On reprend ici le même plan que dans la section précédente.

Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel et $f$ une fonction de 
$\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.


\subsection{Des itérations généralisées aux itérations parallèles}

Dans le schéma généralisé, à la  $t^{\textrm{ème}}$ itération, 
c'est l'ensemble 
des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[n]$) qui 
sont  mis à jour (c.f. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
On redéfinit la fonction la fonction
  $F_f:  \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\}) 
  \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$  par
  \[
  F_f(x,s)_i=\left\{
    \begin{array}{l}
      f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\   
      x_i \textrm{ sinon.}
    \end{array}\right.
  \]
  
Dans ce schéma d'itérations généralisées, 
pour une configuration initiale
$x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$ et une stratégie $S = \left(s_t\right)_{t \in  \mathds{N}}
\in \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$,
les
configurations $x^t$ sont définies par la récurrence
\begin{equation}\label{eq:asyn}
    x^{t+1}=F_f(s_t,x^t).
  \end{equation}
  Soit alors $G_f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}  \times  \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$ 
  dans lui-même définie par 
  \[
  G_f(S,x)=(\sigma(S),F_f(s_0,x)),
  \] 
  où la fonction $\sigma$ est définit comme à la section précédente.
  A nouveau, les itérations généralisées 
  de $f$ induites par $x^0$ et la  stratégie $S$.
  décrivent la même orbite que les 
  itérations parallèles de $G_f$ depuis un point initial
  $X^0=(x^0,S)$ 
  
  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On peut alors construire l'espace 
$\mathcal{X} = \Bool^{\mathsf{N}} \times
\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$

\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}$}

Cette nouvelle distance va comparer des ensembles. 
On rappelle pour quelques notions ensemblistes. 
Pour $A$ et $B$ deux ensembles de l'univers $\Omega$,
on rappelle la définition de l'opérateur 
de \emph{différence ensembliste} symétrique :
\[
A \Delta B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)
\]  
où $\overline{B}$ désigne le complémentaire de $B$ dans $\Omega$.

On considère l'espace $\mathcal{X}=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times
\Bool^{\mathsf{N}}$ et
on définit la distance $d$ entre les points $X=(S,x)$ et
$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}$ par 
\[
d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{d_H(x,x')=\sum_{i=1}^{\mathsf{N}} |x_i-x'_i|}\\[5mm] 
\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
\end{array}
\right.\,.
\]

La fonction $d$ est une somme de deux fonctions.
La fonction $d_H$ est la distance de Hamming; il est aussi établi que la 
somme de deux distances est une distance.
Ainsi, pour montrer que $d$ est aussi une distance, il suffit 
de montrer que $d_S$ en une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:generalise}.

La section suivante caractérise les fonctions $f$ qui sont  
chaotiques pour le schéma généralisées.


\subsection{Caractérisation des fonctions chaotiques 
pour le schéma généralisé}
On a les théorèmes suivants dont les preuves sont données en 
annexe~\ref{anx:chaos:generalise}.

\begin{theorem} $G_f$  est transitive si et seulement si 
 $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
\end{theorem}


\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
\label{Th:CaracIC}  
Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique  
si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}









