
\subsection{Synthèses des contributions}

Les principales contributions gravitent autour des mathématiques discrètes et plus particulièrement 
les itérations de systèmes dynamiques discrets.

Pour chacun des modes et des conditions de synchronisme,
il existe des critères  (suffisants) de convergence
globale ou locale.

Nous avons formalisé le mode des 
\emph{itérations mixtes} (introduit par Pr. J. M.  Bahi en 2005 notamment)
qui combine synchronisme et asynchronisme (chapitre~\ref{chap:sdd})
et leur extension  les \emph{itérations mixtes avec délais uniformes}.
Nous avons pu ainsi énoncer puis démontrer des résultats
établissant que pour des conditions classiques de convergence des itérations
synchrones, les itérations mixtes à délai uniforme
convergent aussi vers le même point fixe.

Nous avons de plus démontré (chapitre~\ref{chap:promela}) qu'on peut simuler 
des SDDs selon tous les modes avec l'outil SPIN de \emph{Model-Checking} pour établir 
formellement leur convergence (ou pas).
Nous avons énoncé puis prouvé ensuite la  correction et la complétude de la démarche.
Des données pratiques comme la complexité et des synthèses d'expérimentation
ont aussi été fournies.

Nous nous sommes ensuite intéressés à l'étude du problème dual 
de l'étude de divergence d'un SDD. 
Nous avons proposé plusieurs méthodes de construction de 
fonctions permettant d'obtenir des itérations chaotiques.
La première non naïve est basée sur des
conditions suffisantes sur le graphe d'interaction à $\mathsf{N}$ sommets 
(chapitre~\ref{chap:carachaos}).
Une seconde méthode plus efficace permet en plus de disposer d'une chaîne de Markov doublement 
stochastique  et s'appuie sur les cycles hamiltoniens du graphe des
itérations. Elle est présentée au chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}.
Ces méthodes ont permis d'étendre à l'infini la classe des fonctions 
dont les itérations sont chaotiques.

Nous avons aussi 
entrepris d'étudier ces itérations et plus particulièrement leur 
apprentissage par un réseau de neurones. 
Nous avons notamment pu contribuer à montrer pratiquement qu'il
est très difficile (voir impossible) de les prédire 
à l'aide d'outils d'intelligence artificielle (chapitre~\ref{chp:ANN}).

Avec la production d'une grande collection de fonctions à itérations chaotiques, nous avons donc proposé de répondre à la question suivante: comment engendrer des fonctions 
dont les itérations vont produire des nombres simulant correctement l'aléa. 
En d'autres termes, quelles fonctions peuvent être embarquées dans un PRNG? 
Nous avons d'abord caractérisé les fonctions dont les itérations produisent des nombres 
selon une distribution uniforme (chapitre~\ref{chap:PRNG:chao}). Pour cela il a fallu réécrire
l'algorithme de génération comme une marche aléatoire dans une partie du $\mathsf{N}$-cube,
se ramener ensuite à une chaîne de Markov puis  enfin 
utiliser la théorie élaborée sur ce sujet 
pour conclure (chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}).

Parmi les fonctions retenues, celles issues de la suppression 
d'un cycle hamiltonien dans un $\mathsf{N}$-cube ont retenu notre attention. 
Nous nous sommes aussi attaché à montrer l'importance de l'équilibrage du cycle
hamiltonien à enlever (chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}).
Nous avons de plus entrepris dans ce chapitre 
de trouver un majorant du nombre d'itérations suffisant à
l'obtention d'une distribution uniforme 

Nous avons renforcé la thématique de marquage de document numérique de l'équipe AND en 
embarquant ces fonctions dans des outils de watermarking.
Nous avons participé à la formalisation de la méthode de
marquage de médias (chapitre~\ref{chap:watermarking}) et particularisé
ceci à des images numériques fournissant un 
nouveau contexte pour l'étude théorique et mathématique d'algorithmes de marquage.
Des instances de ces algorithmes ont été présentées en sélectionnant de manière 
pertinente les fonctions à itérer  pour garantir une robustesse 
élevée.

D'autre méthodes de watermarking ont été investies (mais plus dans le domaine discret), 
particulièrement celles basées sur la Quantization Index Modulation (QIM), méthodes 
étant supposées comme les plus robustes. Nos principales contributions 
sur ce travail ont été 
d'intégrer ceci à du marquage de document PDF puis de 
présenter ce problème comme un problème d'optimisation (chapitre~\ref{chap:watermarking:pdf}).

Nous avons de plus conçu l'algorithme STABYLO (chapitre~\ref{chap:stabylo})
qui est un schéma de stéganographie basé sur l'enfouissement de l'information dans les contours 
présents dans une image. Cet algorithme présente un bon compromis entre sécurité
fournie et complexité algorithmique.
Nous avons enfin proposé d'exprimer les fonctions de distorsion classiquement utilisées en stéganographie 
comme des méthodes de calcul de gradient 
ou de matrice Hessienne. Grâce à l'étude de ces matrices, nous avons proposé un nouveau schéma de 
stéganographie sécurisé (chapitre~\ref{chap:th:yousra}).

\subsection{Quelques perspectives}

\subsubsection{Étendons les PRNGs}
La démarche actuelle de génération de nombres pseudo-aléatoires
consiste à marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube en choisissant son chemin
à l'aide d'un générateur fourni en entrée. Or ces générateurs sont tous des 
fonctions de $\{0,1\}^{\mathsf{N}}$ dans lui-même. Cette approche
semble pouvoir se réécrire comme un produit synchrone de deux automates.
L'intérêt d'une telle réécriture est qu'on pourrait exploiter 
les résultats théoriques et pratiques déjà connus dans la communauté
des automates. 
Nous  pensons investiguer cette voie pour améliorer notre approche, 
s'affranchir, à terme, de tout autre générateur et améliorer la
connaissance à ce sujet.

De plus, marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube est le modèle théorique que 
nous avons établi pour notre classe de générateurs. On a vu, via les itérations généralisées 
qu'on pouvait modifier plusieurs bits 
en une seule itération. Les premiers travaux pratiques réalisés ont montré 
que le nombre d'itérations suffisant pour converger vers une distribution uniforme
est plus petit que celui obtenu en marchant et qu'il diminue à mesure que $\mathsf{N}$ 
augmente. Pour l'instant, nous n'avons pas réussi à obtenir une majoration du nombre d'itérations 
pour le temps d'arrêt, ce qui pourrait être une perspective.

\subsubsection{Des codes de Gray localement et globalement équilibrés}
Enfin, pour générer une fonction dont la matrice de Markov est doublement
stochastique
--condition nécessaire pour fournir une sortie uniformément distribuée--, 
nous avons proposé principalement la méthode de
suppression de chemin hamiltonien dans un $\mathsf{N}$-cube. 
Nous avons fait sauter un premier verrou en proposant une méthode déterministe à l'extension
de Robinson-Cohn. Il est apparu récemment des algorithmes permettant d'obtenir des codes de Gray 
localement équilibrés, c.-à-d. où la longueur du plus grand nombre d'étapes entre 
deux changements d'un même bit est aussi petite que possible.
Dans tous les cas, aucun de ces codes n'est globalement équilibré ni même presque équilibré.
Cette double propriété serait cependant très intéressante aussi bien théoriquement que pratiquement
pour nos générateurs.
Un second verrou consistera à adapter ces algorithmes pour proposer des codes possédant les 
deux propriétés d'équilibrage.
 
\subsubsection{Stéganalyse par deep learning}

Les démarches de stéganalyse sont souvent composées de 2 étapes: 
caractérisation puis classification. 
On extrait au préalable une grande quantité des caractéristiques du média 
puis on utilise une méthode de 
classification basée sur celles-ci. La communauté voit souvent cette 
seconde étape comme une boite noire et se concentre 
sur la construction de l'ensemble des caractéristiques les plus discriminantes.
Autant que nous sachions, les méthodes algébriques 
de réduction de domaine (analyse par composant principaux, SVD) 
ont rarement été utilisées comme une étape intermédiaire entre la caractérisation et 
la classification. Ces méthodes ont déjà été 
appliquées avec succès lorsqu'elles sont combinées avec des méthodes 
d'apprentissage, par exemple dans de la reconnaissance faciale.
Je propose d'étudier cette piste dans ce domaine. 


De plus les résultats obtenus en stéganalyse à l'aide de deep learning à base de convolutions
sont très prometteurs  lorsque la clef qui a servi à l'embarquement est constante. 
Malheureusement, lorsque la clef varie, nous n'avons pas réussi à généraliser ces avancées.
Les démarches les plus efficaces demeurent 
celles obtenues par des approches classiques à base de caractéristiques statistiques (features) 
d'images.
Cependant, en étudiant plus finement les features, on constate que nombreuses sont celles qui sont aussi
basées sur des produits de convolution.
Je propose d'étudier exhaustivement ces features pour d'abord traduire
en deep-learning celles qui sont des convolutions directes. Il restera ensuite 
à adapter l'outil de deep learning aux caractéristiques restantes ce qui est un autre challenge 
scientifique. 

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