partiels/13mesi/main.tex

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  19
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  21
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  23
  24
  25 \date{}
  26 \geometry{hmargin=1cm, tmargin=1cm,bmargin=1.5cm}
  27 \begin{document}
  28 \title{UE MESI, Master IMR 2ème année.\\
  29   Novembre 2013 (durée 45 mn).  J.-F.  Couchot,}
  30
  31 \maketitle
  32 \vspace{-5em}
  33 % \begin{tabular}{ll}
  34 % Nom:& ........................................\\
  35 % Prénom:& ........................................\\
  36 % \end{tabular}
  37
  38
  39 \begin{minipage}{0.6\textwidth}
  40
  41 On cherche à résoudre une équation de la forme $f(x)=0$ par la
  42 méthode de la fausse position.
  43 Cette méthode commence par deux points $a_0$ et $b_0$
  44 tels que $f(a_0)$ et $f(b_0)$ sont de signes opposés.
  45 Comme la fonction $f$ est continue, elle possède au moins une racine
  46 dans l’intervalle $[a_0, b_0]$.
  47
  48 Dans cette méthode, on considère que l'on
  49 a l'intervalle $[a_n,b_n]$. Pour calculer
  50 $[a_{n+1},b_{n+1}]$, on fait comme suit:
  51
  52 \begin{enumerate}
  53 \item \label{itm:1} on construit la droite $(D_n)$ qui passe par les points
  54 $(a_n,f(a_n))$ et $(b_n,f(b_n))$;
  55 \item\label{itm:2} on construit $X(x_n,0)$ le point d'intersection entre
  56   la droite $(D_n)$ et l'axe de $x$;
  57 \item si $f(a_n)f(x_n)\leq 0$, alors $a_{n+1} =  a_{n}$ et $b_{n+1}=x_n$;
  58 \item si $f(a_n)f(x_n)> 0$, alors $a_{n+1} =  x_{n}$ et $b_{n+1}=b_n$.
  59 \end{enumerate}
  60
  61
  62 \end{minipage}
  63 \begin{minipage}{0.35\textwidth}
  64 %\begin{figure}
  65 %\includegraphics[width=0.99\textwidth]{Regula_falsi_method.png}
  66 \includegraphics[width=0.99\textwidth]{False_position_method}
  67 %\caption{Deux itérations de la méthode de la fausse postion.}\label{fig:iter}
  68 %\end{figure}
  69 \end{minipage}
  70
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  74
  75
  76
  77
  78 Vos réponses seront données directement ci-dessous.
  79
  80 \begin{enumerate}
  81
  82 \item (2pts) Montrer que l'équation de la droite $(D_n)$ est
  83 $y - f(b_n) = \frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n} (x-b_n)$.
  84
  85 \vspace{4cm}
  86
  87 \item (2pts) Montrer que le nombre $x_n$ est donné par l'équation
  88 $x_n = a_n - \frac{a_n-b_n}{f(a_n)-f(b_n)} f(a_n)$.
  89
  90 \vspace{4cm}
  91
  92
  93 \item (2pts) En moyenne, l'ordre de cette méthode est 1,618.
  94   Comparer cet ordre avec celui des autres méthodes du cours.
  95 \vspace{4cm}
  96
  97 \item (5pts)  Quelle partie de cette méthode est commune avec la
  98   méthode par dichotomie? Est-elle toujours plus efficace?
  99   Comparer les approches par exemple
 100   sur l'intervalle $[-1,1]$ avec fonction $f$ définie sur $\mathds{R}$ par
 101   $f(x)= 2x^3-4x^2+3x$.
 102 \vspace{6cm}
 103
 104 \item  (4pts) Quelle partie de cette méthode est commune avec la méthode de Lagrange?
 105 Est-ce la même méthode? Si ce n'est pas le cas, Expliquer ce qui diffère.
 106 \vspace{4cm}
 107
 108
 109 \item (5pts) Donner le code d'un programme qui implanterait cette méthode.
 110
 111 \vspace{4cm}
 112
 113
 114
 115 \end{enumerate}
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 120
 121 \end{document}