talk/chaosDevaneyGeneralisees.tex

   1 \begin{itemize}
   2 \item Vers une fonction de
   3 $\mathcal{X}_g =\Bool^{\mathsf{N}}
   4 \times  \left(\mathcal{P}([{\mathsf{N}}]\right)^{\Nats}$
   5 dans lui même:
   6 \begin{itemize}
   7 \item   $F_{f_g}:  \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])
   8   \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$  par
   9   $
  10   F_{f_g}(x,s)_i=\left\{
  11     \begin{array}{l}
  12       f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\
  13       x_i \textrm{ sinon.}
  14     \end{array}\right.
  15   $
  16 \item $\sigma:
  17  \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])^{\Nats}
  18  \rightarrow
  19  \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])^{\Nats}$
  20  t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
  21 \item $G_{f_g}$ définie par
  22    $
  23   G_{f_g}(x,S)=(F_{f_g}(x,s_0),\sigma(S)),
  24   $
  25
  26 \end{itemize}
  27
  28 \item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d'_S(s,s')$
  29 \end{itemize}
  30
  31 \begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{f_g}$ est chaotique]
  32 \label{Th:CaracIC}
  33 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$.
  34 Les itérations de la fonction $G_{f_g}$ sont chaotiques
  35 si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
  36 \end{theorem}