\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{a4}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{framed}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[amsmath,thmmarks,thref,framed]{ntheorem}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{calc}
\usepackage{tabls}
\usepackage{slashbox}
\usepackage{times}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{textcomp}

\usepackage{pst-all}

\usepackage[a4paper]{geometry}


\date{}
\geometry{hmargin=1cm, tmargin=1cm,bmargin=1.5cm}
\begin{document}
\title{UE MESI, Master IMR 2ème année.\\
  Novembre 2012 (durée 1h).  J.-F.  Couchot,}

\maketitle
\vspace{-5em}
\begin{tabular}{ll}
Nom:& ........................................\\
Prénom:& ........................................\\
\end{tabular}


On s'intéresse à résoudre une équation de la forme $f(x)=0$ par la 
méthode de Müller. Dans cette méthode, on considère que l'on 
a le triplet de points $(x_{n-2},x_{n-1},x_{n})$. Pour calculer 
$x_{n+1}$, on fait comme suit:
\begin{enumerate}
\item \label{itm:1} on approche $f(x)$ par un polynôme $P(x)$ aux points
  $(x_{n-2},x_{n-1},x_{n})$,
\item\label{itm:2} on résout l'équation $P(x)=0$. La racine la plus proche de $x_n$ est $x_{n+1}$;
\item on recommence avec le triplet $(x_{n-1},x_{n},x_{n+1})$\ldots
\end{enumerate}






Vos réponses seront données directement ci-dessous.

\begin{enumerate}

\item En utilisant une base de Lagrange, montrer que le polynôme $P(x)$ 
  obtenu à l'étape 1. de la première itération est défini par 
$$
P(x) =  \dfrac{(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})f(x_n)}{(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})}  +
\dfrac{(x-x_{n})(x-x_{n-2})f(x_{n-1})}{(x_{n-1}-x_{n})(x_{n-1}-x_{n-2})} +
\dfrac{(x-x_{n})(x-x_{n-1})f(x_{n-2})}{(x_{n-2}-x_{n})(x_{n-2}-x_{n-1})} 
$$   

\vspace{4cm}

\item Montrer que le polynôme de la question précédente est de degré 2. 
  Est-ce cohérent avec le fait qu'on veuille approximer $f$ en trois points? 
\vspace{4cm}

\item Montrer que le polynôme de la première question peut s'écrire 
  sous la forme $P(x) = a_n x^2 + b_n x + c $ où 
\begin{eqnarray*}
a_n & = & \dfrac{f(x_n)}{(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})} +
\dfrac{f(x_{n-1})}{(x_{n-1}-x_{n})(x_{n-1}-x_{n-2})} +
\dfrac{f(x_{n-2})}{(x_{n-2}-x_{n})(x_{n-2}-x_{n-1})} \\
b_n & = &-\dfrac{f(x_n)(x_{n-1}+x_{n-2})}{(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})} -
\dfrac{f(x_{n-1})(x_{n}+x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{n})(x_{n-1}-x_{n-2})} -
\dfrac{f(x_{n-2})(x_{n}+x_{n-1})}{(x_{n-2}-x_{n})(x_{n-2}-x_{n-1})} \\
c_n & = & \dfrac{f(x_n)x_{n-1}x_{n-2}}{(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})} +
\dfrac{f(x_{n-1})x_{n}x_{n-2}}{(x_{n-1}-x_{n})(x_{n-1}-x_{n-2})} +
\dfrac{f(x_{n-2})x_{n}x_{n-1}}{(x_{n-2}-x_{n})(x_{n-2}-x_{n-1})} 
\end{eqnarray*}
\vspace{8cm}


\item Exprimer les deux racines $x'_{n}$ et $x''_{n}$ du polynôme précédent
en fonctions de $a_n$, $b_n$ et  $c_n$ lorsqu'on itère dans les réels.
\vspace{3cm}

\item Comment est alors défini $x_{n+1}$?
\vspace{3cm}

\item On pourrait montrer que l'ordre de la convergence est 1,84. Comparer cette vitesse de convergence avec celle de Newton et celle de Lagrange.
\vspace{3cm}


\item Donner le code Python de la fonction 
  $\verb+[n,X] = iteration_muller(x+_{\verb+0+},\verb+x+_{\verb+1+},\verb+x+_{\verb+2+}\verb+,m,epsilon,f)+$ où
\begin{itemize}
\item $\verb+x+_{\verb+0+}$, $\verb+x+_{\verb+1+}$ et $\verb+x+_{\verb+2+}$ sont les trois premières valeurs des itérés, \verb+m+
  est le nombre maximal 
  d'itérations, \texttt{epsilon} est la précision souhaitée 
  et \verb+f+ la fonction à itérer;
\item \verb+n+ est le nombre d'itérations réalisées pour que 
\verb+f(+$\verb+x+_{\verb+n+}$\verb+)+=0 ou que 
$|\verb+x+_{\verb+n+}- \verb+x+_{\verb+n-1+}| \leq \verb+epsilon+$, \verb+n+ étant inférieur à \verb+m+ et \verb+X+ est 
  le vecteur contenant les 
  valeurs $\verb+x+_{\verb+0+},\ldots,\verb+x+_{\verb+n+}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}


\end{document}