IWCMC14/convexity.tex

   1 In the algorithm presented in the previous section,
   2 the encoding power consumption is iteratively updated with
   3 $
   4 P_{sh}^{(k)}
   5 =
   6 \arg \min_{p > 0}
   7 \left(
   8 v_h^{(k)}.\dfrac{\ln(\sigma^2/D_h)}{\gamma p ^{2/3}} + \lambda_h^{(k)}p
   9 \right)
  10 $.
  11 The function inside the $\arg \min$ is strictly convex if and only if
  12 $\lambda_h$ is not null. This asymptotic configuration may arise due to
  13 the definition of $\lambda_h$. Worth, in this case,  the function is
  14 strictly decreasing and the minimal value is obtained when $p$ is the infinity.
  15
  16 To prevent this configuration, we replace the objective function given
  17 in equation~(\ref{eq:obj2}) by
  18 \begin{equation}
  19 \sum_{i \in N }q_i^2 +
  20 \delta_x \sum_{h \in V, l \in L } x_{hl}^2
  21 + \delta_r\sum_{h \in V }R_{h}^2
  22 + \delta_p\sum_{h \in V }P_{sh}^{\frac{8}{3}}.
  23 \label{eq:obj2p}
  24 \end{equation}
  25 In this equation we have first introduced new regularization factors
  26 (namely $\delta_x$, $\delta_r$, and $\delta_p$)
  27 instead of the sole $\delta$.
  28 This allows to  further separately study the influence of each factor.
  29 Next, the introduction of the rational exponent is motivated by the goal of
  30 providing a strictly convex function.
  31
  32 Let us now verify that the induced function is convex.
  33 Let $f: \R^{+*} \rightarrow \R$ such that $
  34 f(p)= v_h.\dfrac{\ln(\sigma^2/D_h)}{\gamma p^{2/3}} + \lambda_h p
  35 + \delta_p p^{8/3}$. This function is differentiable and
  36 for any $x \in \R^{+*}$ and we have
  37 $$
  38 \begin{array}{rcl}
  39 f'(p) &=& -2/3.v_h.\dfrac{\ln(\sigma^2/D_h)}{\gamma p^{5/3}} + \lambda_h +
  40 8/3.\delta_p p^{5/3} \\
  41 & = & \dfrac {8/3.\delta_p p^{10/3} + \lambda_h p^{5/3} -2/3\gamma.v_h\ln(\sigma^2/D_h)  }{p^{5/3}}
  42 \end{array}
  43 $$
  44 which is positive if and only if the numerator is.
  45 Provided $p^{5/3}$ is replaced by $P$, we have a quadratic function
  46 which is strictly convex, for any value of $\lambda_h$ since the discriminant
  47 is positive.
  48
  49 This proposed enhancement has been evaluated as follows:
  50 10 thresholds $t$, such that $1E-5 \le t \le 1E-3$, have
  51 been selected and for each of them,
  52 10 random configurations have been generated.
  53 For each one, we store the
  54 number of iterations which is sufficient to make the dual
  55 function variation smaller than this given threshold with
  56 the two approaches: either the original one ore the
  57 one which is convex guarantee.
  58
  59 The Figure~\ref{Fig:convex} summarizes the average number of convergence
  60 iterations for each treshold value. As we can see, even if this new
  61 enhanced method introduces new calculus,
  62 it only slows few down the algorithm and guarantee the convexity,
  63 and thus the convergence.
  64 Notice that the encoding power has been arbitrarily limited to 10 W.
  65 \begin{figure*}
  66 \begin{center}
  67 \includegraphics[scale=0.5]{convex.png}
  68 \end{center}
  69 \caption{Original Vs Convex Guarantee Approaches}\label{Fig:convex}
  70 \end{figure*}
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