\begin{itemize}
\item Vers une fonction de 
$\mathcal{X}_g =\Bool^{\mathsf{N}} 
\times  \left(\mathcal{P}([{\mathsf{N}}]\right)^{\Nats}$ 
dans lui même:
\begin{itemize}
\item   $F_{f_g}:  \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}([{\mathsf{N}}]) 
  \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$  par
  $
  F_{f_g}(x,s)_i=\left\{
    \begin{array}{l}
      f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\   
      x_i \textrm{ sinon.}
    \end{array}\right.
  $
\item $\sigma: 
 \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])^{\Nats}
 \rightarrow 
 \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])^{\Nats}$
 t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
\item $G_{f_g}$ définie par 
   $
  G_{f_g}(x,S)=(F_{f_g}(x,s_0),\sigma(S)),
  $ 

\end{itemize}

\item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d'_S(s,s')$
\end{itemize}

\begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{f_g}$ est chaotique]
\label{Th:CaracIC}  
Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. 
Les itérations de la fonction $G_{f_g}$ sont chaotiques  
si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
