

Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos  dans  les
systèmes booléens sont rappelées et plusieurs résultats théoriques sont montrés.

\begin{Def}[Chaos (Devaney)]
Une fonction $k$ continue sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ est \textbf{chaotique}
si elle est transitive,
régulière et fortement sensible aux conditions initiales.
\end{Def}

\begin{Def}[Transitivité]
Une fonction $k$ est  \textbf{transitive} sur $(\mathcal{X},d)$ si  la propriété suivante est établie:
\[
\forall X, Y\in \mathcal{X},
\forall \epsilon > 0,
\exists  Z \in \mathcal{X},
\exists  t \in \Nats,
d(X,Z) < \epsilon  \land k^t(Z) = Y
\] 
\end{Def}

\begin{Def}[Point périodique]
  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \textbf{périodique}  de période $t$ pour
  une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
  pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
  Par la  suite, $\textbf{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
  $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
\end{Def}

\begin{Def}[Régularité]
Une fonction $k$  est dite \textbf{régulière} dans $(\mathcal{X},d)$ 
si l'ensemble des points périodiques de $k$ est dense dans $\mathcal{X}$, 
c'est-à-dire  si la propriété suivante est établie: 
\[
\forall X \in \mathcal{X}, \forall \epsilon > 0, \exists Y \in \textit{Per}(k) 
 \textrm{ tel que } d(X,Y) < \epsilon.
\]
\end{Def}

\begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},d)$ 
est  \textbf{fortement sensible aux conditions initiales} 
s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout 
 $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et  
$t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et 
$d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
\end{Def}


John Banks et ses collègues ont cependant
démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}. 
On ne se focalise donc dans la suite que sur ces deux dernières
propriétés pour caractériser les fonctions booléennes $f$ 
rendant chaotique la fonction engendrée $G_f$.








