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\date{}
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\begin{document}
\title{UE MESI, Master IMR 2ème année.\\
  Novembre 2013 (durée 45 mn).  J.-F.  Couchot,}

\maketitle
\vspace{-5em}
% \begin{tabular}{ll}
% Nom:& ........................................\\
% Prénom:& ........................................\\
% \end{tabular}


\begin{minipage}{0.6\textwidth}

On cherche à résoudre une équation de la forme $f(x)=0$ par la 
méthode de la fausse position.
Cette méthode commence par deux points $a_0$ et $b_0$
tels que $f(a_0)$ et $f(b_0)$ sont de signes opposés.
Comme la fonction $f$ est continue, elle possède au moins une racine
dans l’intervalle $[a_0, b_0]$.

Dans cette méthode, on considère que l'on 
a l'intervalle $[a_n,b_n]$. Pour calculer 
$[a_{n+1},b_{n+1}]$, on fait comme suit:

\begin{enumerate}
\item \label{itm:1} on construit la droite $(D_n)$ qui passe par les points
$(a_n,f(a_n))$ et $(b_n,f(b_n))$;
\item\label{itm:2} on construit $X(x_n,0)$ le point d'intersection entre 
  la droite $(D_n)$ et l'axe de $x$;
\item si $f(a_n)f(x_n)\leq 0$, alors $a_{n+1} =  a_{n}$ et $b_{n+1}=x_n$;
\item si $f(a_n)f(x_n)> 0$, alors $a_{n+1} =  x_{n}$ et $b_{n+1}=b_n$.
\end{enumerate}


\end{minipage}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
%\begin{figure}
%\includegraphics[width=0.99\textwidth]{Regula_falsi_method.png}
\includegraphics[width=0.99\textwidth]{False_position_method}
%\caption{Deux itérations de la méthode de la fausse postion.}\label{fig:iter}
%\end{figure}
\end{minipage}








Vos réponses seront données directement ci-dessous.

\begin{enumerate}

\item (2pts) Montrer que l'équation de la droite $(D_n)$ est  
$y - f(b_n) = \frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n} (x-b_n)$. 

\vspace{4cm}

\item (2pts) Montrer que le nombre $x_n$ est donné par l'équation
$x_n = a_n - \frac{a_n-b_n}{f(a_n)-f(b_n)} f(a_n)$.
 
\vspace{4cm}


\item (2pts) En moyenne, l'ordre de cette méthode est 1,618. 
  Comparer cet ordre avec celui des autres méthodes du cours. 
\vspace{4cm}

\item (5pts)  Quelle partie de cette méthode est commune avec la 
  méthode par dichotomie? Est-elle toujours plus efficace? 
  Comparer les approches par exemple 
  sur l'intervalle $[-1,1]$ avec fonction $f$ définie sur $\mathds{R}$ par
  $f(x)= 2x^3-4x^2+3x$. 
\vspace{6cm}

\item  (4pts) Quelle partie de cette méthode est commune avec la méthode de Lagrange? 
Est-ce la même méthode? Si ce n'est pas le cas, Expliquer ce qui diffère.
\vspace{4cm}


\item (5pts) Donner le code d'un programme qui implanterait cette méthode.

\vspace{4cm}



\end{enumerate}





\end{document}