\ \hline
+\hbox{associativité}    & a+(b+c)=(a+b)+c  & \hbox{complémentation}  & \sur 0=1          \\ 
+                        & a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c &                         & \sur 1=0          \\ \hline
+\hbox{éléments neutres} & a+0=a               &\hbox{partition}        & a+\sur a=1        \\
+
+                        & a\cdot 1=a &                        & a\cdot \sur a=0  \\ \hline           
+\hbox{absorption}       & a+1=1                  & \hbox{\og Lois de De Morgan\fg{}} 
+                        & \sur{a+b}=\sur a\cdot\sur b 
+                                            \\
+
+                        & a\cdot 0=0     &                        & \sur{a\cdot b}=\sur a+\sur b 
+                                           \\\hline
+
+
+\end{array}
+$$
+\end{small}
+\begin{center}Propriétés d'une algèbre de Boole\end{center}
+
+
+
+\begin{Rem}
+ Les signes opératoires utilisés sont les mêmes que ceux de l'addition et de la multiplication des réels. Cependant, ces opérations n'ont évidemment pas les mêmes propriétés, et ne portent pas sur les mêmes éléments.
+\end{Rem}
+
+
+
+
+\begin{Exo}[Somme disjonctive]
+On considère une algèbre de Boole quelconque $(E,+,\cdot ,
+\overline{\mathstrut\enskip})$.
+
+On définit l'opération \og somme disjonctive\fg{}, notée $\oplus$, par $a \oplus b = \overline{a} b+a \overline{b}$.
+
+
+\begin{enumerate}
+\item Que vaut $a \oplus 0$ ? $a \oplus 1$ ?
+\item Calculez $a \oplus a$ et $a \oplus \overline{a}$.
+\item Calculez $\overline{a \oplus b}$.
+\item Montrez que $\oplus$ est associative et commutative.
+%\item Comparer cette opération à la différence symétrique de la théorie des ensembles, au ou exclusif (XOR), et à l'addition modulo 2.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
+
+\begin{Exo}[Opérateurs de Sheffer et de Peirce]
+Soit $(E,+, \cdot , \overline{\mathstrut\enskip})$ une algèbre de Boole.
+\begin{enumerate}
+\item On définit l'opération de Sheffer\footnote{D'après le logicien H.M. Sheffer} par : $a | b= \overline{a}+
+\overline{b}$.% (c'est le NAND des informaticiens).
+
+Comment obtenir $\overline{a}$, $a+b$, $a \cdot b$ en n'utilisant que l'opérateur $|$ ? Faire de même pour $a+ \overline{b}$; étudier l'associativité de cette opération.
+
+\item On définit la flèche de Peirce\footnote{Lorsque les logiciens,
+dans les années 1930, cherchèrent un symbole pour exprimer le
+connecteur découvert par C.S. Peirce (1839-1914), ``Pierce Arrow'' était
+le nom d'une célèbre marque de voiture !} par: $a \downarrow b =
+\overline{a} \cdot \overline{b}$.% (c'est le NOR). 
+Mêmes questions. \end{enumerate} 
+\end{Exo}
+
+
+% \begin{Rem}
+% Ces connecteurs sont donc remarquables, puisqu'ils sont universels (tous les autres connecteurs peuvent s'exprimer avec uniquement la barre de Scheffer, ou uniquement avec la flèche de Peirce).
+% Cependant, par manque de concision et de lisibilité, ces connecteurs ne sont pas utilisés en logique.
+% \end{Rem}
+
+% AG : ``signe opératoire'', ``connecteur'', ``opérateur'',
+% ``opérations''
+% sont-ils synonymes ? dans quelle mesure ? lesquels sont à
+% privilégier ?
+%
+% CG : Pour moi, oui. Je ne suis pas sûr qu'il faille en 
+% privilégier un en particulier : autant habituer les étudiants
+% à utiliser les différents vocabulaires qui existent (?)
+
+
+\section{Règles de calcul dans une algèbre de Boole}
+
+
+\begin{enumerate}
+ \item Les priorités habituelles sont respectées pour la somme et le produit booléen.
+ % AG : Mieux vaudrait rappeler ces règles ici.
+\item Les éléments neutres sont notés 0 et 1, par analogie avec les
+entiers de même symbole (ne pas oublier que ces calculs ne se déroulent pas dans $\R$...)
+% \item L'absence d'éléments symétriques pour la somme et pour le produit interdit les simplifications que l'on a l'habitude de pratiquer \og  sans y réfléchir\fg{} :
+% \begin{itemize}
+%  \item $a+b=a+c$ ne donne pas $b=c$,
+%  \item $ab=ac$ n'entraîne pas $b=c$.
+% \end{itemize}
+% En particulier, ne jamais perdre de vue que
+% \begin{itemize}
+% \item $a+b=0$ n'est réalisable en algèbre de Boole que si $a=b=0$
+% \item $a.b=1$ n'est réalisable en algèbre de Boole que si $a=b=1$ ($A \cap B = E \Leftrightarrow A=E \textrm{ et } B = E$)
+% \item $a.b=0$ peut être réalisé avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$ (par exemple, avec $b=\sur a$, mais ce n'est pas la seule solution...). On parle de \og  diviseurs de zéro\fg{}. (Ainsi, $A \cap B = \varnothing$ est possible sans avoir obligatoirement $A = \varnothing$ et $B = \varnothing$). 
+% \end{itemize}
+\item Il y a deux distributivités. Celle de la somme (booléenne) sur le produit (booléen) n'est pas habituelle. Par exemple, simplifier $(a+b)(a+c)(a+d)(a+e)(a+f)$
+\item Signalons pour finir que, comme ci-dessus, le point pour le produit est souvent omis. 
+\end{enumerate}
+
+
+Dans une expression booléenne, une sous-expression est dite \og redondante\fg{} lorsqu'on peut la supprimer sans changer la \og valeur\fg{} de l'expression :
+
+
+\begin{Th}[Suppression de redondance]
+On a les trois règles suivantes:
+\begin{enumerate}
+\item Dans une somme booléenne, tout terme absorbe ses multiples: $a+a\cdot b=a$.
+\item Dans un produit booléen, tout facteur absorbe tout autre facteur qui le contient en tant que terme: $a\cdot(a+b)=a$.
+\item Ajouter à un terme un multiple $b$ de son complément revient à ne lui ajouter que $b$: $a+\sur a\cdot b=a+b$
+\end{enumerate}
+\end{Th}
+
+\begin{Proof}
+On déomntre les trois règles comme suit:
+\begin{enumerate}
+\item  En effet, $a+a\cdot b=a\cdot(\sur b+b)+a\cdot b=a\cdot\sur b+a\cdot b+a\cdot b=a\cdot\sur b+a\cdot b\ \hbox{ (par idempotence)}=a\cdot(\sur
+b+b)=a$.
+\item En effet, $a\cdot(a+b)=a\cdot a+a\cdot b=a+a\cdot b=a$.
+\item $a+\sur a\cdot b=(a+\sur a)\cdot(a+b)=1\cdot(a+b)=a+b$.
+\end{enumerate}
+\end{Proof}
+
+\begin{Ex}
+ $ab + \sur a c + \sur b c = a b +(\sur a + \sur b )\cdot c = ab + \sur {ab} \cdot c = ab+c$
+\end{Ex}
+
+
+
+
+ \begin{Exo}
+% L'application de cette troisième règle peut être combinée avec celle des autres, comme par exemple dans le calcul suivant :
+Montrer que $a\cdot b+\sur a\cdot c+b.c=a\cdot b+\sur a\cdot c$
+\end{Exo}
+
+% \begin{Proof}
+% $a\cdot b+\sur a\cdot c+b\cdot c=a\cdot b+\sur a\cdot
+% c+(a+\sur a)\cdot b\cdot c=a\cdot b+\sur a\cdot c+a\cdot b\cdot
+% c+\sur a\cdot b\cdot c$; $a\cdot b$ absorbe $a\cdot b\cdot c$ et
+% $\sur a\cdot c$ absorbe $\sur a\cdot b\cdot c$, d'où le
+% résultat.
+% \end{Proof}
+
+% \begin{Exo}[Somme disjonctive]
+% Montrez que l'on a $a = b$ si et seulement si $a \oplus b = 0$.
+% \end{Exo}
+
+
+
+\begin{Exo}[Calcul booléen élémentaire]
+% AG : Que veut dire ``effectuer les calculs ? Est-ce en terme de
+% règles appliquées au maximum de gauche à droite, en terme de forme
+% normale atteinte ?
+Appliquer au maximum les règles précédentes pour supprimer les redondances 
+dans les calculs suivants.
+\begin{enumerate}
+%\item $(a+b) \cdot (b+c) \cdot (c+a)$
+%\item $(a+b) \cdot (a+c)+(b+c) \cdot (a+b)+(a+c) \cdot (b+c)$
+\item $(a+b+c) \cdot (a+\overline{b}+c) \cdot (a+\overline{b}+\overline{c})$
+\item $a+\overline{a} \cdot b \cdot c+\overline{a}+a \cdot b$
+\item $a \cdot b+\overline{a} \cdot b \cdot c+a \cdot \overline{b} \cdot c$
+%\item $a \cdot \overline{b}+a \cdot b \cdot c+a \cdot \overline{b} \cdot c \cdot d$
+\item $(a+b+c) \cdot (\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+d)$
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Exo}[Calcul booléen]
+Même énoncé qu'à l'exercice précédent.
+%Simplifier les expressions suivantes.
+\begin{enumerate}
+ \item $(\sur a+b)(\sur c+\sur a\cdot\sur b+a\cdot b)\ $.
+ \item $(a+\sur b+\sur c)\cdot(\sur a+b)\cdot(\sur b+c)$.
+% \item $(a+\sur b+c+b\cdot\sur d)\cdot(\sur b+c)$.
+% \item $\sur{\sur a+\sur b+c}+\sur{\sur a+b}+\sur a+c$.
+% \item $(a+\sur b+c)\cdot(\sur{a+b}+c+d)+\sur{a+\sur b+d}\cdot\sur{\sur{a+b}+a+d}$.
+% \item $\sur{[(\sur a+c)+(\sur b+d)]\cdot(\sur c+\sur d)}+\sur a+\sur b\ $.
+% \item $a\cdot(\sur b+c)\cdot(\sur{a\cdot b}+a\cdot c)+\sur{a\cdot(\sur
+% b+c)}\cdot\sur{\sur{a\cdot b}+a\cdot c}$.
+% \item $(\sur{a\cdot b\cdot c+a\cdot b\cdot d})\cdot(\sur{\sur a+\sur
+% b+\sur{c+d}})+a\cdot b\cdot(c+d)\cdot(\sur a+\sur b+\sur{c+d})\ $.
+% \item $\sur{\sur a\cdot\sur b+a\cdot b}+\sur b\cdot\sur c+b\cdot c$.
+%  \item $\sur{\sur a+b+\sur{\sur a\cdot b}}+\sur{a\cdot\sur b}+c$.
+% \item $\sur{\sur{a\cdot\sur b}+\sur c+d}\cdot(\sur{a\cdot c}+b+d)+(\sur{a\cdot\sur b}+\sur
+% c+d)\cdot\sur{\sur{a\cdot c}+b+d}$.
+\item $(a+c)\cdot(\sur a+d)\cdot(\sur b+\sur e)\cdot(\sur b\cdot\sur
+c+b\cdot c)\cdot(\sur d+c\cdot e)\cdot(\sur c+d)$.
+\item $(\sur a\cdot\sur{a\cdot(\sur b+\sur c)}+a\cdot(\sur b+\sur
+c))\cdot(\sur b\cdot\sur{\sur a+c}+(\sur a+c)\cdot b)\cdot(a\cdot\sur
+b\cdot c+\sur{a\cdot\sur b}\cdot\sur c)$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
+\section{Fonctions booléennes}
+
+Soit $\mathcal{A}$ une algèbre de Boole.
+
+
+\begin{Def}[Fonction booléenne]
+On appelle \emph{fonction booléenne de $n$ variables} \index{fonction!booléenne} toute application de $\mathcal{A}^n$ dans $\mathcal{A}$ dont l'expression ne contient que :
+\begin{itemize}
+ \item les symboles des opérations booléennes,
+\item des symboles de variables, de constantes,
+\item d'éventuelles parenthèses.
+\end{itemize}
+\end{Def}
+
+
+
+
+
+
+\begin{Ex}
+$f(a,b,c)=a\cdot\sur b+c$.
+\end{Ex}
+
+
+\begin{Def}[Aspect d'une variable]
+Si $a$ est une variable booléenne, elle peut intervenir dans l'expression d'une fonction booléenne sous la forme $a$ ou sous la forme $\sur a$, qui sont appelées les deux \emph{aspects} de cette variable : affirmé et nié.
+\end{Def}
+
+
+\begin{Def}[Fonction booléenne nulle]
+On appelle \emph{fonction booléenne nulle} \index{fonction!booléenne!nulle} la fonction booléenne qui, à chaque valeur des variables, associe la valeur 0.
+Son expression est $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$.
+\end{Def}
+
+
+\begin{Def}[Fonction référentiel]
+On appelle \emph{fonction référentiel}\index{fonction!référentiel}  la fonction booléenne qui, à chaque valeur des variables, associe la valeur 1.
+Son expression est $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=1$.
+\end{Def}
+
+
+
+\begin{Def}[Minterme, maxterme]
+ Un \emph{minterme} à $n$ variables\index{minterme} est une fonction booléenne à $n$ variables dont l'expression se présente sous la forme du produit d'un aspect et d'un seul de chacune des $n$ variables.
+
+Définition analogue pour un \emph{maxterme} \index{maxterme}, en remplaçant dans la définition précédente \og produit\fg{} par \og somme\fg{}.
+\end{Def}
+
+
+\begin{Ex}[Minterme à trois variables]
+$a\cdot\sur b\cdot c$ 
+\end{Ex}
+
+\begin{Ex}[Maxterme à trois variables]
+$\sur a+b+\sur c$.
+\end{Ex}
+
+\begin{Exo}
+Pour 3 variables $a$, $b$ et $c$, repérez les mintermes et les maxtermes : $b \sur c$, $a + \sur b + c$, $a \sur b b \sur c$, $\sur a b c$, $a + \sur b c$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+Dressez la liste des mintermes et des maxtermes pour deux variables $a$ et $b$.
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Th}[Nombre de mintermes et de maxtermes] Les mintermes et
+maxtermes, pour un nombre donné $n$ de variables, sont au nombre de
+$2^n$ chacun.
+\end{Th}
+
+
+\subsection{Formes canoniques d'une fonction booléenne}
+% AG : en licence, ceci est repris sous le nom de formes normales de
+% formules propositionnelles, obtenues par réécriture.
+% Redondant, mais c'est bien d'avoir vu la méthode des diagrammes de
+% Karnaugh et la méthode des consensus.
+% Ma première lecture s'arrête ici.
+
+%\subsubsection{Définition et théorème}
+% AG : Pas assez précis. Un monôme est un produit de variables
+% affirmées ou niées.
+
+\begin{Def}[Monômes]
+Un \emph{monôme}\index{monôme} est une fonction 
+booléenne produit de variables booléennes éventuellement niées.
+\end{Def}
+
+\begin{Exo}
+Parmi les expressions suivantes dire lesquelles sont des monômes et lesquelles ne le sont pas en justifiant:
+$a + b$,
+$a+bc$, 
+$a(b+c)$,
+$a\sur{b}$,
+$b$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Th}
+Quelle que soit l'expression de la fonction booléenne, il est possible de la mettre sous la forme d'une somme de monômes. 
+\end{Th}
+
+\begin{Proof}
+En effet, comme elle ne fait intervenir que les trois opérations booléennes, il suffit de lui appliquer les règles du calcul booléen:
+\begin{enumerate}
+\item On développe les négations (en appliquant les règles $\sur{a+b}=\sur a\cdot\sur b$ et $\sur{a\cdot b}=\sur a+\sur b$), jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de négations que sur les variables;
+
+\item Puis on développe les produits qui portent sur des sommes, en utilisant la distributivité du produit sur la somme;
+
+\item On obtient ainsi une expression qui s'écrit sans parenthèses, et qui ne contient que des sommes de produits de variables éventuellement niées.
+\end{enumerate}
+
+\end{Proof}
+
+
+\begin{Th}
+Chaque monôme peut ensuite être mis sous la forme d'une somme de mintermes.
+\end{Th}
+
+
+\begin{Proof}
+En effet, si, dans l'expression de ce monôme, toutes les variables interviennent, c'est déjà un minterme.
+
+Dans le cas contraire, il manque (par exemple) la variable $a$ dans son expression : on la fait intervenir sous la forme $(\sur a+a)$. On développe, les deux monômes obtenus font intervenir la variable $a$.
+
+Ou bien, il s'agit de mintermes et le processus est terminé, ou bien il manque encore une variable, qu'on fait intervenir en utilisant le même procédé, et ainsi de suite jusqu'à aboutir aux mintermes.
+\end{Proof}
+
+
+On fait évidemment disparaître du résultat, par idempotence, les occurrences multiples de mintermes, pour pouvoir énoncer le résultat suivant :
+
+\begin{Th}[Forme canonique disjonctive]
+Toute fonction booléenne à $n$ variables (autre que la fonction nulle) peut se mettre sous la forme d'une somme de mintermes à $n$ variables.
+
+Cette forme, unique, s'appelle \emph{Forme Canonique Disjonctive}\index{forme canonique!disjonctive} (dans la suite, FCD).
+\end{Th}
+
+ 
+\begin{Rem}
+L'unicité de cette FCD permet la comparaison des fonctions booléennes entre elles.
+\end{Rem}
+
+
+Par négation booléenne de ce résultat, on obtient :
+
+
+\begin{Th}[Forme canonique conjonctive]
+Toute fonction booléenne de $n$ variables (autre que la fonction référentiel) peut se mettre sous la forme d'un produit de maxtermes à $n$ variables.
+
+Cette forme, unique, est la \emph{Forme Canonique Conjonctive}\index{forme canonique!conjonctive} (FCC dans la suite). 
+\end{Th}
+
+
+\subsection{Obtention des formes canoniques}
+
+La méthode algébrique consiste à :
+
+\begin{itemize}
+ \item tout développer pour mettre l'expression sous la forme d'une somme 
+   de monômes,
+\item dans chaque terme de cette somme, faire apparaître les valeurs qui n'y figurent pas.
+\end{itemize}
+
+\begin{Ex}
+On illustre cela :
+
+\noindent $f(a,b,c) = a+bc = a(\sur b + b) (\sur c + c) + (\sur a + a)bc$
+
+\noindent $ = a \sur b \sur c + a \sur b c + ab \sur c + abc + \sur a bc +abc = m_3 + m_4 + m_5 + m_6 + m_7.$
+\end{Ex}
+
+
+Pour la FCC, on peut imaginer une méthode analogue.
+
+\begin{Ex}
+$f(a,b,c) = a+bc = (a+b)(a+c) = (a+b+ \sur c c) (a + \sur b b +c)$
+
+$ = (a+b + \sur c ) \cdot (a+b+c) \cdot (a + \sur b +c) \cdot (a+b+c) = M_5 M_6 M_7$
+\end{Ex}
+
+
+\begin{Rem}
+Si on prend la négation de la FCD, on obtient bien sûr une FCC... mais pas celle de la fonction, celle de sa négation !
+
+Il suffit de prendre la négation de la fonction, de
+calculer sa FCD puis de prendre la négation du résultat.
+\end{Rem}
+
+
+\begin{Exo}
+Obtenir la FCC de $x + \overline{y}z$.
+\end{Exo}
+
+
+Il existe une autre méthode pour obtenir ces formes canoniques : la méthode des diagrammes.
+
+
+
+
+
+\section{Diagrammes de Karnaugh}
+
+
+La représentation des fonctions booléennes par diagrammes de Karnaugh-Veitch :
+est fondée sur les propriétés des mintermes (ils réalisent une partition de l'unité),
+
+
+Ces derniers diagrammes deviennent rapidement inextricables quand le nombre de variables augmente, c'est pourquoi, dans les diagrammes de Karnaugh, on divise systématiquement l'\og univers\fg{} (le référentiel $E$) en deux parties égales en superficie pour représenter la partie concernée et son complémentaire.
+
+
+À chaque introduction de variable supplémentaire, chaque case du précédent diagramme est divisée en 2.
+
+On obtient, par exemple :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|}
+\hline 
+  & $\sur a$ & $a$\\
+\hline
+$\sur b$ & $\sur a \sur b$ & $a \sur b$ \\
+\hline
+$b$ & $\sur a b$ & $ab$\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+
+Cas de trois variables :
+\begin{itemize}
+ \item les deux premières colonnes correspondent à $\sur a$, les deux dernières à $a$,
+\item la première et la dernière colonne correspondent à $\sur b$, les deux centrales à $b$,
+\item enfin, la première ligne est associée à $\sur c$, la deuxième à $c$.
+\end{itemize}
+
+\noindent ...ce qui donne 
+
+
+$$
+\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+%\backslashbox{c}{ab}
+  & 00 & 01 & 11 & 10 \\
+\hline
+0 & \sur a \sur b \sur c & \sur a b \sur c & a b \sur c & a \sur b \sur c  \\
+\hline
+1 & \sur a \sur b  c & \sur a  b  c &  a  b  c & a \sur b  c\\
+\hline
+\end{array}
+$$
+
+
+
+
+Dans un tel diagramme, chaque case représente un minterme. Les autres monômes regroupent un nombre de cases qui est une puissance de 2, selon le nombre de variables présentes.
+
+
+
+
+\begin{Exoc}
+Faire un diagramme à cinq variables.
+\end{Exoc}
+
+$$
+\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+  & 000 & 001 & 011 & 010 & 110 & 111 & 101 & 100 \\
+\hline
+00 & 
+\sur a \sur b \sur c \sur d \sur e & 
+\sur a \sur b c \sur d \sur e & 
+\sur a  b c \sur d \sur e & 
+\sur a b \sur c \sur d \sur e & 
+a  b \sur c \sur d \sur e  & 
+a b  c \sur d \sur e & 
+a \sur b  c \sur d \sur e & 
+ a \sur b \sur c \sur d \sur e \\
+\hline
+01 & 
+\sur a \sur b \sur c \sur d  e & 
+\sur a \sur b c \sur d  e & 
+\sur a  b c \sur d  e & 
+\sur a b \sur c \sur d  e & 
+a  b \sur c \sur d  e  & 
+a b  c \sur d e & 
+a \sur b  c \sur d  e & 
+ a \sur b \sur c \sur d  e \\
+\hline
+11 & 
+\sur a \sur b \sur c d  e & 
+\sur a \sur b c d  e & 
+\sur a  b c  d  e & 
+\sur a b \sur c  d  e & 
+a  b \sur c  d  e  & 
+a b  c d e & 
+a \sur b  c  d  e & 
+ a \sur b \sur c  d  e \\
+\hline
+10 &
+\sur a \sur b \sur c d  \sur e & 
+\sur a \sur b c d  \sur e & 
+\sur a  b c  d  \sur e & 
+\sur a b \sur c  d  \sur  e & 
+a  b \sur c  d  \sur  e  & 
+a b  c d \sur e & 
+a \sur b  c  d \sur  e & 
+ a \sur b \sur c  d \sur  e \\
+\hline
+\end{array}
+$$
+
+
+
+Les diagrammes peuvent être utilisés en réunion, en intersection ou en complémentation.
+
+Ils permettent :
+\begin{itemize}
+ \item d'obtenir la FCD d'une fonction booléenne plus aisément que par le calcul algébrique (utilisé pour découvrir la forme en question),
+ \item une première approche du problème de la simplification des fonctions booléennes (dans des cas simples et pour un petit nombre de variables)...
+\end{itemize}
+
+\medskip
+
+Utilisation des diagrammes de Karnaugh pour représenter les fonctions booléennes...
+
+\begin{description}
+\item[En réunion.] Soit par exemple $f(a,b,c) = a +\sur b c$. Son diagramme est :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+\backslashbox{c}{ab}  & 00 & 01 & 11 & 10 \\
+\hline
+0 & 0 & 2 & \colorbox{red}{6} & \colorbox{red}{4} \\
+\hline
+1 & \colorbox{red}{1} & 3 & \colorbox{red}{7} & \colorbox{red}{5}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+On lit aisément la FCD de $f$ sur le diagramme : $f(a,b,c) = m_1 + m_4 + m_5 + m_6 + m_7$.
+
+\item[En intersection.] Soit $f(a,b,c) = (a + \sur b ) (a+c)$.
+
+On peint en rouge les  cases correspondant à $a + \sur b$, et on note en italique  les nombres correspondant à $a+c$ :
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+\backslashbox{c}{ab}  & 00 & 01 & 11 & 10 \\
+\hline
+0 & \colorbox{red}{0} & 2 & \textit{{\colorbox{red}{6}}} & \textit{{\colorbox{red}{4}}} \\
+\hline
+1 & \textit{{\colorbox{red}{1}}} & \textit{{3}} & \textit{{\colorbox{red}{7}}} & \textit{{\colorbox{red}{5}}}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+La représentation de $f$ est contenue dans les cases rouges possédant les nombres en italique. Comme  
+$(a + \sur b ) (a+c) = a + \sur b c$, 
+on retrouve la même FCD.
+
+\item[En complémentation.] Soit $f(a,b,c) = a + \sur b c$, de diagramme :
+
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+\backslashbox{c}{ab}  & 00 & 01 & 11 & 10 \\
+\hline
+0 & 0 & 2 & \colorbox{red}{6} & \colorbox{red}{4} \\
+\hline
+1 & \colorbox{red}{1} & 3 & \colorbox{red}{7} & \colorbox{red}{5}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Alors la négation de $a+ \sur b c$ est dans les cases pas rouge : la FCD de $\sur f$ est $m_0+m_2+m_3$.
+
+\end{description}
+
+
+
+
+
+\begin{Exo}[Fonctions booléennes]
+Donner la forme canonique disjonctive de la fonction booléeene dont l'expression est
+$$f(a,b,c,d,e)=\sur a\cdot[\sur b\cdot\sur e\cdot(c+d)+b\cdot(\sur c\cdot\sur
+d\cdot\sur e+c\cdot\sur{d\cdot e})].$$
+\end{Exo}
+
+
+
+\begin{Exo}
+Pour chacune des expressions suivantes...
+%\newcommand{\overline}[1]{\ensuremath{\overline{#1}}} 
+$$\begin{array}{lll}
+E_1 & = & xyz + xy\overline{z} + \overline{x}y\overline{z} + \overline{x}.\overline{y}z\\
+E_2 & = & xyz + xy\overline{z} + x\overline{y}z + \overline{x}.\overline{y}z\\
+E_3 & = & xyz + xy\overline{z} + \overline{x}y\overline{z} + \overline{x}.\overline{y}.\overline{z} +
+\overline{x}.\overline{y}z \\
+\end{array}$$
+donner la forme minimale en exploitant les diagrammes de Karnaugh
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Exo}[Application de la méthode de Karnaugh] % Lipschutz 12.18
+Trouver une forme minimale de 
+$E = x\sur{y} + xyz + \sur{x}.\sur{y}.\sur{z} + \sur{x}yz\sur{t}$.
+\end{Exo}
+
+
+\begin{Exo}[Composition de la méthode de Karnaugh] %Velu 12.11
+On considère deux fonctions booléennes $u$ et $v$ des quatres variables $a$, $b$, $c$, $d$ définies par 
+$u = (a+d)(b+c)$ et $v = (a+c)(\sur{b}+d)$.
+\begin{enumerate}
+\item Dessiner les diagrammes de Karnaugh de $u$ et de $v$.
+\item En déduire le diagramme de Karnaugh de $w = uv+\sur{u}.\sur{v}$.
+\item Donner une forme minimale pour $w$
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}[BTS-2009]
+La société \textit{K-Gaz} décide de recruter en interne des collaborateurs 
+pour sa filiale en Extrême-Orient.
+Pour chaque employé, on définit les variables booléennes suivantes:
+\begin{itemize}
+\item $a$ = 1 s'il a plus de cinq ans d'ancienneté dans l'entreprise;
+\item $b$ = 1 s'il possède un B.T.S. informatique de gestion (BTS-IG);
+\item $c$ = 1 s'il parle couramment l'anglais.
+\end{itemize}
+La direction des ressources humaines décide que pourront postuler les employés :\begin{itemize}
+\item qui satisfont aux trois conditions, 
+\item ou qui ont moins de 5 ans d'ancienneté mais qui maîtrisent l'anglais,
+\item ou qui ne maîtrisent pas l'anglais mais qui possèdent un BTS-IG.
+\end{itemize}
+\begin{enumerate}
+\item  Écrire une expression booléenne $E$ traduisant les critères 
+  de la direction.
+\item  Représenter l'expression $E$ par un tableau de Karnaugh.
+\item  À l'aide du tableau de Karnaugh, donner une expression simplifiée de $E$.
+\item  Retrouver ce résultat par le calcul.
+\item  En déduire une version simplifiée des critères de la direction.
+\end{enumerate}
+
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}[BTS-2002]
+On considère l’expression $E= a.c +b.c +a.b +a.b.c$ dépendant des variables booléennes $a$, $b$ et $c$:
+
+\begin{enumerate}
+\item Simplifier l’expression $E$ à l’aide de la lecture d’un tableau 
+  de Karnaugh (ou d’une table de vérité). % et en déduire que $E = b +c$
+\item  Dans un organisme qui aide des personnes au chômage à trouver un emploi,
+on considère pour ces personnes, trois variables booléennes définies ainsi:
+\begin{itemize}
+\item $a$ = 1 si la personne est âgée de 45 ans ou plus (sinon a = 0);
+\item $b$ = 1 si la personne est au chômage depuis un an ou plus (sinon b = 0);
+\item $c$ = 1 si la personne a déjà suivi une formation 
+  l’année précédente (sinonc = 0).
+\end{itemize}
+Une formation qualifiante sera mise en place pour les personnes vérifiant au
+moins un des critères suivants:
+\begin{itemize}
+\item avoir 45 ans ou plus et être au chômage depuis moins de un an;
+\item avoir moins de 45 ans et ne pas avoir suivi de formation l’année précé-
+dente;
+\item être au chômage depuis un an ou plus et ne pas avoir suivi de formation
+l’année précédente;
+\item avoir moins de 45 ans, être au chômage depuis moins de un an et avoir
+suivi une formation l’année précédente.
+\end{itemize}
+Les personnes qui ne répondent à aucun de ces quatre critères, pourront par-
+ticiper à un stage d’insertion en entreprise.
+\begin{enumerate} 
+\item Écrire l’expression booléenne $F$ en fonction des variables $a$, $b$ et 
+$c$ qui
+traduit le fait que la personne pourra suivre cette formation qualifiante.
+\item En déduire une caractérisation simple des personnes qui participeront 
+à un stage d’insertion en entreprise.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
+
+
+
+
+\centerline{\x{Fin du Chapitre}}
+
diff --git a/main13.aux b/main13.aux
new file mode 100644
index 0000000..e57faae
--- /dev/null
+++ b/main13.aux
@@ -0,0 +1,247 @@
+\relax 
+\catcode`:\active
+\catcode`;\active
+\catcode`!\active
+\catcode`?\active
+\providecommand\HyperFirstAtBeginDocument{\AtBeginDocument}
+\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\global\let\oldcontentsline\contentsline
+\gdef\contentsline#1#2#3#4{\oldcontentsline{#1}{#2}{#3}}
+\global\let\oldnewlabel\newlabel
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+\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
+\let\contentsline\oldcontentsline
+\let\newlabel\oldnewlabel
+\fi}
+\fi}
+\global\let\hyper@last\relax 
+\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
+\providecommand\HyField@AuxAddToFields[1]{}
+\select@language{french}
+\@writefile{toc}{\select@language{french}}
+\@writefile{lof}{\select@language{french}}
+\@writefile{lot}{\select@language{french}}
+\@input{Remerciements.aux}
+\@writefile{toc}{\contentsline {part}{I\hspace  {1em}Logique}{3}{part.1}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {1}Alg\IeC {\`e}bre de Boole}{4}{chapter.1}}
+\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
+\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
+\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {I}Propri\IeC {\'e}t\IeC {\'e}s g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}rales}{4}{section.1.1}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Def}{{Définition}{1.{1}}{Algèbre de Boole}}{4}{Def.1}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Rem}{{Remarque}{1.{1}}{}}{4}{Rem.1}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{1}}{Somme disjonctive}}{4}{Exo.1}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{2}}{Opérateurs de Sheffer et de Peirce}}{4}{Exo.2}}
+\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {II}R\IeC {\`e}gles de calcul dans une alg\IeC {\`e}bre de Boole}{5}{section.1.2}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{1}}{Suppression de redondance}}{5}{Th.1}}
+\global\def\markiThi{\ensuremath {}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Proof}{{Preuve}{1.{$\alpha $}}{}}{5}{Proof.1}}
+\global\def\markiProofi{\rule {1ex}{1ex}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{3}}{}}{5}{Exo.3}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{4}}{}}{5}{Exo.4}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{5}}{Calcul booléen élémentaire}}{5}{Exo.5}}
+\@writefile{thm}{\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{6}}{Calcul booléen}}{5}{Exo.6}}
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+\global\def\markiiDefi{\ensuremath {\diamondsuit }}
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+\global\def\markiiProofi{\rule {1ex}{1ex}}
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+\citation{Dowek07}
+\@writefile{toc}{\contentsline {chapter}{\numberline {2}Logique des pr\IeC {\'e}dicats}{12}{chapter.2}}
+\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
+\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
+\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {I}Les propositions}{12}{section.2.1}}
+\newlabel{sub:prop:prop}{{I}{12}{Les propositions\relax }{section.2.1}{}}
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+\global\def\markivRemii{\ensuremath {}}
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+\@writefile{lof}{\addvspace {10\p@ }}
+\@writefile{lot}{\addvspace {10\p@ }}
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+\global\def\markxviThi{\ensuremath {}}
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+\@input{PPN.aux}
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+\begin{thebibliography}{Dow07}
+
+\bibitem[Dow07]{Dowek07}
+Gilles Dowek.
+\newblock {\em Les {M}étamorphoses du calcul, une étonnante histoire des
+  mathématiques}.
+\newblock \'Editions le {P}ommier, 2007.
+
+\end{thebibliography}
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+This is pdfTeX, Version 3.1415926-2.4-1.40.13 (TeX Live 2012/Debian) (format=pdflatex 2013.4.28)  3 OCT 2013 12:12
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+aded.
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/report.cls
+Document Class: report 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo
+File: size11.clo 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count79
+\c@chapter=\count80
+\c@section=\count81
+\c@subsection=\count82
+\c@subsubsection=\count83
+\c@paragraph=\count84
+\c@subparagraph=\count85
+\c@figure=\count86
+\c@table=\count87
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+) (./hyperlatex.sty
+Package: hyperlatex 2004/11/12 v2.8 LaTeX2e package for Hyperlatex mode
+
+Package: 'hyperlatex' v2.7 Otfried Cheong
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/verbatim.sty
+Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
+\every@verbatim=\toks14
+\verbatim@line=\toks15
+\verbatim@in@stream=\read1
+)
+\c@htmldepth=\count88
+\c@htmlautomenu=\count89
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2008/03/30 v1.1d Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks16
+\inpenc@posthook=\toks17
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/utf8.def
+File: utf8.def 2008/04/05 v1.1m UTF-8 support for inputenc
+Now handling font encoding OML ...
+... no UTF-8 mapping file for font encoding OML
+Now handling font encoding T1 ...
+... processing UTF-8 mapping file for font encoding T1
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t1enc.dfu
+File: t1enc.dfu 2008/04/05 v1.1m UTF-8 support for inputenc
+   defining Unicode char U+00A1 (decimal 161)
+   defining Unicode char U+00A3 (decimal 163)
+   defining Unicode char U+00AB (decimal 171)
+   defining Unicode char U+00BB (decimal 187)
+   defining Unicode char U+00BF (decimal 191)
+   defining Unicode char U+00C0 (decimal 192)
+   defining Unicode char U+00C1 (decimal 193)
+   defining Unicode char U+00C2 (decimal 194)
+   defining Unicode char U+00C3 (decimal 195)
+   defining Unicode char U+00C4 (decimal 196)
+   defining Unicode char U+00C5 (decimal 197)
+   defining Unicode char U+00C6 (decimal 198)
+   defining Unicode char U+00C7 (decimal 199)
+   defining Unicode char U+00C8 (decimal 200)
+   defining Unicode char U+00C9 (decimal 201)
+   defining Unicode char U+00CA (decimal 202)
+   defining Unicode char U+00CB (decimal 203)
+   defining Unicode char U+00CC (decimal 204)
+   defining Unicode char U+00CD (decimal 205)
+   defining Unicode char U+00CE (decimal 206)
+   defining Unicode char U+00CF (decimal 207)
+   defining Unicode char U+00D0 (decimal 208)
+   defining Unicode char U+00D1 (decimal 209)
+   defining Unicode char U+00D2 (decimal 210)
+   defining Unicode char U+00D3 (decimal 211)
+   defining Unicode char U+00D4 (decimal 212)
+   defining Unicode char U+00D5 (decimal 213)
+   defining Unicode char U+00D6 (decimal 214)
+   defining Unicode char U+00D8 (decimal 216)
+   defining Unicode char U+00D9 (decimal 217)
+   defining Unicode char U+00DA (decimal 218)
+   defining Unicode char U+00DB (decimal 219)
+   defining Unicode char U+00DC (decimal 220)
+   defining Unicode char U+00DD (decimal 221)
+   defining Unicode char U+00DE (decimal 222)
+   defining Unicode char U+00DF (decimal 223)
+   defining Unicode char U+00E0 (decimal 224)
+   defining Unicode char U+00E1 (decimal 225)
+   defining Unicode char U+00E2 (decimal 226)
+   defining Unicode char U+00E3 (decimal 227)
+   defining Unicode char U+00E4 (decimal 228)
+   defining Unicode char U+00E5 (decimal 229)
+   defining Unicode char U+00E6 (decimal 230)
+   defining Unicode char U+00E7 (decimal 231)
+   defining Unicode char U+00E8 (decimal 232)
+   defining Unicode char U+00E9 (decimal 233)
+   defining Unicode char U+00EA (decimal 234)
+   defining Unicode char U+00EB (decimal 235)
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+   defining Unicode char U+00EE (decimal 238)
+   defining Unicode char U+00EF (decimal 239)
+   defining Unicode char U+00F0 (decimal 240)
+   defining Unicode char U+00F1 (decimal 241)
+   defining Unicode char U+00F2 (decimal 242)
+   defining Unicode char U+00F3 (decimal 243)
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+   defining Unicode char U+00F5 (decimal 245)
+   defining Unicode char U+00F6 (decimal 246)
+   defining Unicode char U+00F8 (decimal 248)
+   defining Unicode char U+00F9 (decimal 249)
+   defining Unicode char U+00FA (decimal 250)
+   defining Unicode char U+00FB (decimal 251)
+   defining Unicode char U+00FC (decimal 252)
+   defining Unicode char U+00FD (decimal 253)
+   defining Unicode char U+00FE (decimal 254)
+   defining Unicode char U+00FF (decimal 255)
+   defining Unicode char U+0102 (decimal 258)
+   defining Unicode char U+0103 (decimal 259)
+   defining Unicode char U+0104 (decimal 260)
+   defining Unicode char U+0105 (decimal 261)
+   defining Unicode char U+0106 (decimal 262)
+   defining Unicode char U+0107 (decimal 263)
+   defining Unicode char U+010C (decimal 268)
+   defining Unicode char U+010D (decimal 269)
+   defining Unicode char U+010E (decimal 270)
+   defining Unicode char U+010F (decimal 271)
+   defining Unicode char U+0110 (decimal 272)
+   defining Unicode char U+0111 (decimal 273)
+   defining Unicode char U+0118 (decimal 280)
+   defining Unicode char U+0119 (decimal 281)
+   defining Unicode char U+011A (decimal 282)
+   defining Unicode char U+011B (decimal 283)
+   defining Unicode char U+011E (decimal 286)
+   defining Unicode char U+011F (decimal 287)
+   defining Unicode char U+0130 (decimal 304)
+   defining Unicode char U+0131 (decimal 305)
+   defining Unicode char U+0132 (decimal 306)
+   defining Unicode char U+0133 (decimal 307)
+   defining Unicode char U+0139 (decimal 313)
+   defining Unicode char U+013A (decimal 314)
+   defining Unicode char U+013D (decimal 317)
+   defining Unicode char U+013E (decimal 318)
+   defining Unicode char U+0141 (decimal 321)
+   defining Unicode char U+0142 (decimal 322)
+   defining Unicode char U+0143 (decimal 323)
+   defining Unicode char U+0144 (decimal 324)
+   defining Unicode char U+0147 (decimal 327)
+   defining Unicode char U+0148 (decimal 328)
+   defining Unicode char U+014A (decimal 330)
+   defining Unicode char U+014B (decimal 331)
+   defining Unicode char U+0150 (decimal 336)
+   defining Unicode char U+0151 (decimal 337)
+   defining Unicode char U+0152 (decimal 338)
+   defining Unicode char U+0153 (decimal 339)
+   defining Unicode char U+0154 (decimal 340)
+   defining Unicode char U+0155 (decimal 341)
+   defining Unicode char U+0158 (decimal 344)
+   defining Unicode char U+0159 (decimal 345)
+   defining Unicode char U+015A (decimal 346)
+   defining Unicode char U+015B (decimal 347)
+   defining Unicode char U+015E (decimal 350)
+   defining Unicode char U+015F (decimal 351)
+   defining Unicode char U+0160 (decimal 352)
+   defining Unicode char U+0161 (decimal 353)
+   defining Unicode char U+0162 (decimal 354)
+   defining Unicode char U+0163 (decimal 355)
+   defining Unicode char U+0164 (decimal 356)
+   defining Unicode char U+0165 (decimal 357)
+   defining Unicode char U+016E (decimal 366)
+   defining Unicode char U+016F (decimal 367)
+   defining Unicode char U+0170 (decimal 368)
+   defining Unicode char U+0171 (decimal 369)
+   defining Unicode char U+0178 (decimal 376)
+   defining Unicode char U+0179 (decimal 377)
+   defining Unicode char U+017A (decimal 378)
+   defining Unicode char U+017B (decimal 379)
+   defining Unicode char U+017C (decimal 380)
+   defining Unicode char U+017D (decimal 381)
+   defining Unicode char U+017E (decimal 382)
+   defining Unicode char U+200C (decimal 8204)
+   defining Unicode char U+2013 (decimal 8211)
+   defining Unicode char U+2014 (decimal 8212)
+   defining Unicode char U+2018 (decimal 8216)
+   defining Unicode char U+2019 (decimal 8217)
+   defining Unicode char U+201A (decimal 8218)
+   defining Unicode char U+201C (decimal 8220)
+   defining Unicode char U+201D (decimal 8221)
+   defining Unicode char U+201E (decimal 8222)
+   defining Unicode char U+2030 (decimal 8240)
+   defining Unicode char U+2031 (decimal 8241)
+   defining Unicode char U+2039 (decimal 8249)
+   defining Unicode char U+203A (decimal 8250)
+   defining Unicode char U+2423 (decimal 9251)
+)
+Now handling font encoding OT1 ...
+... processing UTF-8 mapping file for font encoding OT1
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/ot1enc.dfu
+File: ot1enc.dfu 2008/04/05 v1.1m UTF-8 support for inputenc
+   defining Unicode char U+00A1 (decimal 161)
+   defining Unicode char U+00A3 (decimal 163)
+   defining Unicode char U+00B8 (decimal 184)
+   defining Unicode char U+00BF (decimal 191)
+   defining Unicode char U+00C5 (decimal 197)
+   defining Unicode char U+00C6 (decimal 198)
+   defining Unicode char U+00D8 (decimal 216)
+   defining Unicode char U+00DF (decimal 223)
+   defining Unicode char U+00E6 (decimal 230)
+   defining Unicode char U+00EC (decimal 236)
+   defining Unicode char U+00ED (decimal 237)
+   defining Unicode char U+00EE (decimal 238)
+   defining Unicode char U+00EF (decimal 239)
+   defining Unicode char U+00F8 (decimal 248)
+   defining Unicode char U+0131 (decimal 305)
+   defining Unicode char U+0141 (decimal 321)
+   defining Unicode char U+0142 (decimal 322)
+   defining Unicode char U+0152 (decimal 338)
+   defining Unicode char U+0153 (decimal 339)
+   defining Unicode char U+2013 (decimal 8211)
+   defining Unicode char U+2014 (decimal 8212)
+   defining Unicode char U+2018 (decimal 8216)
+   defining Unicode char U+2019 (decimal 8217)
+   defining Unicode char U+201C (decimal 8220)
+   defining Unicode char U+201D (decimal 8221)
+)
+Now handling font encoding OMS ...
+... processing UTF-8 mapping file for font encoding OMS
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/omsenc.dfu
+File: omsenc.dfu 2008/04/05 v1.1m UTF-8 support for inputenc
+   defining Unicode char U+00A7 (decimal 167)
+   defining Unicode char U+00B6 (decimal 182)
+   defining Unicode char U+00B7 (decimal 183)
+   defining Unicode char U+2020 (decimal 8224)
+   defining Unicode char U+2021 (decimal 8225)
+   defining Unicode char U+2022 (decimal 8226)
+)
+Now handling font encoding OMX ...
+... no UTF-8 mapping file for font encoding OMX
+Now handling font encoding U ...
+... no UTF-8 mapping file for font encoding U
+   defining Unicode char U+00A9 (decimal 169)
+   defining Unicode char U+00AA (decimal 170)
+   defining Unicode char U+00AE (decimal 174)
+   defining Unicode char U+00BA (decimal 186)
+   defining Unicode char U+02C6 (decimal 710)
+   defining Unicode char U+02DC (decimal 732)
+   defining Unicode char U+200C (decimal 8204)
+   defining Unicode char U+2026 (decimal 8230)
+   defining Unicode char U+2122 (decimal 8482)
+   defining Unicode char U+2423 (decimal 9251)
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
+))
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/lmodern.sty
+Package: lmodern 2009/10/30 v1.6 Latin Modern Fonts
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/n --> OT1/lmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
+(Font)                  OML/cmm/m/it --> OML/lmm/m/it on input line 23.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
+(Font)                  OMS/cmsy/m/n --> OMS/lmsy/m/n on input line 24.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 25.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 26.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
+(Font)                  OML/cmm/b/it --> OML/lmm/b/it on input line 27.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
+(Font)                  OMS/cmsy/b/n --> OMS/lmsy/b/n on input line 28.
+LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
+(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 29.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 31.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmss/m/n --> OT1/lmss/m/n on input line 32.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmr/m/it --> OT1/lmr/m/it on input line 33.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `normal'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 34.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 35.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmss/bx/n --> OT1/lmss/bx/n on input line 36.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmr/bx/it --> OT1/lmr/bx/it on input line 37.
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathtt' in version `bold'
+(Font)                  OT1/cmtt/m/n --> OT1/lmtt/m/n on input line 38.
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks18
+\ex@=\dimen103
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen104
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count90
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count91
+\leftroot@=\count92
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count93
+\DOTSCASE@=\count94
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen105
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count95
+\c@MaxMatrixCols=\count96
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count97
+\dspbrk@lvl=\count98
+\tag@help=\toks19
+\row@=\count99
+\column@=\count100
+\maxfields@=\count101
+\andhelp@=\toks20
+\eqnshift@=\dimen106
+\alignsep@=\dimen107
+\tagshift@=\dimen108
+\tagwidth@=\dimen109
+\totwidth@=\dimen110
+\lineht@=\dimen111
+\@envbody=\toks21
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks22
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2009/06/22 v3.00 Basic AMSFonts support
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 96.
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2009/06/22 v3.00
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/optional/optional.sty
+Package: optional 2005/01/26 ver 2.2b;  Optional inclusion/omission
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/framed/framed.sty
+Package: framed 2011/10/22 v 0.96: framed or shaded text with page breaks
+\OuterFrameSep=\skip46
+\fb@frw=\dimen112
+\fb@frh=\dimen113
+\FrameRule=\dimen114
+\FrameSep=\dimen115
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ntheorem/ntheorem.sty
+Style `ntheorem', Version 1.31 <2011/02/16>
+Package: ntheorem 2011/02/16 1.31
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+)
+\theorem@style=\toks23
+\theorem@@style=\toks24
+\theorembodyfont=\toks25
+\theoremnumbering=\toks26
+\theorempreskipamount=\skip47
+\theorempostskipamount=\skip48
+\theoremframepreskipamount=\skip49
+\theoremframepostskipamount=\skip50
+\theoremindent=\dimen116
+\theorem@indent=\dimen117
+\theoremheaderfont=\toks27
+\theoremseparator=\toks28
+\theoremprework=\toks29
+\theorempostwork=\toks30
+\theoremsymbol=\toks31
+\qedsymbol=\toks32
+\theoremkeyword=\toks33
+\qedsymbol=\toks34
+\thm@topsepadd=\skip51
+Package ntheorem Info: Option `thmmarks' loaded on input line 1066.
+\c@endNonectr=\count102
+\c@currNonectr=\count103
+\mysavskip=\skip52
+Package ntheorem Info: Option `thref' loaded on input line 1066.
+\mysavskip=\skip53
+Package ntheorem Info: option `amsmath' handling for `thref' loaded on input li
+ne 1066.
+Package ntheorem Info: option `amsmath' handling for `thmmarks' loaded on input
+ line 1066.
+\thm@amstmpdepth=\dimen118
+\tagwidth=\dimen119
+\shadecolor=\toks35
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2009/02/05 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2010/04/23 v1.9 graphics configuration of TeX Live
+)
+Package graphics Info: Driver file: dvips.def on input line 91.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/dvips.def
+File: dvips.def 1999/02/16 v3.0i Driver-dependant file (DPC,SPQR)
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/epsfig.sty
+Package: epsfig 1999/02/16 v1.7a (e)psfig emulation (SPQR)
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks36
+)
+\Gin@req@height=\dimen120
+\Gin@req@width=\dimen121
+)
+\epsfxsize=\dimen122
+\epsfysize=\dimen123
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psfrag/psfrag.sty
+Package: psfrag 1998/04/11 v3.04 PSfrag (MCG)
+\pfg@pcount=\count104
+\pfg@scount=\count105
+\pfg@temp=\write3
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/subfigure/subfigure.sty
+Package: subfigure 2002/03/15 v2.1.5 subfigure package
+\subfigtopskip=\skip54
+\subfigcapskip=\skip55
+\subfigcaptopadj=\dimen124
+\subfigbottomskip=\skip56
+\subfigcapmargin=\dimen125
+\subfiglabelskip=\skip57
+\c@subfigure=\count106
+\c@lofdepth=\count107
+\c@subtable=\count108
+\c@lotdepth=\count109
+
+****************************************
+* Local config file subfigure.cfg used *
+****************************************
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/subfigure/subfigure.cfg)
+\subfig@top=\skip58
+\subfig@bottom=\skip59
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/color.sty
+Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/color.cfg
+File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
+File: pdftex.def 2011/05/27 v0.06d Graphics/color for pdfTeX
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty
+Package: infwarerr 2010/04/08 v1.3 Providing info/warning/error messages (HO)
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty
+Package: ltxcmds 2011/11/09 v1.22 LaTeX kernel commands for general use (HO)
+)
+\Gread@gobject=\count110
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/calc.sty
+Package: calc 2007/08/22 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ)
+\calc@Acount=\count111
+\calc@Bcount=\count112
+\calc@Adimen=\dimen126
+\calc@Bdimen=\dimen127
+\calc@Askip=\skip60
+\calc@Bskip=\skip61
+LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 76.
+LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 77.
+\calc@Ccount=\count113
+\calc@Cskip=\skip62
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/listings/listings.sty
+\lst@mode=\count114
+\lst@gtempboxa=\box28
+\lst@token=\toks37
+\lst@length=\count115
+\lst@currlwidth=\dimen128
+\lst@column=\count116
+\lst@pos=\count117
+\lst@lostspace=\dimen129
+\lst@width=\dimen130
+\lst@newlines=\count118
+\lst@lineno=\count119
+\lst@maxwidth=\dimen131
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/listings/lstmisc.sty
+File: lstmisc.sty 2007/02/22 1.4 (Carsten Heinz)
+\c@lstnumber=\count120
+\lst@skipnumbers=\count121
+\lst@framebox=\box29
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/listings/listings.cfg
+File: listings.cfg 2007/02/22 1.4 listings configuration
+))
+Package: listings 2007/02/22 1.4 (Carsten Heinz)
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip11
+Package: url 2006/04/12  ver 3.3  Verb mode for urls, etc.
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/makeidx.sty
+Package: makeidx 2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/longtable.sty
+Package: longtable 2004/02/01 v4.11 Multi-page Table package (DPC)
+\LTleft=\skip63
+\LTright=\skip64
+\LTpre=\skip65
+\LTpost=\skip66
+\LTchunksize=\count122
+\LTcapwidth=\dimen132
+\LT@head=\box30
+\LT@firsthead=\box31
+\LT@foot=\box32
+\LT@lastfoot=\box33
+\LT@cols=\count123
+\LT@rows=\count124
+\c@LT@tables=\count125
+\c@LT@chunks=\count126
+\LT@p@ftn=\toks38
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tabls/tabls.sty
+\tablinesep=\dimen133
+\arraylinesep=\dimen134
+\extrarulesep=\dimen135
+\@arstdepth=\dimen136
+\@arstheight=\dimen137
+\@skip@bove=\dimen138
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/textcomp.sty
+Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+Package textcomp Info: Sub-encoding information:
+(textcomp)               5 = only ISO-Adobe without \textcurrency
+(textcomp)               4 = 5 + \texteuro
+(textcomp)               3 = 4 + \textohm
+(textcomp)               2 = 3 + \textestimated + \textcurrency
+(textcomp)               1 = TS1 - \textcircled - \t
+(textcomp)               0 = TS1 (full)
+(textcomp)             Font families with sub-encoding setting implement
+(textcomp)             only a restricted character set as indicated.
+(textcomp)             Family '?' is the default used for unknown fonts.
+(textcomp)             See the documentation for details.
+Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/ts1enc.def
+File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
+Now handling font encoding TS1 ...
+... processing UTF-8 mapping file for font encoding TS1
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/ts1enc.dfu
+File: ts1enc.dfu 2008/04/05 v1.1m UTF-8 support for inputenc
+   defining Unicode char U+00A2 (decimal 162)
+   defining Unicode char U+00A3 (decimal 163)
+   defining Unicode char U+00A4 (decimal 164)
+   defining Unicode char U+00A5 (decimal 165)
+   defining Unicode char U+00A6 (decimal 166)
+   defining Unicode char U+00A7 (decimal 167)
+   defining Unicode char U+00A8 (decimal 168)
+   defining Unicode char U+00A9 (decimal 169)
+   defining Unicode char U+00AA (decimal 170)
+   defining Unicode char U+00AC (decimal 172)
+   defining Unicode char U+00AE (decimal 174)
+   defining Unicode char U+00AF (decimal 175)
+   defining Unicode char U+00B0 (decimal 176)
+   defining Unicode char U+00B1 (decimal 177)
+   defining Unicode char U+00B2 (decimal 178)
+   defining Unicode char U+00B3 (decimal 179)
+   defining Unicode char U+00B4 (decimal 180)
+   defining Unicode char U+00B5 (decimal 181)
+   defining Unicode char U+00B6 (decimal 182)
+   defining Unicode char U+00B7 (decimal 183)
+   defining Unicode char U+00B9 (decimal 185)
+   defining Unicode char U+00BA (decimal 186)
+   defining Unicode char U+00BC (decimal 188)
+   defining Unicode char U+00BD (decimal 189)
+   defining Unicode char U+00BE (decimal 190)
+   defining Unicode char U+00D7 (decimal 215)
+   defining Unicode char U+00F7 (decimal 247)
+   defining Unicode char U+0192 (decimal 402)
+   defining Unicode char U+02C7 (decimal 711)
+   defining Unicode char U+02D8 (decimal 728)
+   defining Unicode char U+02DD (decimal 733)
+   defining Unicode char U+0E3F (decimal 3647)
+   defining Unicode char U+2016 (decimal 8214)
+   defining Unicode char U+2020 (decimal 8224)
+   defining Unicode char U+2021 (decimal 8225)
+   defining Unicode char U+2022 (decimal 8226)
+   defining Unicode char U+2030 (decimal 8240)
+   defining Unicode char U+2031 (decimal 8241)
+   defining Unicode char U+203B (decimal 8251)
+   defining Unicode char U+203D (decimal 8253)
+   defining Unicode char U+2044 (decimal 8260)
+   defining Unicode char U+204E (decimal 8270)
+   defining Unicode char U+2052 (decimal 8274)
+   defining Unicode char U+20A1 (decimal 8353)
+   defining Unicode char U+20A4 (decimal 8356)
+   defining Unicode char U+20A6 (decimal 8358)
+   defining Unicode char U+20A9 (decimal 8361)
+   defining Unicode char U+20AB (decimal 8363)
+   defining Unicode char U+20AC (decimal 8364)
+   defining Unicode char U+20B1 (decimal 8369)
+   defining Unicode char U+2103 (decimal 8451)
+   defining Unicode char U+2116 (decimal 8470)
+   defining Unicode char U+2117 (decimal 8471)
+   defining Unicode char U+211E (decimal 8478)
+   defining Unicode char U+2120 (decimal 8480)
+   defining Unicode char U+2122 (decimal 8482)
+   defining Unicode char U+2126 (decimal 8486)
+   defining Unicode char U+2127 (decimal 8487)
+   defining Unicode char U+212E (decimal 8494)
+   defining Unicode char U+2190 (decimal 8592)
+   defining Unicode char U+2191 (decimal 8593)
+   defining Unicode char U+2192 (decimal 8594)
+   defining Unicode char U+2193 (decimal 8595)
+   defining Unicode char U+2329 (decimal 9001)
+   defining Unicode char U+232A (decimal 9002)
+   defining Unicode char U+2422 (decimal 9250)
+   defining Unicode char U+25E6 (decimal 9702)
+   defining Unicode char U+25EF (decimal 9711)
+   defining Unicode char U+266A (decimal 9834)
+))
+LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266.
+Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281.
+Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282.
+Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283.
+Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284.
+Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285.
+Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286.
+Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287.
+Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288.
+Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289.
+Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290.
+Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291.
+Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292.
+Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293.
+Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294.
+Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295.
+Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296.
+Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297.
+Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298.
+Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299.
+Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300.
+Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301.
+Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302.
+Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303.
+Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304.
+
+Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305.
+Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306.
+Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307.
+Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308.
+Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309.
+Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310.
+Package textcomp Info: Setting lmr sub-encoding to TS1/0 on input line 311.
+Package textcomp Info: Setting lmdh sub-encoding to TS1/0 on input line 312.
+Package textcomp Info: Setting lmss sub-encoding to TS1/0 on input line 313.
+Package textcomp Info: Setting lmssq sub-encoding to TS1/0 on input line 314.
+Package textcomp Info: Setting lmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 315.
+Package textcomp Info: Setting qhv sub-encoding to TS1/0 on input line 316.
+Package textcomp Info: Setting qag sub-encoding to TS1/0 on input line 317.
+Package textcomp Info: Setting qbk sub-encoding to TS1/0 on input line 318.
+Package textcomp Info: Setting qcr sub-encoding to TS1/0 on input line 319.
+Package textcomp Info: Setting qcs sub-encoding to TS1/0 on input line 320.
+Package textcomp Info: Setting qpl sub-encoding to TS1/0 on input line 321.
+Package textcomp Info: Setting qtm sub-encoding to TS1/0 on input line 322.
+Package textcomp Info: Setting qzc sub-encoding to TS1/0 on input line 323.
+Package textcomp Info: Setting qhvc sub-encoding to TS1/0 on input line 324.
+Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 325.
+Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 326.
+Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 327.
+Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 328.
+Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 329.
+Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 330.
+Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 331.
+Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 332.
+Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 333.
+Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 334.
+Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 335.
+Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 336.
+Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 337.
+Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 338.
+Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 339.
+Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 340.
+) (./slashbox.sty
+slashbox style by K.Yasuoka, May 1993.
+\@slashboxa=\box34
+\@slashboxb=\box35
+\@slashboxc=\box36
+\@slashboxwd=\count127
+\@slashboxht=\count128
+\@slashsepl=\dimen139
+\@slashsepr=\dimen140
+) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/times.sty
+Package: times 2005/04/12 PSNFSS-v9.2a (SPQR) 
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/gastex/gastex.sty
+Package: gastex 2006/11/28 v2.8
+\c@cnt@a=\count129
+\c@cnt@b=\count130
+\c@cnt@c=\count131
+\dim@x=\dimen141
+\dim@y=\dimen142
+\temp@box=\box37
+\d@my@unit=\dimen143
+\c@cnt@@a=\count132
+\c@cnt@@b=\count133
+\c@cnt@@c=\count134
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/multirow/multirow.sty
+\bigstrutjot=\dimen144
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2008/07/08 v3.8m The Babel package
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/frenchb.ldf
+Language: frenchb 2010/08/21 v2.5a French support from the babel system
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2008/07/08 v3.8m Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count135
+\U@D=\dimen145
+
+
+LaTeX Warning: Command \@testdef  has changed.
+               Check if current package is valid.
+
+)
+
+Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
+(babel)                the language `French'
+(babel)                I will use the patterns loaded for \language=0 instead.
+
+\l@french = a dialect from \language0
+Package babel Info: Making : an active character on input line 234.
+Package babel Info: Making ; an active character on input line 235.
+Package babel Info: Making ! an active character on input line 236.
+Package babel Info: Making ? an active character on input line 237.
+\FB@Mht=\dimen146
+\std@mcc=\count136
+\dec@mcc=\count137
+\parindentFFN=\dimen147
+*************************************
+* Local config file frenchb.cfg used
+*
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/frenchb.cfg))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/frenchb.ldf
+Language: frenchb 2010/08/21 v2.5a French support from the babel system
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/carlisle/scalefnt.sty)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2010/09/12 v5.6 Page Geometry
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
+Package: ifpdf 2011/01/30 v2.3 Provides the ifpdf switch (HO)
+Package ifpdf Info: pdfTeX in PDF mode is detected.
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/ifvtex.sty
+Package: ifvtex 2010/03/01 v1.5 Detect VTeX and its facilities (HO)
+Package ifvtex Info: VTeX not detected.
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
+Package: ifxetex 2010/09/12 v0.6 Provides ifxetex conditional
+)
+\Gm@cnth=\count138
+\Gm@cntv=\count139
+\c@Gm@tempcnt=\count140
+\Gm@bindingoffset=\dimen148
+\Gm@wd@mp=\dimen149
+\Gm@odd@mp=\dimen150
+\Gm@even@mp=\dimen151
+\Gm@layoutwidth=\dimen152
+\Gm@layoutheight=\dimen153
+\Gm@layouthoffset=\dimen154
+\Gm@layoutvoffset=\dimen155
+\Gm@dimlist=\toks39
+)
+(./symboles.sty)
+\c@currExoctr=\count141
+\c@endExoctr=\count142
+\c@Exo=\count143
+\c@currExocctr=\count144
+\c@endExocctr=\count145
+\c@currExctr=\count146
+\c@endExctr=\count147
+\c@currRemctr=\count148
+\c@endRemctr=\count149
+\c@Rem=\count150
+\c@currNotationctr=\count151
+\c@endNotationctr=\count152
+\c@Notation=\count153
+\c@currDefctr=\count154
+\c@endDefctr=\count155
+\c@Def=\count156
+\c@currThctr=\count157
+\c@endThctr=\count158
+\c@Th=\count159
+\c@currCorollaryctr=\count160
+\c@endCorollaryctr=\count161
+\c@currPrectr=\count162
+\c@endPrectr=\count163
+\c@Pre=\count164
+\c@currLemmactr=\count165
+\c@endLemmactr=\count166
+\c@Lemma=\count167
+\c@currProofctr=\count168
+\c@endProofctr=\count169
+\c@Proof=\count170
+\c@currQqctr=\count171
+\c@endQqctr=\count172
+\c@Qq=\count173
+ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2012/05/13 v6.82q Hypertext links for LaTeX
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty
+Package: hobsub-hyperref 2012/05/28 v1.13 Bundle oberdiek, subset hyperref (HO)
+
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty
+Package: hobsub-generic 2012/05/28 v1.13 Bundle oberdiek, subset generic (HO)
+Package: hobsub 2012/05/28 v1.13 Construct package bundles (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `infwarerr' (already loaded).
+Package hobsub Info: Skipping package `ltxcmds' (already loaded).
+Package: ifluatex 2010/03/01 v1.3 Provides the ifluatex switch (HO)
+Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
+Package hobsub Info: Skipping package `ifvtex' (already loaded).
+Package: intcalc 2007/09/27 v1.1 Expandable calculations with integers (HO)
+Package hobsub Info: Skipping package `ifpdf' (already loaded).
+Package: etexcmds 2011/02/16 v1.5 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO)
+Package etexcmds Info: Could not find \expanded.
+(etexcmds)             That can mean that you are not using pdfTeX 1.50 or
+(etexcmds)             that some package has redefined \expanded.
+(etexcmds)             In the latter case, load this package earlier.
+Package: kvsetkeys 2012/04/25 v1.16 Key value parser (HO)
+Package: kvdefinekeys 2011/04/07 v1.3 Define keys (HO)
+Package: pdftexcmds 2011/11/29 v0.20 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO
+)
+Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
+Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found.
+Package: pdfescape 2011/11/25 v1.13 Implements pdfTeX's escape features (HO)
+Package: bigintcalc 2012/04/08 v1.3 Expandable calculations on big integers (HO
+)
+Package: bitset 2011/01/30 v1.1 Handle bit-vector datatype (HO)
+Package: uniquecounter 2011/01/30 v1.2 Provide unlimited unique counter (HO)
+)
+Package hobsub Info: Skipping package `hobsub' (already loaded).
+Package: letltxmacro 2010/09/02 v1.4 Let assignment for LaTeX macros (HO)
+Package: hopatch 2012/05/28 v1.2 Wrapper for package hooks (HO)
+Package: xcolor-patch 2011/01/30 xcolor patch
+Package: atveryend 2011/06/30 v1.8 Hooks at the very end of document (HO)
+Package atveryend Info: \enddocument detected (standard20110627).
+Package: atbegshi 2011/10/05 v1.16 At begin shipout hook (HO)
+Package: refcount 2011/10/16 v3.4 Data extraction from label references (HO)
+Package: hycolor 2011/01/30 v1.7 Color options for hyperref/bookmark (HO)
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2011/06/30 v3.11 Key value format for package options (HO)
+)
+\@linkdim=\dimen156
+\Hy@linkcounter=\count174
+\Hy@pagecounter=\count175
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2012/05/13 v6.82q Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+Now handling font encoding PD1 ...
+... no UTF-8 mapping file for font encoding PD1
+)
+\Hy@SavedSpaceFactor=\count176
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+)
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4062.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4067.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4070.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4077.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4082.
+Package hyperref Info: Implicit mode ON; LaTeX internals redefined.
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4300.
+\c@Hy@tempcnt=\count177
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 4653.
+\Fld@menulength=\count178
+\Field@Width=\dimen157
+\Fld@charsize=\dimen158
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 5773.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 5778.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 5781.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 5788.
+Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 5793.
+Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 5798.
+Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 5803.
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 5843.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 5847.
+\Hy@abspage=\count179
+\c@Item=\count180
+\c@Hfootnote=\count181
+)
+
+Package hyperref Message: Driver (autodetected): hpdftex.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2012/05/13 v6.82q Hyperref driver for pdfTeX
+\Fld@listcount=\count182
+\c@bookmark@seq@number=\count183
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty
+Package: rerunfilecheck 2011/04/15 v1.7 Rerun checks for auxiliary files (HO)
+Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2
+82.
+)
+\Hy@SectionHShift=\skip67
+)
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 190.
+Package hyperref Info: Option `breaklinks' set `true' on input line 190.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 190.
+\@indexfile=\write4
+\openout4 = `main13.idx'.
+
+
+Writing index file main13.idx
+(./main13.aux (./Remerciements.aux) (./PPN.aux) (./Bibliographie.aux))
+\openout1 = `main13.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 217.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 217.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 217.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 217.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 217.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 217.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for TS1+cmr on input line 217.
+
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/ts1cmr.fd
+File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 217.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 217.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+ptm on input line 217.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/t1ptm.fd
+File: t1ptm.fd 2001/06/04 font definitions for T1/ptm.
+)
+Specify which optional text to process:
+
+\UseOption=
+
+Package optional Warning: No options were selected, so all optional text will b
+e printed on input line 217.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/epstopdf-base.sty
+Package: epstopdf-base 2010/02/09 v2.5 Base part for package epstopdf
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/grfext.sty
+Package: grfext 2010/08/19 v1.1 Manage graphics extensions (HO)
+)
+Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4
+34.
+Package grfext Info: Graphics extension search list:
+(grfext)             [.png,.pdf,.jpg,.mps,.jpeg,.jbig2,.jb2,.PNG,.PDF,.JPG,.JPE
+G,.JBIG2,.JB2,.eps]
+(grfext)             \AppendGraphicsExtensions on input line 452.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg
+File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv
+e
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/context/base/supp-pdf.mkii
+[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
+\scratchcounter=\count184
+\scratchdimen=\dimen159
+\scratchbox=\box38
+\nofMPsegments=\count185
+\nofMParguments=\count186
+\everyMPshowfont=\toks40
+\MPscratchCnt=\count187
+\MPscratchDim=\dimen160
+\MPnumerator=\count188
+\makeMPintoPDFobject=\count189
+\everyMPtoPDFconversion=\toks41
+)
+\c@lstlisting=\count190
+LaTeX Info: Redefining \degres on input line 217.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 217.
+LaTeX Info: Redefining \up on input line 217.
+
+*geometry* driver: auto-detecting
+*geometry* detected driver: pdftex
+*geometry* verbose mode - [ preamble ] result:
+* driver: pdftex
+* paper: a4paper
+* layout: <same size as paper>
+* layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt)
+* modes: 
+* h-part:(L,W,R)=(71.13188pt, 455.24411pt, 71.13188pt)
+* v-part:(T,H,B)=(71.13188pt, 702.78308pt, 71.13188pt)
+* \paperwidth=597.50787pt
+* \paperheight=845.04684pt
+* \textwidth=455.24411pt
+* \textheight=702.78308pt
+* \oddsidemargin=-1.1381pt
+* \evensidemargin=-1.1381pt
+* \topmargin=-38.1381pt
+* \headheight=12.0pt
+* \headsep=25.0pt
+* \topskip=11.0pt
+* \footskip=30.0pt
+* \marginparwidth=50.0pt
+* \marginparsep=10.0pt
+* \columnsep=10.0pt
+* \skip\footins=10.0pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+* \hoffset=0.0pt
+* \voffset=0.0pt
+* \mag=1000
+* \@twocolumnfalse
+* \@twosidefalse
+* \@mparswitchfalse
+* \@reversemarginfalse
+* (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt)
+
+\AtBeginShipoutBox=\box39
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 217.
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2010/04/30 v2.40 Cross-referencing by name of section
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty
+Package: gettitlestring 2010/12/03 v1.4 Cleanup title references (HO)
+)
+\c@section@level=\count191
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 217.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 217.
+LaTeX Info: Redefining \nameref on input line 217.
+
+(./main13.out) (./main13.out)
+\@outlinefile=\write5
+\openout5 = `main13.out'.
+
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for OT1+lmr on input line 221.
+
+ (/usr/share/texmf/tex/latex/lm/ot1lmr.fd
+File: ot1lmr.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for OML+lmm on input line 221.
+
+
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/omllmm.fd
+File: omllmm.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+lmsy on input line 221
+.
+
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/omslmsy.fd
+File: omslmsy.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMX+lmex on input line 221
+.
+
+(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/omxlmex.fd
+File: omxlmex.fd 2009/10/30 v1.6 Font defs for Latin Modern
+)
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <12> on input line 221.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <8> on input line 221.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <6> on input line 221.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 221.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols A
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 221.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols B
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+pcr on input line 221.
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/t1pcr.fd
+File: t1pcr.fd 2001/06/04 font definitions for T1/pcr.
+) [1
+Non-PDF special ignored!
+
+
+Non-PDF special ignored!{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}]
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <24.88> not available
+(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 221.
+
+(./main13.toc
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <12> not available
+(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 2.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <10.95> not available
+(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 3.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <10.95> on input line 4.
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{page.1}) has 
+been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.44 \contentsline {chapter}{Index}{32}{chapter.4}
+                                                   [1
+
+])
+\tf@toc=\write6
+\openout6 = `main13.toc'.
+
+ [2]
+\openout2 = `Remerciements.aux'.
+
+
+No file Remerciements.tex.
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <20.74> not available
+(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 229.
+[3
+
+
+
+]
+Chapitre 1.
+(./logique/AlgBoole13.tex
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <14.4> not available
+(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 2.
+Package hyperref Info: bookmark level for unknown Def defaults to 0 on input li
+ne 6.
+
+Overfull \hbox (8.67114pt too wide) in paragraph at lines 6--11
+[]\T1/ptm/m/sl/10.95 On ap-pelle \T1/ptm/m/n/10.95 al-gèbre de Boole[] \T1/ptm/
+m/sl/10.95 la struc-ture al-gébrique $\OT1/lmr/m/n/10.95 (\OMS/lmsy/m/n/10.95 A
+\OML/lmm/m/it/10.95 ; \OT1/lmr/m/n/10.95 +\OML/lmm/m/it/10.95 ; :; []\OT1/lmr/m
+/n/10.95 )$
+ []
+
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <10> on input line 36.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <7> on input line 36.
+LaTeX Font Info:    External font `lmex10' loaded for size
+(Font)              <5> on input line 36.
+Package hyperref Info: bookmark level for unknown Rem defaults to 0 on input li
+ne 68.
+Package hyperref Info: bookmark level for unknown Exo defaults to 0 on input li
+ne 74.
+[4
+
+]
+Package hyperref Info: bookmark level for unknown Th defaults to 0 on input lin
+e 152.
+Package hyperref Info: bookmark level for unknown Proof defaults to 0 on input 
+line 162.
+Package hyperref Info: bookmark level for unknown Ex defaults to 0 on input lin
+e 172.
+ [5]
+Overfull \hbox (0.52283pt too wide) in paragraph at lines 327--329
+[]\T1/ptm/m/sl/10.95 Un \T1/ptm/m/n/10.95 monôme[] \T1/ptm/m/sl/10.95 est une f
+onc-tion booléenne pro-duit de vari-ables booléennes
+ []
+
+[6] [7] [8]
+Package hyperref Info: bookmark level for unknown Exoc defaults to 0 on input l
+ine 500.
+ [9]
+Overfull \hbox (0.39145pt too wide) in paragraph at lines 626--627
+[]\T1/ptm/m/it/10.95 Donner la forme canon-ique dis-jonc-tive de la fonc-tion b
+ooléeene
+ []
+
+[10]) [11]
+Chapitre 2.
+(./logique/Propositions13.texpdfTeX warning (ext4): destination with the same i
+dentifier (name{Def.1}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.34 \begin{Def}
+                [Proposition]pdfTeX warning (ext4): destination with the same i
+dentifier (name{Exo.1}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.43 \begin{Ex}
+                [12
+
+]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Rem.1}) has 
+been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.175 \begin{Rem}
+                  [13]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifi
+er (name{Exo.2}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.197 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Rem.2}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.219 \begin{Rem}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.3}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.225 \begin{Exoc}
+                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (
+name{Exo.4}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.256 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.5}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.289 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.6}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.300 \begin{Exo}
+                  [14]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for TS1+ptm on input line 309.
+
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ts1ptm.fd
+File: ts1ptm.fd 2001/06/04 font definitions for TS1/ptm.
+)pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Th.1}) has b
+een already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.400 \begin{Th}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Rem.3}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.420 \begin{Rem}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.7}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.431 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.8}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.452 \begin{Exo}
+                  [15]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifi
+er (name{Exo.9}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.474 \begin{Exo}
+                 
+Overfull \hbox (2.21603pt too wide) in paragraph at lines 482--487
+[]\T1/ptm/m/n/10.95 Lorsqu'on rem-place, dans une for-mule propo-si-tion-nelle,
+ les vari-ables propo-si-tion-nelles par des propo-
+ []
+
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Th.2}) has be
+en already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.488 \begin{Th}
+                [Règles de priorité des connecteurs logiques]
+Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 489--491
+[]\T1/ptm/m/n/10.95 Les con-ven-tions de
+ []
+
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Exo.10}) has 
+been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.499 \begin{Ex}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Th.3}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.507 \begin{Th}
+                [Associativité des opérateurs $\ou$ et $\et$]pdfTeX warning (
+ext4): destination with the same identifier (name{Exo.11}) has been already use
+d, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.528 \begin{Exoc}
+                   [16]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identif
+ier (name{Exo.12}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.573 \begin{Exoc}
+                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (
+name{Exo.13}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.602 \begin{Exo}
+                  [17]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifi
+er (name{Def.2}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.750 \begin{Def}
+                 [Fonction de vérité de $F$]pdfTeX warning (ext4): destinatio
+n with the same identifier (name{Exo.14}) has been already used, duplicate igno
+red
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.803 \begin{Ex}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Def.3}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.842 \begin{Def}
+                 [Tautologie]
+Package hyperref Info: bookmark level for unknown Notation defaults to 0 on inp
+ut line 857.
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Exo.15}) has 
+been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.861 \begin{Ex}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Exo.16}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.867 \begin{Ex}
+                 [18]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifie
+r (name{Exo.17}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.923 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Def.4}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.950 \begin{Def}
+                 [Antilogie]pdfTeX warning (ext4): destination with the same id
+entifier (name{Exo.18}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.958 \begin{Ex}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Exo.19}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.969 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Def.5}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1005 \begin{Def}
+                  [Conséquence logique]
+Overfull \hbox (9.10168pt too wide) in paragraph at lines 1015--1017
+[]\T1/ptm/m/n/10.95 On note ce ré-sul-tat : $\OMS/lmsy/m/n/10.95 f\OML/lmm/m/it
+/10.95 F[]; [] ; F[]\OMS/lmsy/m/n/10.95 g j[]\OT1/lmr/m/n/10.95 = \OML/lmm/m/it
+/10.95 A$ \T1/ptm/m/n/10.95 (se lit : $\OML/lmm/m/it/10.95 A$ \T1/ptm/m/n/10.95
+ est con-séquence logique de $\OMS/lmsy/m/n/10.95 f\OML/lmm/m/it/10.95 F[]; [] 
+; F[]\OMS/lmsy/m/n/10.95 g$\T1/ptm/m/n/10.95 ). $$ 
+ []
+
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Exo.20}) has 
+been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1023 \begin{Ex}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.21}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1065 \begin{Exo}
+                   [19]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identif
+ier (name{Exo.22}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1086 \begin{Exo}
+                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (
+name{Def.6}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1119 \begin{Def}
+                  [Formules équivalentes]
+Overfull \hbox (12.18623pt too wide) in paragraph at lines 1120--1124
+[]\T1/ptm/m/sl/10.95 Si la for-mule propo-si-tion-nelle $\OML/lmm/m/it/10.95 G$
+ \T1/ptm/m/sl/10.95 est con-séquence logique
+ []
+
+[20]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Th.4}) ha
+s been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1270 \begin{Th}
+                 [Théorème de substitution]
+Underfull \hbox (badness 1552) in paragraph at lines 1272--1277
+[]\T1/ptm/m/n/10.95 Soit $\OML/lmm/m/it/10.95 F$ \T1/ptm/m/n/10.95 une for-mule
+ propo-si-tion-nelle dans
+ []
+
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Proof.1}) has
+ been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1284 \begin{Proof}
+                     [21]pdfTeX warning (ext4): destination with the same ident
+ifier (name{Th.5}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1326 \begin{Th}
+                 [Théorème de la validité]pdfTeX warning (ext4): destination
+ with the same identifier (name{Proof.2}) has been already used, duplicate igno
+red
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.1338 \begin{Proof}
+                     [22]
+Overfull \hbox (1.48752pt too wide) in paragraph at lines 1490--1492
+[]\T1/ptm/m/it/10.95 Après une in-tense réflex-ion, l'in-specteur fait sor-tir 
+l'un des deux de l'hôpi-tal. Lequel (et pourquoi?) 
+ []
+
+[23]) [24] [25
+
+]
+Chapitre 3.
+(./ensembles/IntroAuxEnsembles13.texpdfTeX warning (ext4): destination with the
+ same identifier (name{Notation.1}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.16 \begin{Notation}
+                     pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifie
+r (name{Exo.1}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.20 \begin{Exo}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Def.1}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.55 \begin{Def}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Th.1}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.60 \begin{Th}
+                [26
+
+]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Proof.1}) ha
+s been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.64 \begin{Proof}
+                  pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (
+name{Th.2}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.72 \begin{Th}
+               pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (nam
+e{Def.2}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.77 \begin{Def}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Th.3}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.83 \begin{Th}
+               pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (nam
+e{Exo.2}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.88 \begin{Ex}
+               pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (nam
+e{Exo.3}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.93 \begin{Exo}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Exo.4}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.98 \begin{Exo}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Exo.5}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.110 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.6}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.117 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.7}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.122 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Def.3}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.131 \begin{Def}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.8}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.139 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Def.4}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.151 \begin{Def}
+                 [Reunion]\index{réunion} [27]pdfTeX warning (ext4): destinati
+on with the same identifier (name{Exo.9}) has been already used, duplicate igno
+red
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.155 \begin{Ex}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Def.5}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.160 \begin{Def}
+                 [Intersection]\index{réunion}
+Overfull \hbox (1.73936pt too wide) in paragraph at lines 161--163
+[]\T1/ptm/m/sl/10.95 L'\T1/ptm/m/n/10.95 intersection \T1/ptm/m/sl/10.95 des de
+ux en-sem-bles $\OML/lmm/m/it/10.95 A$ \T1/ptm/m/sl/10.95 et $\OML/lmm/m/it/10.
+95 B$\T1/ptm/m/sl/10.95 , notée $\OML/lmm/m/it/10.95 A \OMS/lmsy/m/n/10.95 \ \O
+ML/lmm/m/it/10.95 B$\T1/ptm/m/sl/10.95 , est l'ensem-
+ []
+
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Th.4}) has be
+en already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.171 \begin{Th}
+                [Propriétés de la réunion et de l'intersection]
+Underfull \hbox (badness 1496) in paragraph at lines 172--173
+[]\T1/ptm/m/n/10.95 La réu-nion de deux
+ []
+
+pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{Exo.10}) has 
+been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.181 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.11}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.185 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Th.5}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.190 \begin{Th}
+                [Distributivités de $\cup$ et $\cap$]pdfTeX warning (ext4): de
+stination with the same identifier (name{Exo.12}) has been already used, duplic
+ate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.198 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Def.6}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.205 \begin{Def}
+                 [Complémentation]pdfTeX warning (ext4): destination with the 
+same identifier (name{Th.6}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.211 \begin{Th}
+                pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (na
+me{Exo.13}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.221 \begin{Exo}
+                  [28]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifi
+er (name{Exo.14}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.247 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.15}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.257 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.16}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.277 \begin{Exo}
+                 pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (n
+ame{Exo.17}) has been already used, duplicate ignored
+<to be read again> 
+                   \relax 
+l.300 \begin{Exo}
+                 [Fonction caractéristique des parties d'un ensemble])
+[29] [30
+
+]
+\openout2 = `PPN.aux'.
+
+ (./PPN.tex
+Chapitre 4.
+) [31
+
+
+]
+No file main13.ind.
+(./main13.bbl) [32
+
+
+]
+\openout2 = `Bibliographie.aux'.
+
+ (./Bibliographie.tex
+LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/it' in size <10.95> not available
+(Font)              Font shape `T1/ptm/b/it' tried instead on input line 5.
+
+Overfull \hbox (1.34502pt too wide) in paragraph at lines 5--6
+[]\T1/ptm/m/n/10.95 ] : les thèmes abor-dés sont
+ []
+
+
+Overfull \hbox (11.59552pt too wide) in paragraph at lines 13--14
+[]\T1/ptm/m/n/10.95 ] : Pour un pub-lic aver-tis, souhai-
+ []
+
+) [33
+
+
+]
+\tf@thm=\write7
+\openout7 = `main13.thm'.
+
+Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 336.
+Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 336.
+ (./main13.aux (./Remerciements.aux) (./PPN.aux) (./Bibliographie.aux))
+Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 336.
+Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 336.
+Package rerunfilecheck Info: File `main13.out' has not changed.
+(rerunfilecheck)             Checksum: FE2BA6ABEDAA2441DE165780E5526158;2663.
+Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryVeryEnd' on input line 336.
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 11735 strings out of 495059
+ 158886 string characters out of 3182030
+ 286404 words of memory out of 3000000
+ 14335 multiletter control sequences out of 15000+200000
+ 97094 words of font info for 97 fonts, out of 3000000 for 9000
+ 14 hyphenation exceptions out of 8191
+ 30i,13n,32p,469b,618s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s
+{/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}{/usr/share/texmf/
+fonts/enc/dvips/lm/lm-mathex.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathsy
+.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-mathit.enc}{/usr/share/texmf/fonts
+/enc/dvips/lm/lm-rm.enc}</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfo
+nts/latxfont/line10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmex10.pfb></us
+r/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
+blic/lm/lmmi6.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmmi8.pfb></usr/share
+/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/
+lmr6.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr8.pfb></usr/share/texmf/fon
+ts/type1/public/lm/lmsy10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy6.pfb
+></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmsy8.pfb></usr/share/texlive/texmf-di
+st/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msam10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dis
+t/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist
+/fonts/type1/urw/courier/ucrr8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/
+urw/times/utmb8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmbi
+8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmr8a.pfb></usr/sh
+are/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmr8a.pfb></usr/share/texlive/tex
+mf-dist/fonts/type1/urw/times/utmri8a.pfb>
+Output written on main13.pdf (34 pages, 301042 bytes).
+PDF statistics:
+ 711 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
+ 649 compressed objects within 7 object streams
+ 296 named destinations out of 1000 (max. 500000)
+ 281 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+
diff --git a/main13.out b/main13.out
new file mode 100644
index 0000000..bb25220
--- /dev/null
+++ b/main13.out
@@ -0,0 +1,35 @@
+\BOOKMARK [-1][]{part.1}{I Logique}{}% 1
+\BOOKMARK [0][]{chapter.1}{Alg\350bre de Boole}{part.1}% 2
+\BOOKMARK [1][]{section.1.1}{Propri\351t\351s g\351n\351rales}{chapter.1}% 3
+\BOOKMARK [1][]{section.1.2}{R\350gles de calcul dans une alg\350bre de Boole}{chapter.1}% 4
+\BOOKMARK [1][]{section.1.3}{Fonctions bool\351ennes}{chapter.1}% 5
+\BOOKMARK [2][]{subsection.1.3.1}{Formes canoniques d'une fonction bool\351enne}{section.1.3}% 6
+\BOOKMARK [2][]{subsection.1.3.2}{Obtention des formes canoniques}{section.1.3}% 7
+\BOOKMARK [1][]{section.1.4}{Diagrammes de Karnaugh}{chapter.1}% 8
+\BOOKMARK [0][]{chapter.2}{Logique des pr\351dicats}{part.1}% 9
+\BOOKMARK [1][]{section.2.1}{Les propositions}{chapter.2}% 10
+\BOOKMARK [1][]{section.2.2}{Les connecteurs logiques}{chapter.2}% 11
+\BOOKMARK [2][]{subsection.2.2.1}{Tables de v\351rit\351 des connecteurs logiques}{section.2.2}% 12
+\BOOKMARK [2][]{subsection.2.2.2}{Variables et formules propositionnelles}{section.2.2}% 13
+\BOOKMARK [1][]{section.2.3}{S\351mantique du calcul propositionnel}{chapter.2}% 14
+\BOOKMARK [2][]{subsection.2.3.1}{Fonctions de v\351rit\351}{section.2.3}% 15
+\BOOKMARK [2][]{subsection.2.3.2}{Formules propositionnelles particuli\350res}{section.2.3}% 16
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+\contentsline {Proof}{{Preuve}{1.{$\gamma $}}{}}{7}{Proof.3}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{5}}{Forme canonique disjonctive}}{7}{Th.5}
+\contentsline {Rem}{{Remarque}{1.{2}}{}}{7}{Rem.2}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{6}}{Forme canonique conjonctive}}{8}{Th.6}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{13}}{}}{8}{Exo.13}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{14}}{}}{8}{Exo.14}
+\contentsline {Rem}{{Remarque}{1.{3}}{}}{8}{Rem.3}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{15}}{}}{8}{Exo.15}
+\contentsline {Exoc}{{Exercice (corrigé)}{1.{16}}{}}{9}{Exo.16}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{17}}{Fonctions booléennes}}{10}{Exo.17}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{18}}{}}{10}{Exo.18}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{19}}{Application de la méthode de Karnaugh}}{10}{Exo.19}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{20}}{Composition de la méthode de Karnaugh}}{10}{Exo.20}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{21}}{BTS-2009}}{10}{Exo.21}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{22}}{BTS-2002}}{10}{Exo.22}
+\contentsline {Def}{{Définition}{2.{1}}{Proposition}}{12}{Def.1}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{1}}{}}{12}{Exo.1}
+\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{1}}{}}{13}{Rem.1}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{2}}{}}{14}{Exo.2}
+\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{2}}{}}{14}{Rem.2}
+\contentsline {Exoc}{{Exercice (corrigé)}{2.{3}}{}}{14}{Exo.3}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{4}}{}}{14}{Exo.4}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{5}}{}}{14}{Exo.5}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{6}}{}}{15}{Exo.6}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{1}}{}}{15}{Th.1}
+\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{3}}{}}{15}{Rem.3}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{7}}{}}{15}{Exo.7}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{8}}{}}{16}{Exo.8}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{9}}{}}{16}{Exo.9}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{2}}{Règles de priorité des connecteurs logiques}}{16}{Th.2}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{10}}{}}{16}{Exo.10}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{3}}{Associativité des opérateurs $\ou $ et $\et $}}{16}{Th.3}
+\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{4}}{}}{16}{Rem.4}
+\contentsline {Exoc}{{Exercice (corrigé)}{2.{11}}{}}{16}{Exo.11}
+\contentsline {Exoc}{{Exercice (corrigé)}{2.{12}}{}}{17}{Exo.12}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{13}}{}}{17}{Exo.13}
+\contentsline {Def}{{Définition}{2.{2}}{Fonction de vérité de $F$}}{18}{Def.2}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{14}}{}}{18}{Exo.14}
+\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{5}}{}}{18}{Rem.5}
+\contentsline {Def}{{Définition}{2.{3}}{Tautologie}}{18}{Def.3}
+\contentsline {Notation}{{Notation}{2.{1}}{}}{18}{Notation.1}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{15}}{}}{18}{Exo.15}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{16}}{}}{18}{Exo.16}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{17}}{}}{19}{Exo.17}
+\contentsline {Def}{{Définition}{2.{4}}{Antilogie}}{19}{Def.4}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{18}}{}}{19}{Exo.18}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{19}}{}}{19}{Exo.19}
+\contentsline {Def}{{Définition}{2.{5}}{Conséquence logique}}{19}{Def.5}
+\contentsline {Notation}{{Notation}{2.{2}}{}}{19}{Notation.2}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{20}}{}}{19}{Exo.20}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{21}}{}}{20}{Exo.21}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{22}}{}}{20}{Exo.22}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{23}}{}}{20}{Exo.23}
+\contentsline {Def}{{Définition}{2.{6}}{Formules équivalentes}}{20}{Def.6}
+\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{6}}{}}{20}{Rem.6}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{24}}{}}{20}{Exo.24}
+\contentsline {Exoc}{{Exercice (corrigé)}{2.{25}}{}}{21}{Exo.25}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{26}}{}}{21}{Exo.26}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{4}}{Théorème de substitution}}{21}{Th.4}
+\contentsline {Proof}{{Preuve}{2.{$\alpha $}}{}}{21}{Proof.1}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{27}}{}}{21}{Exo.27}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{28}}{}}{22}{Exo.28}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{5}}{Théorème de la validité}}{22}{Th.5}
+\contentsline {Proof}{{Preuve}{2.{$\beta $}}{}}{22}{Proof.2}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{29}}{Exemple d'application}}{22}{Exo.29}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{30}}{}}{23}{Exo.30}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{31}}{}}{23}{Exo.31}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{32}}{}}{23}{Exo.32}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{33}}{}}{23}{Exo.33}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{34}}{}}{23}{Exo.34}
+\contentsline {Notation}{{Notation}{3.{1}}{}}{26}{Notation.1}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{1}}{}}{26}{Exo.1}
+\contentsline {Def}{{Définition}{3.{1}}{}}{26}{Def.1}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{1}}{}}{27}{Th.1}
+\contentsline {Proof}{{Preuve}{3.{$\alpha $}}{}}{27}{Proof.1}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{2}}{}}{27}{Th.2}
+\contentsline {Def}{{Définition}{3.{2}}{}}{27}{Def.2}
+\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{3}}{}}{27}{Th.3}
+\contentsline {Ex}{{Exemple}{3.{2}}{}}{27}{Exo.2}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{3}}{}}{27}{Exo.3}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{4}}{}}{27}{Exo.4}
+\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{5}}{}}{27}{Exo.5}
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+\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{17}}{Fonction caractéristique des parties d'un ensemble}}{29}{Exo.17}
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+++ b/main13.toc
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+\contentsline {part}{I\hspace {1em}Logique}{3}{part.1}
+\contentsline {chapter}{\numberline {1}Alg\IeC {\`e}bre de Boole}{4}{chapter.1}
+\contentsline {section}{\numberline {I}Propri\IeC {\'e}t\IeC {\'e}s g\IeC {\'e}n\IeC {\'e}rales}{4}{section.1.1}
+\contentsline {section}{\numberline {II}R\IeC {\`e}gles de calcul dans une alg\IeC {\`e}bre de Boole}{5}{section.1.2}
+\contentsline {section}{\numberline {III}Fonctions bool\IeC {\'e}ennes}{6}{section.1.3}
+\contentsline {subsection}{\numberline {III.1}Formes canoniques d'une fonction bool\IeC {\'e}enne}{7}{subsection.1.3.1}
+\contentsline {subsection}{\numberline {III.2}Obtention des formes canoniques}{8}{subsection.1.3.2}
+\contentsline {section}{\numberline {IV}Diagrammes de Karnaugh}{8}{section.1.4}
+\contentsline {chapter}{\numberline {2}Logique des pr\IeC {\'e}dicats}{12}{chapter.2}
+\contentsline {section}{\numberline {I}Les propositions}{12}{section.2.1}
+\contentsline {section}{\numberline {II}Les connecteurs logiques}{12}{section.2.2}
+\contentsline {subsection}{\numberline {II.1}Tables de v\IeC {\'e}rit\IeC {\'e} des connecteurs logiques}{13}{subsection.2.2.1}
+\contentsline {subsection}{\numberline {II.2}Variables et formules propositionnelles}{15}{subsection.2.2.2}
+\contentsline {section}{\numberline {III}S\IeC {\'e}mantique du calcul propositionnel}{17}{section.2.3}
+\contentsline {subsection}{\numberline {III.1}Fonctions de v\IeC {\'e}rit\IeC {\'e}}{18}{subsection.2.3.1}
+\contentsline {subsection}{\numberline {III.2}Formules propositionnelles particuli\IeC {\`e}res}{18}{subsection.2.3.2}
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {III.2.1}Tautologies}{18}{subsubsection.2.3.2.1}
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {III.2.2}Antilogies}{19}{subsubsection.2.3.2.2}
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+\contentsline {subsection}{\numberline {III.4}Formules \IeC {\'e}quivalentes}{20}{subsection.2.3.4}
+\contentsline {subsection}{\numberline {III.5}Simplification du calcul des fonctions de v\IeC {\'e}rit\IeC {\'e}}{21}{subsection.2.3.5}
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {III.5.1}Th\IeC {\'e}or\IeC {\`e}me de substitution}{21}{subsubsection.2.3.5.1}
+\contentsline {subsubsection}{\numberline {III.5.2}Th\IeC {\'e}or\IeC {\`e}me de la validit\IeC {\'e}}{22}{subsubsection.2.3.5.2}
+\contentsline {subsection}{\numberline {III.6}Conclusion}{24}{subsection.2.3.6}
+\contentsline {part}{II\hspace {1em}Th\IeC {\'e}orie des ensembles}{25}{part.2}
+\contentsline {chapter}{\numberline {3}Introduction \IeC {\`a} la th\IeC {\'e}orie des ensembles}{26}{chapter.3}
+\contentsline {section}{\numberline {I}Rappels de th\IeC {\'e}orie des ensembles}{26}{section.3.1}
+\contentsline {subsection}{\numberline {I.1}Notion premi\IeC {\`e}re d'ensemble}{26}{subsection.3.1.1}
+\contentsline {subsection}{\numberline {I.2}R\IeC {\`e}gles de fonctionnement}{26}{subsection.3.1.2}
+\contentsline {paragraph}{Relation d'appartenance.}{26}{section*.2}
+\contentsline {paragraph}{Objets distincts.}{26}{section*.3}
+\contentsline {paragraph}{Ensemble vide.}{26}{section*.4}
+\contentsline {paragraph}{Derni\IeC {\`e}re r\IeC {\`e}gle de fonctionnement des ensembles.}{26}{section*.5}
+\contentsline {subsection}{\numberline {I.3}Sous-ensembles, ensemble des parties}{26}{subsection.3.1.3}
+\contentsline {section}{\numberline {II}Op\IeC {\'e}rations sur les ensembles}{27}{section.3.2}
+\contentsline {subsection}{\numberline {II.1}\'Egalite de deux ensembles}{27}{subsection.3.2.1}
+\contentsline {subsection}{\numberline {II.2}R\IeC {\'e}union, intersection}{28}{subsection.3.2.2}
+\contentsline {subsection}{\numberline {II.3}Compl\IeC {\'e}mentation}{28}{subsection.3.2.3}
+\contentsline {subsection}{\numberline {II.4}Produit cart\IeC {\'e}sien}{29}{subsection.3.2.4}
+\contentsline {section}{\numberline {III}Exercices suppl\IeC {\'e}mentaires}{29}{section.3.3}
+\contentsline {part}{III\hspace {1em}Annexes}{30}{part.3}
+\contentsline {chapter}{\numberline {4}Programme P\IeC {\'e}dagogique National 2005 (PPN)}{31}{chapter.4}
+\contentsline {chapter}{Index}{32}{chapter.4}