
\JFC{Chapeau chapitre à faire}



% Cette section énonce quelques notions suffisantes 
% à la compréhension de ce document.
% Elle commence par formaliser ce que sont les systèmes dynamiques booléens 
% (section \ref{sub:sdd}) 
% et montre comment en extraire leur graphe d'itérations (section~\ref{sub:grIter})
% et d'interactions (section~\ref{sub:sdd:inter}). 
% Elle se termine en définissant une distance sur l'espace 
% $\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times \Bool^n$ (section~\ref{sub:metric}).




On considère l'espace booléen 
$\Bool=\{0,1\}$
muni des opérateurs binaires 
de disjonction \og +\fg{},
de conjonction \og . \fg{} et
unaire de négation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.


Soit $n$ un entier naturel.
On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^n$. 
L'ensemble $\{1,\dots, n\}$ sera par la suite noté $[n]$.
Le $i^{\textrm{ème}}$ composant d'un élément 
$x \in \Bool^n$ s'écrit  $x_i$.
Si l'ensemble $I$ est une partie de $[n]$, alors 
$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in  \Bool^n$
tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et  
$y_i = x_i$ sinon. 
On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[n]}$ 
(chaque composant de $\overline{x}$ est nié:
c'est une négation composante à composante)
et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [n]$
(seul $x_i$ est nié dans $\overline{x}$).
Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^n$, l'ensemble 
$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [n]$
tels que $x_i \neq y_i$.
Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^n$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^n$ dans $\Bool$.
Pour chaque 
$x$ dans $\Bool^n$, l'ensemble 
$\Delta f(x)$ est défini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .

\begin{xpl}\label{xpl:1}
On considère $n= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
$f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec  
$$\begin{array}{rcl}
f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\
f_2(x_1, x_2, x_3) &= &x_1.x_3 \textrm{ et }\\
f_3(x_1, x_2, x_3) &=& x_1 + x_2 + x_3.
\end{array}
$$

\begin{table}[ht]
$$
\begin{array}{|l|l|l||c|c|c|}
\hline
\multicolumn{3}{|c||}{x} & 
\multicolumn{3}{|c|}{f(x)} \\
\hline
x_1 & x_2 & x_3 & 
f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\
\hline
0& 0 & 0 & 0 & 0  & 0 \\
\hline 
0& 0 & 1 & 1 &  0 & 1\\
\hline 
0& 1 & 0 & 0 & 0& 1\\
\hline 
0& 1 & 1 & 1 & 0& 1\\
\hline 
1& 0 & 0 & 0 & 0& 1\\
\hline 
1& 0 & 1 & 1 & 1& 1\\
\hline 
1& 1 & 0 & 0 & 0& 1\\
\hline 
1& 1 & 1 & 0 & 1& 1\\
\hline 
\end{array}
$$
\caption{Images de 
$(x_1, x_2, x_3) \mapsto 
((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
x_1.x_3,
x_1 + x_2 + x_3)$ \label{table:xpl:images}}
\end{table}

La \textsc{Table}~\ref{table:xpl:images} donne l'image de chaque élément
$x \in \Bool^3$.
Pour $x=(0,1,0)$ les assertions suivantes se déduisent directement du tableau:
\begin{itemize}
\item $f(x)=(0,0,1)$;
\item pour $I=\{1,3\}$, $\overline{x}^{I} = (1,1,1)$ et 
  $\overline{x} = (1,0,1)$; 
\item $\Delta(x,f(x)) = \{2,3\}$.
\end{itemize}

\end{xpl}

\subsection{Réseau booléen}
Soit $n$ un entier naturel représentant le nombre 
d'éléments étudiés (gènes, protéines,\ldots).
Un réseau booléen  est 
défini à partir d'une fonction booléenne:
\[
f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),
\]
et un  {\emph{schéma itératif}} ou  encore \emph{mode de  mise à jour}. À  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$,  la suite $(x^{t})^{t
  \in  \Nats}$ des  configurations  du  système est  construite  selon l'un  des
schémas suivants :
\begin{itemize}
\item \textbf{Schéma parallèle  synchrone :} basé sur la  relation de récurrence
  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le n$,  sont ainsi mis à  jour à
  chaque itération en utilisant l'état global précédent du système $x^t$.
\item \textbf{Schéma  unaire :} cette terminologie  a plusieurs 
  interprétations
  dans  la littérature,  mais celle  que  nous
  retenons ici  consiste à modifier la valeur 
  d'un unique élément $i$,  $1 \le i \le  n$, à
  chaque itération. Le choix de l'élément qui est modifié à chaque itération est
  défini  par une  suite 
  $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une séquence
  d'indices dans $[n]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 
%  Lorsque  cette  suite est  strictement cyclique  (sans
  % occurrences multiples  dans le motif) sur l'ensemble  des éléments $\{1,\ldots
  % n\}$, alors on retrouve le comportement du mode séquentiel synchrone.
\item \textbf{Schéma généralisé:}  dans ce schéma, ce sont les valeurs  
  d'un ensemble d'éléments de $[n]$ qui sont modifiées à  chaque  itération.
  Dans  le  cas  particulier où  c'est la valeur d'un  singleton
  $\{k\}$, $1 \le k  \le n$, qui est modifiée à
  chaque  itération, on retrouve le
  mode unaire. Dans le second cas particulier où ce sont les valeurs de 
  tous les éléments de $\{1, \ldots,  n\}$ qui sont  modifiées
  à chaque  itération, on retrouve  le mode
  parallèle.  Ce mode généralise donc les deux modes précédents.  
  Plus formellement,  à  la  $t^{\textrm{ème}}$
  itération, seuls les éléments de la partie 
  $s^{t} \in \mathcal{P}([n])$ sont mis à
  jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une séquence
  de sous-ensembles 
  de   $[n]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.
  \end{itemize}


 
 

La section suivante détaille comment représenter graphiquement les évolutions de tels réseaux.
\subsection{Graphes des itérations}



Pour un entier naturel $n$ et une 
fonction $f : B^n \rightarrow B^n$, plusieurs évolutions sont possibles
en fonction du schéma itératif retenu. 
Celles-ci sont représentées par un graphe orienté dont les noeuds 
sont les éléments de $\Bool^n$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).


\begin{itemize}
\item Le \emph{graphe des itérations synchrones} de $f$, noté $\textsc{gis}(f)$ 
est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
et seulement si $y=f(x)$.
\item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{gia}(f)$
est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
\item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$
est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 
$y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme 
sous-graphe à la fois celui des itérations synchrones et celui 
des itérations unaires.


\end{itemize}



\begin{xpl}
On reprend notre exemple illustratif
détaillé à la page~\pageref{xpl:1} avec sa table
d'images (\textsc{Table}~\ref{table:xpl:images}).
La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations 
associés à $f$.

\begin{figure}[ht]
  \begin{center}
    \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
      \begin{minipage}{0.33\textwidth}
        \begin{center}
          \includegraphics[scale=0.4]{fsig}
        \end{center}
      \end{minipage}
      \label{fig:fsig}
    }
    \subfigure[$\textsc{gia}(f)$]{
      \begin{minipage}{0.33\textwidth}
        \begin{center}
          \includegraphics[scale=0.4]{faig}
        \end{center}
      \end{minipage}
      \label{fig:faig}
    }   
    \subfigure[$\textsc{gig}(f)$]{
      \begin{minipage}{0.33\textwidth}
        \begin{center}
          \includegraphics[scale=0.4]{fgig}
        \end{center}
      \end{minipage}
      \label{fig:fgig}
    }
  \end{center}
  \caption{Graphes des itérations de la fonction 
$f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que  
$(x_1, x_2, x_3) \mapsto 
((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
x_1.x_3,
x_1 + x_2 + x_3)$.\label{fig:xpl:graphs}
On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$ 
 à la \textsc{Figure}~(\ref{fig:fsig}).}
\end{figure}
\end{xpl} 


\subsection{Attracteurs}

On dit que le point 
$x \in \Bool^n$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
Les points fixes sont particulièrement intéressants car ils correspondent 
aux états stables:
dans chaque graphe d'itérations, le point $x$ est un point fixe 
si et seulement si il est son seul successeur.
Dans le contexte des réseaux de régulation de gènes,
ces points fixes correspondent aux configurations stables pour l'expression de
gènes.



Soit $\Gamma$ un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
de $f$. 
Les \emph{attracteurs}  de $\Gamma$ sont les 
plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides
$A \subseteq \Bool^n$ tels que pour tout arc
$x \rightarrow y$ de $\Gamma$, si $x$ est un élément de $A$, alors 
$y$ aussi.
Un attracteur qui contient au moins deux éléments  est dit \emph{cyclique}.
On en déduit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.
En d'autres termes, lorsqu'un système entre dans un attracteur cyclique, 
il ne peut pas atteindre un point fixe.


On a la proposition suivante:


\begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
Le point $x$ est un point fixe si et seulement si 
$\{x\}$ est un attracteur de $\Gamma$.
En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de $\Gamma$ 
sont les points fixes de $f$.
Ainsi pour chaque $x\in \Bool^n$, il existe au moins un chemin 
depuis $x$ qui atteint un attracteur.
Ainsi $\Gamma$ contient toujours au moins un attracteur.
\end{theorem}



\begin{xpl}
Les attracteurs de $\textsc{gia}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont 
le point fixe $000$ et l'attracteur cyclique 
$\{001, 101,111, 011  \}$. 
Les attracteurs de $\textsc{gis}(f)$ sont le point fixe $000$
et l'attracteur cyclique $\{011, 101, 111\}$.
\end{xpl}

\subsection{Graphe d'interaction}
Les interactions entre les composants du 
système peuvent être mémorisées 
dans la {\emph{matrice jacobienne discrète}} $f'$.
Celle-ci est définie comme étant la fonction  qui  à chaque 
configuration $x\in\Bool^n$ associe la matrice de taille 
$n\times n$ telle que 
\begin{equation}
f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad 
f'_{ij}(x)=\frac{f_i(\overline{x}^j){-}f_i(x)}{\overline{x_j}{-}x_j}\qquad (i,j\in[n]).
\label{eq:jacobienne}
\end{equation}
On note que dans l'équation donnant la valeur de $f'_{ij}(x)$, 
les termes $f_i(\overline{x}^j)$, $f_i(x)$, 
$\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considérés comme des entiers naturels 
égaux à $0$ ou à $1$ et que la différence est effectuée
 dans $\Z$.
Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrète, 
on obtient une matrice notée $B(f)$ aussi de taille 
$n\times n$.
Celle-ci mémorise uniquement 
l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de 
 tel élément.
Elle ne mémorise pas \emph{comment} dépendent les éléments 
les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée 
\emph{matrice d'incidence}.  

\begin{theorem}
Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [n]$, 
$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à  $f_i(x)$, \textit{i.e}, 
$f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
\end{theorem} 




En outre, les interactions peuvent se  représenter à l'aide d'un 
graphe $G(f)$ orienté et signé défini ainsi: 
l'ensemble des sommets est 
$[n]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
 $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
un $x\in\Bool^n$. 

On note que la présence de 
deux arcs de signes opposés entre deux sommets donnés 
est possible.
% Dans la suite, le graphe signé $G$ sera qualifié de 
% \emph{simple} si, pour chaque  $i$, $j$ dans $[n]$,
% il existe au plus un arc de $j$ à $i$ dans $G$.
Un cycle \emph{positif} (resp. négatif) de $G$
est un cycle \emph{élémentaire} qui contient un nombre 
pair (resp. impair) d'arcs négatifs. 
La \emph{longueur}
d'un cycle est le nombre d'arcs qu'il contient.

\begin{xpl}
Pour exprimer la jacobienne discrète de la fonction donnée en exemple,
pour chaque $i$, $j$ dans
$[3]$ on exprime 
$f'_{ij}(x)=
\frac
{f_i(\overline{x}^j){-}f_i(x)}
{\overline{x_j}{-}x_j}$
d'après l'équation~(\ref{eq:jacobienne}).
% Ainsi 
% $$
% f'_{12} (x_1,x_2,x_3)=  
% \frac
% { ((\overline{x_1} + \overline{\overline{x_2}}).x_3)
% {-}  
% ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3) 
% }
% {\overline{x_2}{-}x_2} =  \frac{   
% ((\overline{x_1} + x_2).x_3)
% {-}  
% ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3) 
% }{\overline{x_2}{-}x_2} .
% $$
% Évaluons cette fonction de $\Bool^3$ dans $\Z$ en construisant le tableau de toutes ses valeurs.
% $$
% \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
% \hline
% x_1 &   x_2 &  x_3 &  
% (\overline{x_1} + {x_2}).x_3 & (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 &   
% (\overline{x_1} + {x_2}).x_3 {-} (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 & \overline{x_2} {-} x_2  &  
% f'_{12} (x_1,x_2,x_3)\\
% \hline
% 0   &  0    &  0   &  0  & 0 & 0 & 1   & 0 \\\hline
% 0   &  0    &  1   &  1  & 1 & 0 & 1   & 0 \\\hline
% 0   &  1    &  0   &  0  & 0 & 0 & -1  & 0 \\\hline
% 0   &  1    &  1   &  1  & 1 & 0 & -1  & 0 \\\hline
% 1   &  0    &  0   &  0  & 0 & 0 & 1   & 0 \\\hline
% 1   &  0    &  1   &  0  & 1 & -1 & 1   & -1 \\\hline
% 1   &  1    &  0   &  0  & 0 & 0 & -1  & 0 \\\hline
% 1   &  1    &  1   &  1  & 0 & 1& -1  & -1 \\\hline
% \end{array}
% $$
% La seule valeur de $f'_{12}$ qui n'est pas nulle est -1, qui est négative.
% Le graphe d'interaction contiendra ainsi un arc négatif entre le n{\oe}ud 2 et le n{\oe}ud 1.
La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:jacobienne}) explicite la matrice jacobienne discrète de cette fonction.

Le graphe d'interaction de $f$ s'en déduit directement. Il est donné à la 
\textsc{Figure}~(\ref{fig:f:interaction}). 
Il possède 
un cycle négatif de longueur 1 et 
un cycle négatif de longueur 3. 
Concernant les cycles positifs, il en possède 
un de longueur 1, 
deux de longueur 2 
et un de longueur 3.

La matrice d'incidence peut se déduire de la matrice d'interaction en supprimant les signes ou bien 
en constatant que $f_1$ dépend des trois éléments $x_1$, $x_2$ et $x_3$ et donc que la première ligne de $B(f)$ 
est égale à $1~1~1$. De manière similaire,  $f_2$ (resp. $f_3$) dépend  de 
$x_1$ et  de $x_3$ 
(resp. dépend de $x_1$, $x_2$ et $x_3$).
Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$). 
La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète. 

\begin{figure}[ht]
  \begin{center}
     \subfigure[Matrice jacobienne de $f$.]{
       \begin{minipage}{0.90\textwidth}
         \begin{center}
        $
        \left(
          \begin{array}{ccc}
            \frac{   
              ((x_1 + \overline{x_2}).x_3)
              {-}  
              ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3) 
            }{\overline{x_1}{-}x_1}
            &
            \frac{   
              ((\overline{x_1} + x_2).x_3)
              {-}  
              ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3) 
            }{\overline{x_2}{-}x_2}
            &
            \frac{   
              ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).\overline{x_3})
              {-}  
              ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3) 
            }{\overline{x_3}{-}x_3} 
\\
\\
            \frac{\overline{x_1}.x_3 {-} x_1.x_3}{\overline{x_1}{-}x_1}
             & 0 & 
\frac{{x_1}.\overline{x_3} {-} x_1.x_3}{\overline{x_3}{-}x_3}
 \\
\\
            \frac{(\overline{x_1}+x_2+x_3){-}(x_1+x_2+x_3)}{\overline{x_1}{-}{x_1}} &
            \frac{(x_1+\overline{x_2}+x_3){-}(x_1+x_2+x_3)}{\overline{x_2}{-}{x_2}} &
            \frac{(x_1+x_2+\overline{x_3}){-}(x_1+x_2+x_3)}{\overline{x_3}{-}{x_3}} 
          \end{array}
        \right)
        $
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:f:jacobienne}
     } 
     
    \subfigure[Graphe d'interaction de $f$.]{
      \begin{minipage}{0.45\textwidth}
      \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.5]{gf}
      \end{center}
      \label{fig:f:interaction}
    \end{minipage}
    }
    
    \subfigure[Matrice d'incidence de $f$.]{
      \begin{minipage}{0.45\textwidth}
        \begin{center}
          $
          B(f) =
          \left(
            \begin{array}{ccc}
              1 & 1 & 1 \\
              1 & 0 & 1 \\
              1 & 1 & 1 
            \end{array}
          \right)
          $
        \end{center}
        \label{fig:f:incidence}
    \end{minipage}
  }
\end{center}  
\caption{Représentations des dépendances entre les éléments de la fonction $f$ de l'exemple illustratif.}
\end{figure}
\end{xpl}




Soit $P$ une suite d'arcs de $G(f)$ de la forme
\[
(i_1,s_1,i_2),(i_2,s_2,i_3),\ldots,(i_r,s_r,i_{r+1}).
\]
Alors, $P$ est dit un chemin de $G(f)$ de longueur $r$ et de signe
$\Pi_{i=1}^{r}s_i$ et  $i_{r+1}$ est dit accessible depuis
$i_1$. 
$P$ est un {\emph{circuit}} si $i_{r+1}=i_1$ et si les sommets
$i_1$,\ldots $i_r$ sont deux à deux disjoints.
Un sommet $i$ de $G(f)$ a une {\emph{boucle}} 
positive (resp. négative) , si $G(f)$ a un 
arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même.



\subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async}

Parmi les itérations unaires caractérisées par leurs stratégies
$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[n]$,
sont jugées intéressantes 
celles qui activent au moins une fois
chacun des $i\in[n]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. 

Plus formellement, une séquence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$
est dite \emph{complète} relativement à $[n]$ si 
tout indice de $[n]$
s'y retrouve au moins une fois.

Parmi toutes les stratégies unaires de 
$[n]^{\Nats}$, on qualifie de:
\begin{itemize}
\item \emph{périodiques} celles 
qui sont constituées par une répétition indéfinie 
d'une même séquence $S$ complète relativement à $[n]$.
En particulier toute séquence périodique est complète.
\item \emph{pseudo-périodiques} celles 
qui sont constituées par une succession indéfinie de séquences 
(de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de
$1$ à $n$ revient indéfiniment.
\end{itemize}


François Robert~\cite{Rob95}
a énoncé en 1995 le théorème suivant de convergence 
dans le mode des itérations unaires.

\begin{theorem}\label{Th:conv:GIA}
Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{GIA}(f)$ atteint 
l'unique point fixe $\zeta$ en au plus $n$ pseudo-périodes.
\end{theorem}

Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément 
s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une 
succession indéfinie de séquences de parties de $[n]$ 
dont l'union est $[n]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
J. Bahi~\cite{Bah00} a démontré le théorème suivant:

\begin{theorem}\label{Th:Bahi}
Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée
est pseudo-périodique alors
tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ finit par atteindre
l'unique point fixe $\zeta$. 
\end{theorem}

% \section{Distance sur l'espace $\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times \Bool^n$}\label{sub:metric}
% On considère l'espace $\mathcal{X}=\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times
% \Bool^n$ et
% on définit la distance $d$ entre les points $X=(s,x)$ et
% $X'=(s',x')$ de $\mathcal{X}$ par 
% \[
% d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
% \left\{
% \begin{array}{l}
% \displaystyle{d_H(x,x')=\sum_{i=1}^n |x_i-x'_i|}\\[5mm] 
% \displaystyle{d_S(s,s')=\frac{9}{n}\sum_{t\in\Nats}\frac{|s_t-s'_t|}{10^{t+1}}}.
% \end{array}
% \right.\,.
% \]
% On note que dans le calcul de $d_H(x,x')$-- 
% appelée \gls{distanceHamming} (cf. glossaire) entre $x$ et $x'$-- 
% les termes $x_i$ et $x'_i$ sont considérés comme des entiers naturels 
% égaux à $0$ ou à $1$ et que le calcul est effectué dans $\Z$.
% De plus, la \gls{partieentiere} (cf. glossaire) 
% $\lfloor d(X,X')\rfloor$ est égale à $d_H(x,x')$ soit la distance 
% de Hamming entre $x$ et $x'$. 
% %D'autre part, $d(X,X')-\lfloor d(X,X')\rfloor=d_S(s,s')$ 
% %mesure la différence entre $s$ et $s'$.
% On remarque que la partie décimale est inférieure à $10^{-l}$ si
% et seulement si les $l$ premiers termes des deux stratégies sont égaux. 
% De plus, si la 
% $(l+1)^{\textrm{ème}}$ décimale  
% de $d_S(s,s')$ 
% n'est pas nulle, alors $s_l$ est différent de  $s'_l$. 

% On a  démontré que pour toute fonction booléenne $f$, 
% $G_f$ est continue sur $\mathcal{X}$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).   

