\begin{itemize}
\item Vers une fonction de 
$\mathcal{X}_u =\Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats$ 
dans lui même~\cite{ccgh16}:
\begin{itemize}
\item $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, 
$(x,i) \mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_{\mathsf{N}})$
\item $\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats \rightarrow \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats$ t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
\item $G_{{f_u},b}$ définie par 
  $G_{{f_u},b}(x,s)=(F_{f_u}( \dots(F_{f_u}(x,s_0),\dots),s_{b-1}),\sigma^b(s))$
\end{itemize}

\item Distance $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d''_S(s,s')$
\end{itemize}

\begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{{f_u},b}$ est chaotique~\cite{ccgh16}]
La fonction $G_{f_u,b}$ est chaotique sur 
 $(\mathcal{X}_u,d)$ si et seulement si 
le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{b}(f)$ 
est fortement connexe.
\end{theorem}


\vspace{-4.5em}
\begin{center}
\begin{minipage}{0.30\textwidth}
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.35]{../images/h2prng}
  \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.40\textwidth}
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.35]{../images/h3prng}
  \end{center}
\end{minipage}
\end{center}



%  \begin{itemize}
% \item Vers une fonction de 
%   $\mathcal{X}_u$ dans lui même:
% \begin{itemize}
% \item   
% $F_{{f_u},b} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{b}
% \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
% $
% F_{f_u,b} (x,(u^1, \hdots, u^{b})) = 
% F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(x,u^1), \hdots), u^{b}).
% $



% \item $\sigma: 
%  \left(\mathcal{P}(\llbracket 1;{\mathsf{N}}\rrbracket)\right)^{\Nats}
%  \rightarrow 
%  \left(\mathcal{P}(\llbracket 1;{\mathsf{N}}\rrbracket)\right)^{\Nats}$
%  t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
% \item $G_{f_g}$ définie par 
%    \[
%   G_{f_g}(x,S)=(F_{f_g}(x,s_0),\sigma(S)),
%   \] 

% \end{itemize}

% \item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d'_S(s,s')$
% \end{itemize}

% \begin{theorem}[Fonctions t.q.  $G_{f_g}$ est chaotique]
% \label{Th:CaracIC}  
% Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. 
% Les itérations de la fonction $G_{f_g}$ sont chaotiques  
% si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
% \end{theorem}
