IWCMC14/convexity.tex

   1 In the algorithm presented in the previous section,
   2 the encoding power consumption is iteratively updated with
   3 $
   4 P_{sh}^{(k)}
   5 =
   6 \arg \min_{p > 0}
   7 \left(
   8 v_h^{(k)}.\dfrac{\ln(\sigma^2/D_h)}{\gamma p ^{2/3}} + \lambda_h^{(k)}p
   9 \right)
  10 $.
  11 The function inside the $\arg \min$ is strictly convex if and only if
  12 $\lambda_h$ is not null. This asymptotic configuration may arise due to
  13 the definition of $\lambda_i$. Worth, in this case,  the function is
  14 strictly decreasing and the minimal value is obtained when $p$ is the infinity.
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  16 To prevent this configuration, we replace the objective function given
  17 in equation~(\ref{eq:obj2}) by
  18 \begin{equation}
  19 \sum_{i \in N }q_i^2 +
  20 \delta_x \sum_{h \in V, l \in L } x_{hl}^2
  21 + \delta_r\sum_{h \in V }R_{h}^2
  22 + \delta_p\sum_{h \in V }P_{sh}^{\frac{8}{3}}.
  23 \label{eq:obj2}
  24 \end{equation}
  25 In this equation we have first introduced new regularisation factors
  26 (namely $\delta_x$, $\delta_r$, and $\delta_p$)
  27 instead of the sole $\delta$.
  28 This allows to  further study the influence of each modification separately.
  29 Next, the introduction of the rational exponent is motivated by the goal of
  30 providing a strictly convex function.
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  32 Let us now verify that the induced function is convex.
  33 Let $f: \R^{+*} \rightarrow \R$ such that $
  34 f(p)= v_h.\dfrac{\ln(\sigma^2/D_h)}{\gamma p^{2/3}} + \lambda_h p
  35 + \delta_p p^{8/3}$. This function is differentiable and
  36 for any $x \in \R^{+*}$ and we have
  37 $$
  38 \begin{array}{rcl}
  39 f'(p) &=& -2/3.v_h.\dfrac{\ln(\sigma^2/D_h)}{\gamma p^{5/3}} + \lambda_h +
  40 8/3.\delta_p p^{5/3} \\
  41 && \dfrac {8/3.\delta_p p^{10/3} + \lambda_h p^{5/3} -2/3.v_h\ln(\sigma^2/D_h)  }{p^{5/3}}
  42 \end{array}
  43 $$
  44 which is positive if and only if the numerator is.
  45 Provided $p^{5/3}$ is replaced by $P$, we have a quadratic function which is strictly convex, for any value of $\lambda_h$.
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