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diff --git a/equations.tex b/equations.tex
index 4a76973..bd10efc 100644
--- a/equations.tex
+++ b/equations.tex
@@ -1,6 +1,5 @@
 \section{Motivation}
-Bien quâil puisse Ãªtre posÃ© simplement (trouver tous les $x$ tel que $P(x) =0$),
-rÃ©soudre algÃ©briquement des Ã©quations
+RÃ©soudre algÃ©briquement des Ã©quations
 est un problÃ¨me difficile.
 Depuis l'antiquitÃ©, lâhomme a cherchÃ© des algorithmes donnant les
 valeurs des racines d'un polynÃ´me 
@@ -12,18 +11,17 @@ la forme
 $ 
 x^3 + px+q = 0
 $ avec $p$ et $q$ non nuls. Calculons le discriminant 
-$\Delta = \frac{4}{27}p^3+ p^2$ et discutons de son signe:
+$\Delta = \frac{4}{27}p^3+ q^2$ et discutons de son signe:
 \begin{itemize}
 \item si $\Delta$ est nul, l'Ã©quation possÃ¨de
   deux solutions rÃ©elles, une simple et une double :
-
-$$
+$
 \begin{cases}
   x_0=2\sqrt[3]{\frac{-q}2}=\frac{3q}p
   \\
   x_1=x_2=-\sqrt[3]{\frac{-q}2}=\frac{-3q}{2p}
 \end{cases}
-$$
+$
 
 
 \item Si $\Delta$ est positif, l'Ã©quation possÃ¨de une solution rÃ©elle
@@ -31,21 +29,21 @@ $$
 $u = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta}}2}$ et $v = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta}}2}$.
 La seule solution rÃ©elle est alors $x_0=u+v$. 
 Il existe Ã©galement deux solutions complexes conjuguÃ©es l'une de l'autre:
-$$
+$
 \begin{cases}
 x_1= j u +\bar{j} v \\ 
 x_2= j^2u +\overline{j^2}\end{cases}
-\qquad\textrm{ oÃ¹ }\qquad j=-\frac12+ i \frac{\sqrt3}2=e^{i\frac{2\pi}3}
-$$
-
-\item si $\Delta$ est nÃ©gatif,  l'Ã©quation possÃ¨de trois solutions rÃ©elles:
-$$
-x_k = 2 \sqrt{\frac{-p}{3}} \cos{\left(\frac13\arccos{\left(\frac{-q}{2}\sqrt{\frac{27}{-p^3}}\right)}+ \frac{2k\pi}{3}\right)}\qquad\mbox{ avec }\qquad k\in\{0,1,2\}.
-$$
+\textrm{ oÃ¹ } j=-\frac12+ i \frac{\sqrt3}2=e^{i\frac{2\pi}3}
+$
 
+\item sinon,  l'Ã©quation a trois solutions rÃ©elles:
+$
+x_k = 2 \sqrt{\frac{-p}{3}} \cos{\left(\frac13\arccos{\left(\frac{-q}{2}\sqrt{\frac{27}{-p^3}}\right)}+ \frac{2k\pi}{3}\right)}\textrm{ avec } k\in\{0,1,2\}.
+$
 
 \end{itemize}
-DonnÃ©e Ã  titre d'exemple, ce travail montre que rapidement on obtient 
+%DonnÃ©e Ã  titre d'exemple, 
+Ce travail montre que rapidement on obtient 
 des algorithmes compliquÃ©s.
 De plus, Abel a montrÃ©e en 1824 qu'il n'est pas toujours possible 
 d'exprimer les racines de l'Ã©quation gÃ©nÃ©rale de
@@ -83,7 +81,7 @@ le rÃ©sultat est Ã©tabli, c.-Ã -d. $f(a_{n+1})f(b_{n+1})\leq 0$;
 \item sinon, $f(a_n)f(x_n)> 0$. Ainsi $f(a_{n+1})f(b_{n+1})$ a le mÃªme 
 signe que $f(a_{n+1})f(b_{n+1})f(a_n)f(x_n)$ c.-Ã -d. le signe de  
 $f(x_{n})f(b_{n})f(a_n)f(x_n)$ soit encore le signe de  $f(a_n)f(b_n)$.
-Ce dernier est positif d'aprÃ¨s l'hypothÃ¨se de rÃ©curence. 
+Ce dernier est nÃ©gatif d'aprÃ¨s l'hypothÃ¨se de rÃ©curence. 
 \end{itemize}
 
 A chaque itÃ©ration, l'intervalle $[a_n,b_n]$ est dÃ©coupÃ© 
@@ -179,24 +177,17 @@ l'erreur avec la limite est infÃ©rieure Ã  cet $\epsilon$.
 
 
 \begin{figure}
+\centering{
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+\vspace{7em}
 \psset{xunit=3cm,yunit=0.8cm}
 \savedata{\mydata}[{{0.0, -1.25}, {0.1, -1.24}, {0.2, -1.21}, {0.3, -1.16}, {0.4, -1.0899999999999999}, {0.5, -1.0}, {0.6, -0.89}, {0.7, -0.76}, {0.8, -0.6099999999999999}, {0.9, -0.43999999999999995}, {1.0, -0.25}, {1.1, -0.039999999999999813}, {1.2, 0.18999999999999995}, {1.3, 0.44000000000000017}, {1.4, 0.7099999999999997}, {1.5, 1.0}, {1.6, 1.3100000000000005}, {1.7, 1.6399999999999997}, {1.8, 1.9900000000000002}, {1.9, 2.36}, {2.0, 2.75}, {2.1, 3.16}, {2.2, 3.5900000000000007}, {2.3, 4.039999999999999}, {2.4, 4.51}}]
 \dataplot[plotstyle=curve,showpoints=true]{\mydata}
 \psline{<->}(0,2)(0,-2)(0,0)(3,0)
 \psline{-}(1.3125,0)(2.2,3.55)
-
-\vspace{2em}
-% \begin{pspicture}(9,9)
-% \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(8,8)[$x$,0][$y$,0]
-% \pscurve(1,1)(3,4)(6,6)(8,4)
-% \pscurve[linestyle=symbol,symbolStep=11.6pt,% must be positive 
-%   curveticks,startAngle=60](1,1)(3,4)(6,6)(8,4)
-% \end{pspicture}
-% \begin{pspicture}(8,8)
-% \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(8,8)[$x$,0][$y$,0]
-% \pscurve[linestyle=symbol,symbolStep=-20,% must be negative !
-%   curveticks,startAngle=60](1,1)(3,4)(6,6)(8,4)
-% \end{pspicture}
+\vspace{5em}
+\end{minipage}
+}
 \caption{ReprÃ©sentation graphique de mÃ©thodes itÃ©ratives de construction de racine}\label{fig:graphe1} 
 \end{figure}
 
@@ -228,9 +219,9 @@ Dans cet exercice, on suppose en plus que:
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que l'on a $x_{n+1} \neq x_{n}$.
 \item Montrer que (\ref{eq:num:class}) est Ã©quivalente Ã  
-\begin{equation}
+$
 x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{q_n} \label{eq:num:gen}
-\end{equation}
+$
 \item Dans la reprÃ©sentation graphique donnÃ©e figure~\ref{fig:graphe1}:
   \begin{enumerate}
   \item donner l'Ã©quation de la droite tracÃ©e;
@@ -241,14 +232,14 @@ x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{q_n} \label{eq:num:gen}
 \end{enumerate}
 
 \item Dans la mÃ©thode de la corde, $q_n$ est constante et Ã©gale Ã  
-\begin{equation}
-q_{n} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \label{eq:num:corde}
-\end{equation}
+%\begin{equation}
+$q_{n} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \label{eq:num:corde}
+$%\end{equation}
 
 \item Dans la mÃ©thode de Lagrange on a 
-\begin{equation}
-q_{n} = \frac{f(x_{n}) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}} \label{eq:num:lagrange}
-\end{equation}
+%\begin{equation}
+$q_{n} = \frac{f(x_{n}) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}} \label{eq:num:lagrange}
+$%\end{equation}
 
 \item Dans la mÃ©thode de Newton on a $q_n = f'(x_n)$
 \end{enumerate}
@@ -289,6 +280,8 @@ solution $\alpha$ de cet intervalle.
 
 
 \begin{Prop}[Vitesse de convergence]
+Si la suite des itÃ©rÃ©s obtenus par dichotomie converge,
+alors la convergence est linÃ©aire.
 Si la suite des itÃ©rÃ©s de Lagrange converge, alors la convergence est 
 d'ordre $(1+\sqrt{5})/2$.
 Si la suite des itÃ©rÃ©s de Newton converge, 
@@ -317,6 +310,67 @@ fixe $g_i(x) =x$ avec
 \end{itemize}
 
 
+
+\begin{TP}[Comparaison d'approches]
+
+\begin{enumerate}
+\item Ãcrire la fonction 
+\verb+[n,X] = iteration_dichotomie(a,b,m,epsilon,f)+ oÃ¹
+\begin{itemize}
+\item \verb+a+, \verb+b+ sont les bornes de l'intervalle, \verb+m+
+  est le nombre maximal 
+  d'itÃ©rations, \texttt{epsilon} est la prÃ©cision souhaitÃ©e 
+  (voir Ã©quation (\ref{eq:erreur:epsilon})) et \verb+f+ la fonction Ã  itÃ©rer;
+\item \verb+n+ est le nombre d'itÃ©rations rÃ©alisÃ©es pour que 
+\verb+f(+$\verb+x+_{\verb+n+}$\verb+)+=0 ou que 
+$|\verb+x+_{\verb+n+}- \verb+x+_{\verb+n-1+}| \leq \verb+epsilon+$, \verb+n+ Ã©tant infÃ©rieur Ã  \verb+m+ et \verb+X+ est 
+  le vecteur contenant les 
+  valeurs $\verb+x+_{\verb+0+},\ldots,\verb+x+_{\verb+n+}$.
+\end{itemize}
+\item Ãcrire la fonction 
+\verb+[n,X] = iteration_corde(a,b,+$\verb+x+_{\verb+0+}$\verb+,m,epsilon,f)+ oÃ¹
+\begin{itemize}
+\item $\verb+x+_{\verb+0+}$ est le premier terme de la suite;
+\end{itemize}
+\item Ãcrire la fonction 
+\verb+[n,X] = iteration_Newton(+$\verb+x+_{\verb+0+}$\verb+,m,epsilon,f)+.
+\end{enumerate}
+\end{TP}
+
+
+\begin{TP}
+L'objectif du TP est de mesurer l'ordre de grandeur de la convergence d'une 
+mÃ©thode.
+On suppose que la suite $(x_n)$ converge vers $l$ avec l'ordre $p\geq 1$. 
+On note $e_n= l -x_n$. On a $|e_{n+1}| \approx c |e_n|^p$ et donc 
+$\ln(|e_{n+1}|) \approx p \ln(|e_n|) + \ln(c)$.
+En posant $y = \ln(|e_{n+1}|)$, $x = \ln(|e_n|)$ et $k = \ln(c)$ on a 
+$y = px + k$ soit l'Ã©quation d'une droite de pente $p$.
+Pour estimer $p$, on peut donc tracer l'ensemble de points 
+$(\ln(|e_{n}|),\ln(|e_{n+1}|))$, contruire la droite de regression linÃ©aire
+et prendre son coefficient directeur.
+
+\begin{enumerate}
+\item Construire la mÃ©thode 
+\verb+p=ordre_convergence(X,l)+ telle que 
+\begin{itemize}
+\item \texttt{X} est le vecteur contenant les valeurs des itÃ©rÃ©s $\verb+x+_{\verb+0+}$, \ldots, $\verb+x+_{\verb+n+}$ et 
+  \verb+l+ est la limite prÃ©sumÃ©e de la suite;
+\item cette fonction exploite la fonction 
+\verb+scipy.stats.linregress(x, y=None)+;
+\item \verb+p+ est l'ordre de convergence calculÃ© numÃ©riquement.
+\end{itemize}
+
+\item Tester les mÃ©thodes du TP prÃ©cÃ©dent 
+  (dichotomie, corde, Lagrange, Newton) pour la fonction 
+  $f$ dÃ©finie par $f(x)=\cos(x)-x$ sur $[0,\pi/2]$.
+  Calculer l'ordre Ã  l'aide de la fonction dÃ©veloppÃ©e Ã  la premiÃ¨re question.
+\item Comparer avec la fonction \verb+scipy.optimize.newton+.
+\end{enumerate}
+\end{TP}
+
+
+
 \subsection{Algorithme du point fixe}
 L'algorithme du point fixe donnÃ© ci dessous (Algorithme~\ref{algo:pf}) est 
 une version constructive de la suite $(x_n)$ dÃ©finie par $x_0$ et pour tout $n \in \N$, 
@@ -365,7 +419,7 @@ Pour chacune des Ã©quations suivantes, Ã©tudier la convergence de la suite des
 itÃ©rÃ©s du point fixe pour un $x_0$ choisi dans l'intervalle proposÃ©.
 \begin{enumerate}
 \item fonction $g_3$ de Ferrari sur $[2;4]$;
-\item fonction $g_2$ de Ferrari sur $[3;\textrm{3,1}]$;
+\item fonction $g_2$ de Ferrari sur $[3;\textrm{3,1}]$.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
@@ -383,62 +437,5 @@ proposition~\ref{th:csconv:pf}  sont suffisantes, pas nÃ©cessaires.
 \end{enumerate}
 \end{Exo}
 
-\begin{TP}
-Tout le code suivant est Ã  faire en python.
-\begin{enumerate}
-\item Ãcrire la fonction 
-\verb+[n,X] = iteration_dichotomie(a,b,m,epsilon,f)+ oÃ¹
-\begin{itemize}
-\item \verb+a+, \verb+b+ sont les bornes de l'intervalle, \verb+m+
-  est le nombre maximal 
-  d'itÃ©rations, \texttt{epsilon} est la prÃ©cision souhaitÃ©e 
-  (voir Ã©quation (\ref{eq:erreur:epsilon})) et \verb+f+ la fonction Ã  itÃ©rer;
-\item \verb+n+ est le nombre d'itÃ©rations rÃ©alisÃ©es pour que 
-\verb+f(+$\verb+x+_{\verb+n+}$\verb+)+=0 ou que 
-$|\verb+x+_{\verb+n+}- \verb+x+_{\verb+n-1+}| \leq \verb+epsilon+$, \verb+n+ Ã©tant infÃ©rieur Ã  \verb+m+ et \verb+X+ est 
-  le vecteur contenant les 
-  valeurs $\verb+x+_{\verb+0+},\ldots,\verb+x+_{\verb+n+}$.
-\end{itemize}
-\item Ãcrire la fonction 
-\verb+[n,X] = iteration_corde(a,b,+$\verb+x+_{\verb+0+}$\verb+,m,epsilon,f)+ oÃ¹
-\begin{itemize}
-\item $\verb+x+_{\verb+0+}$ est le premier terme de la suite;
-\end{itemize}
-\item Ãcrire la fonction 
-\verb+[n,X] = iteration_Newton(+$\verb+x+_{\verb+0+}$\verb+,m,epsilon,f)+.
-\end{enumerate}
-\end{TP}
-
-
-\begin{TP}
-L'objectif du TP est de mesurer l'ordre de grandeur de la convergence d'une 
-mÃ©thode.
-On suppose que la suite $(x_n)$ converge vers $l$ avec l'ordre $p\geq 1$. 
-On note $e_n= l -x_n$. On a $|e_{n+1}| \approx c |e_n|^p$ et donc 
-$\ln(|e_{n+1}|) \approx p \ln(|e_n|) + \ln(c)$.
-En posant $y = \ln(|e_{n+1}|)$, $x = \ln(|e_n|)$ et $k = \ln(c)$ on a 
-$y = px + k$ soit l'Ã©quation d'une droite de pente $p$.
-Pour estimer $p$, on peut donc tracer l'ensemble de points 
-$(\ln(|e_{n}|),\ln(|e_{n+1}|))$, contruire la droite de regression linÃ©aire
-et prendre son coefficient directeur.
-
-\begin{enumerate}
-\item Construire la mÃ©thode 
-\verb+p=ordre_convergence(X,l)+ telle que 
-\begin{itemize}
-\item \texttt{X} est le vecteur contenant les valeurs des itÃ©rÃ©s $\verb+x+_{\verb+0+}$, \ldots, $\verb+x+_{\verb+n+}$ et 
-  \verb+l+ est la limite prÃ©sumÃ©e de la suite;
-\item cette fonction exploite la fonction 
-\verb+scipy.stats.linregress(x, y=None)+;
-\item \verb+p+ est l'ordre de convergence calculÃ© numÃ©riquement.
-\end{itemize}
-
-\item Tester les mÃ©thodes du TP prÃ©cÃ©dent 
-  (dichotomie, corde, Lagrange, Newton) pour la fonction 
-  $f$ dÃ©finie par $f(x)=\cos(x)-x$ sur $[0,\pi/2]$.
-  Calculer l'ordre Ã  l'aide de la fonction dÃ©veloppÃ©e Ã  la premiÃ¨re question.
-\item Comparer avec la fonction \verb+scipy.optimize.newton+.
-\end{enumerate}
-\end{TP}
 
 
