% Modèles discrets pour la sécurité inforamtique: des méthodes itératives à l'analyse vectorielle

Les informations traitées par un ordinateur ne sont, \textit{in fine},
que discrètes: les flottants (sur un nombre fini de bits) sont une
interprétation des réels, les \textit{longs} une interpréation finie
des entiers\ldots.
Les phénomènes physiques ou naturels peuvent aussi être modélisés par des
approches discrètes:
il n'est parfois pas nécessaire de suivre exactement tous les états par
lesquels peut passer l'élément d'étude. Pour peu que l'on sache 
identifier les seuils de son domaine (c'est-à-dire les valeurs
critiques permettant au système global de changer),
il est parfois suffisant de réduire le domaine de l'état de l'élément
à un ensemble fini d'intervalles définis par ces seuils.
Un élément passe d'un état $i$ à un état $j$ si dans la version continue il
passe d'un état de l'intervalle numéro $i$ à un état de l'intervalle numéro $j$.
En abstrayant à l'extrême,
on peut considérer pour chaque élément  seulement deux états:
1 pour le fait d'être présent et 0 pour le fait d'être absent, ou bien
1 pour le fait d'avoir une valeur supérieure à un seuil et 0 pour le fait qu'elle y soit inférieure.
Ces réseaux particuliers sont qualifiés de \emph{réseaux booléens}.


Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel représentant le nombre 
d'éléments étudiés (le nombre bits qu'un générateur veut engendrer,
le nombre de pixel que l'on veut modifier\ldots) un réseau booléen  est 
défini à partir d'une fonction booléenne $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$
et un mode de  mise à jour.
A chaque étape, on peut intuitivement ne modifier qu'une partie des
$\mathsf{N}$ éléments.
En fonction des élements qui sont susceptibles d'être modifiés à chaque étape,
on peut se poser les questions de savoir si le réseau atteint un point fixe (ét qu'il peut donc converger) ou 
s'il possède des attracteurs cycliques (et qu'il diverge donc).

Détecter la convergence ou son contraire  peut se faire \textit{ a priori} dans
certain cas. En effet, de nombreux travaux ont énoncé des conditions 
suffisantes sur les réseaux bouléens garantissant leur convergence
ou leur divergence . Lorsqu'aucune d'entre elle ne s'applique, on peut penser
à étendre ces résultats théoriques et compléter ceci par des simulations.
Lorsque la convergence est pratiquement observée, il reste à vérifier que
celle-ci est indépendante  du choix des parties à modifier, par exemple.
Une vérification \textit{a posteriori} s'impose, sauf si la méthode de
simulation a été prouvée comme exhaustive.

Une fonction qui admet un attracteur cyclique égal à l'ensemble
des sommets diverge. Admet-il cependant un comportement chaotique?
Les théories mathématiques du chaos ont énoncé des critères permettant
de décider si une fonction est chaotique ou non, et plus récemment
si certains réseaux bouléens étaient l'étaient. Se pose légitimement
la question de savoir si cette caractérisation s'étend quelque soient
les parties modifiées à chaque étape. Naturellement, ceci n'a un sens
pratique que si le nombre de réseaux bouléens qui possèdent cette
caractéristique est suffisament grand et que l'on sache engendrer
algorithmiquement de tels réseaux.

Les liens entre chaos et aléas sont certes intuitifs, mais sont-ils suffisants
pour espérer construire un générateur de nombres pseudo-aléatoires (PRNG)
à partir de fonctions au comportement chaotique? La réponse est certes
positive, mais pas triviale. Il est nécessaire de définir les propriétés 
attendues de la sortie d'un PRNG et
l'uniformité de sa distribution est sans doute la première
des propriétés à assurer.  
Comment alors générer des fonctions chaotiques dont les itérations 
peuvent converger vers une distribution uniforme?
Combien d'itérations suffit-il alors
d'effectuer pour s'approcher suffisament de celle-ci?

Les liens entre chaos et marquage d'information sont aussi faciles à établir:
de tout média marqué même attaqué, la marque doit pouvoir être extraite.
Cette propriété du marquage est proche en effet de celle de régularité des opérateurs chaotique. Il est alors naturel d'envisager exploiter les
fonctions chaotiques extraites dans ce contexte et donc de modifier
certains bits d'un média pour y insérer de l'information: la marque.
On

Les compétences acquise dans l'étude des algorithme d'insertion d'une marque
dans une image nous permettent aussi d'adresser le problème d'insérer un message dans une image, mais en priviligeant cette fois l'imperceptibilité et
non plus la robustesse.