-Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives:
+Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives dans le cas
+des itérations généralisées.
-\begin{theorem} $G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
- $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\caractransitivegeneralise*
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
$\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{gig}(f)$ soit fortement connexe.
Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_g$ et $\varepsilon >0$.
$G_{f_g}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
Ainsi $G_{f_g}$ n'est pas transitive et
par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
-\end{Proof}
+\end{proof}
Prouvons à présent le théorème suivant:
-\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R:gp} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
-\end{theorem}
+\caracsubgeneralise*
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que $G_{f_g}$ est transitive (\textit{i.e.}
$f$ appartient à $\mathcal{T}$).
Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_g$ et $\varepsilon >0$. Pour
$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_g}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point
périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le
choix de $t_1$, on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
-\end{Proof}
+\end{proof}
On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
-= \mathcal{T}$. On a alors la caractérisation suivante:
-
-\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC:gp}
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_g}$ est chaotique
-si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+= \mathcal{T}$.
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