Pour $S,S' \in \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$, 
on définit  
\[
\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
\]
Montrons que $d_S$ est une distance sur $\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$.



Soit $S$, $S'$ et $S''$ trois parties de $[{\mathsf{N}}]$.
\begin{itemize}
\item De manière évidente, $d_s(S,S')$ est positive ou bien nulle si 
  et seulement si $S$ et $S'$ sont égales.
\item Comme la différence symétrique est commutative, la valeur de  
  $d_S(S,S')$ est égale à  celle de $d_S(S',S)$.
\item On a enfin la succession d'éléments suivants:
  $$
  \begin{array}{rcl}
    S \Delta S' & = & (S \cap \overline{S'}) \cup (\overline{S} \cap S')\\
    & = & (S \cap \overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S'} \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'\cap S'') \cup (\overline{S} \cap S'\cap \overline{S''})\\
    & \subseteq & (S \cap \overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S'} \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'\cap S'') \cup (\overline{S} \cap S'\cap \overline{S''}) \cup \\
     & & (\overline{S} \cap \overline{S'} \cap S'') \cup (S \cap S' \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap \overline{S'} \cap S'') \cup (S \cap S' \cap \overline{S''})\\     
    & = & (\overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'') \cup (S'\cap \overline{S''}) \\
    & = & (S \Delta S'') \cup (S'' \Delta S')   
  \end{array}
  $$
  On en déduit ainsi que 
$|S \Delta S'| \le |S \Delta S''| + |S'' \Delta S'|$ et donc que 
l'égalité triangulaire $d_S(S,S') \le d_S(S,S'') + d_S(S'',S')$ est établie.
\end{itemize}



