% \only<1>{
% \begin{theorem}[Théorème 1: Hull \& Dobell 1962]
% La période de la suite produite par le générateur congruentiel linéaire est $m$ si %et seulement si 
% \begin{enumerate}
% \item\label{item:gcl:c1} $c$ et $m$: premiers entre eux,
% \item\label{item:gcl:c2}  $a \equiv 1 \mod p$ pour chaque facteur premier $p$ de $m$ et 
% \item\label{item:gcl:c3} $a \equiv 1 \mod 4$ si  $4$ divise $m$.
% \end{enumerate}
% \end{theorem}
% }

\begin{theorem}[]%[Théorème 1: Hull \& Dobell 1962]\label{theo:hull:dobell}
La période de la suite produite par le générateur congruentiel linéaire est $m$ si %et seulement si 
\begin{enumerate}
\item\label{item:gcl:c1} $c$ et $m$: premiers entre eux,
\item\label{item:gcl:c2}  $a \equiv 1 \mod p$ pour chaque facteur premier $p$ de $m$ et 
\item\label{item:gcl:c3} $a \equiv 1 \mod 4$ si  $4$ divise $m$.
\end{enumerate}
\end{theorem}


\begin{enumerate}
\item {\sc Lemme}~1 $\Rightarrow$ la période est l'entier $n$ minimum qui établit
\begin{equation}
\tag{4}
\frac{a^n-1}{a-1}\equiv 0 \mod m.
\end{equation}

\item \textbf{Cas $n=m = p^{\alpha}$, $p$ premier et $\alpha \geq 2$} ({\sc Lemme}~2):
\begin{enumerate}
\item binôme de Newton pour réécrire $a^n$;
\item analyse de $\frac{p^{\alpha}}{j}$ dans $(6)$ $\leadsto$ (4) établie.
\end{enumerate}
\item \textbf{Cas $n<m = p^{\alpha}$, $p$ premier et $\alpha \geq 2$} ({\sc Lemme}~3):
\begin{enumerate}
\item (4) établie $\Rightarrow$  $n$   puissance de $p$,  
\item or (4) pas établie pour $n=p^{\alpha-1}$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Cas $m=p_1^{\alpha1}p_2^{\alpha2}\dots p_s^{\alpha_s}$  et 
$a = 1 + kp_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\dots p_s^{\beta_s}$}:
\begin{enumerate}
\item preuve similaire (cas 2. puis  3.).
\end{enumerate}

\end{enumerate}

