\begin{itemize}
\item Détectabilité de modification:
\begin{itemize}
\item Facile: les régions uniformes, les bords clairement définis\ldots
\item Difficile: les textures, le bruit, les régions ``chaotiques''\ldots
 $\leftrightarrows$ courbes de niveau très perturbées. 
\end{itemize}
\item Mathématiques des courbes de niveau: gradient, matrice 
hessienne.
\item Signature d'une image: $P:[l]\times [L] \rightarrow\R$ et pas 
  $\R^2 \rightarrow \R$.
\end{itemize}

\begin{block}{Gradient dans des image~\cite{ccfg16:ip}}
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\begin{itemize}
\item Approches usuelles: convolutions avec des noyaux de type ``Sobel'',
  ``Prewitt'',\ldots
\item Proposition : noyaux de taille variable \\(entre 3 et 13) 
  \begin{enumerate}
  \item $Ky$: symétrique, centré, approximation discrète de dérivée seconde.
  \item $Ko$:  à base de polynômes d'interpolation.
  \end{enumerate}
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.30\textwidth}
%\vspace{-3em}
%\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{kyko.png}
%\end{center}
\end{minipage}
\end{block}
% $
% \begin{tiny}
% \arraycolsep=0.8pt
% \def\arraystretch{0.9}
%     \textit{Ky}_{x^2}''=
%     \left(
%     \begin{array}{ccccccccc}
%          0           & & & & .& & & & 0  \\
%          .      & & & & & & & & . \\
%          0           & & & & . & & & & 0  \\
%          \frac{1}{2n}& 0 & . & 0  & -\frac{1}{n} & 0  & . & 0& \frac{1}{2n} \\
%          0           & & & & .& & & & 0  \\
%         .      & & & & & & & & . \\
%          0           & & & & . & & & & 0  
%     \end{array}
%     \right)
%   \end{tiny}
%   \textrm{ et }
%   \begin{tiny}
% \arraycolsep=0.8pt
% \def\arraystretch{1.4}
% \textit{Ky}_{xy}'' = \dfrac{1}{4}
% \left(
%     \begin{array}{ccccccccc}
%      \frac{1}{n^2}& . & \frac{1}{2n} & \frac{1}{n} 
%      & 0 &
%      -\frac{1}{n}&-\frac{1}{2n} & . &  -\frac{1}{n^2} 
%      \\
%      . & 0     &    &
%      & . &
%       &  &  0 & . 
%      \\
%      \frac{1}{2n} & 0 &        &
%      & . &
%         &  & 0& -\frac{1}{2n} 
%      \\
%      \frac{1}{n} & 0 &    &    
%      & . &
%       &  & 0 &  -\frac{1}{n}
%      \\
%      0      &      & & & .& & & & 0  \\
%      -\frac{1}{n} & 0 &        &
%      & . &
%         &  &0 & \frac{1}{n}
%      \\
%      -\frac{1}{2n} & 0 &       &
%      & . &
%       &  & 0 &  \frac{1}{2n} 
%      \\
%       . & 0 &    &    
%      & . &
%         &  & 0& . 
%      \\
%      -\frac{1}{n^2}&  . & -\frac{1}{2n} & -\frac{1}{n} 
%      & 0 &
%      \frac{1}{n}& \frac{1}{2n} & .  & \frac{1}{n^2}
%     \end{array}
%     \right).
%   \end{tiny}
% $


