
Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos
dans  les systèmes booléens sont rappelées.



Soit un espace topologique $(\mathcal{X},\tau)$ et une fonction continue $f :
\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$.




\begin{Def}[Chaos selon Devaney~\cite{Devaney}]
La fonction $f$  \emph{chaotique} sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
si elles est régulière et topologiquement transitive.
\end{Def}



\begin{Def}[Transitivite topologique]
La fonction  $f$ est dite  \emph{topologiquement transitive} si, 
pour chaque paire d'ensembles ouverts
$U,V \subset \mathcal{X}$, 
il existe  $k>0$ tel que $f^k(U) \cap V \neq
\varnothing$.
\end{Def}

\begin{Def}[Point périodique]
  Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \emph{périodique}  de période $t$ pour
  une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
  pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
  Par la  suite, $\emph{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
  $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
\end{Def}



\begin{Def}[Régularité]
La fonction $f$ est dite \emph{régulière} 
sur $(\mathcal{X}, \tau)$ si l'ensemble des points périodiques 
 de $f$ is dense in $\mathcal{X}$: 
pour chaque point $x \in \mathcal{X}$, chaque voisin 
de $x$ contient au moins un point périodique 
(sans que la période soit nécessairement constante).
\end{Def}









La propriété de chaos est souvent associée à la notion de 
\og sensibilité aux conditions initiales\fg{}, notion définie elle 
sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ par:


\begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},\tau)$ 
est  \emph{fortement sensible aux conditions initiales} 
s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout 
 $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et  
$t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et 
$d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.

La constante $\delta$ est appelée \emph{constante de sensibilité} de $f$.
\end{Def}

John Banks et ses collègues ont cependant
démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}. 











