La plupart des schémas de stéganographie sont conçus de sorte à minimiser une
fonction de distorsion. Dans les exemples du chapitre précédent,
ces fonctions de distorsion sont construites dans l'objectif de préserver
-les caractéristiques de l'images.
+les caractéristiques de l'image.
On comprend aisément que dans des régions uniformes ou sur des bords clairement définis,
une modification même mineure de l'image est facilement détectable.
Au contraire les textures, le bruit ou les régions chaotiques
plus le gradient varie en ce point. Évaluer ce type de matrice est ainsi primordial
en stéganographie. Cependant cette tâche n'est pas aussi triviale qu'elle n'y
paraît puisque les images naturelles ne sont pas définies à l'aide
-de fonction différentiables de $\R^+\times \R^+$
+de fonctions différentiables de $\R^+\times \R^+$
dans $\R^+$.
La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices.
Il est connu que
$\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} $ est égal à
$\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$ si
-les méthode qui calculent le gradient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
+les méthodes qui calculent le gradient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
sont les mêmes.
-Le tableau~\ref{table:hessian:usual} résume les les noyaux
+Le tableau~\ref{table:hessian:usual} résume les noyaux
$K_{x^2}''$ et
$K_{xy}''$
qui permettent de calculer respectivement
\end{table}
Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de détecter si le
-pixel central appartient à un bord ``vertical'', même si celui contient du bruit,
-en considérant ces voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment
+pixel central appartient à un bord ``vertical'', même si celui-ci
+ contient du bruit,
+en considérant ses voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment
pertinents dans un objectif de détecter les bords. Cependant, leur lien avec
les lignes de niveau n'est pas direct. De plus tous les pixels qui sont dans la
deuxième et la quatrième colonne de ce noyau sont ignorés.
Le noyau de Prewitt a des propriétés similaires.
Le noyau de différence centrale $\textit{Kc}_{x^2}''$ n'est pas influencé par les
-voisins verticaux du pixel central et peu paraître plus adapté ici.
+voisins verticaux du pixel central et peut paraître plus adapté ici.
Cependant, le noyau $\textit{Kc}_{xy}''$ perd aussi les valeurs des pixels
qui sont alignés verticalement et diagonalement avec le pixel central.
Enfin, le noyau de différence intermédiaire $\textit{Ki}_{x^2}''$ décale
à gauche la valeur des variations horizontales de $\dfrac{\partial P}{\partial x}$:
-Le pixel central $(0,0)$ reçoit exactement la valeur
+le pixel central $(0,0)$ reçoit exactement la valeur
$\dfrac{P(0,2)-P(0,1)}{1} - \dfrac{P(0,1)-P(0,0)}{1}$,
qui est une approximation de
$\dfrac{\partial P}{\partial x}(0,1)$ et non de
La section suivante propose une autre approche pour calculer les lignes de niveau avec une précision accrue.
\section{Des noyaux pour des lignes de niveau}\label{sec:second}
-On ne restreint pas aux noyaux de taille fixe (comme $3\times3$ or $5 \times 5$
+On ne se
+restreint pas aux noyaux de taille fixe (comme $3\times3$ or $5 \times 5$
dans les schémas précédents). Au contraire, on considère des noyaux de taille variable
$(2n+1)\times (2n+1)$, $n \in \{1,2,\dots,N\}$, où
$N$ est un paramètre de l'approche.
du gradient autour du pixel central. On obtient donc bien une approximation de
$\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$.
Lorsque $n$ vaut 1, ce noyau est une version centrée du noyau horizontal de différence
-intermédiaires. $\textit{Ki}_{x^2}''$ à un facteur $1/2$ près).
+intermédiaire. $\textit{Ki}_{x^2}''$ à un facteur $1/2$ près).
Lorsque $n$ vaut 2, on retrouve $\textit{Kc}_{x^2}''$.
Les variations verticales du gradient sont aussi obtenues en faisant subir
et de
$\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2}$.
-La section suivante étudie la pertinence d'interpoler une image par un polynome
-lorsqu'on cherche a obtenir ces dérivées secondes.
+La section suivante étudie la pertinence d'interpoler une image par un polynôme
+lorsqu'on cherche à obtenir ces dérivées secondes.
\section{Interpolation polynomiale pour le calcul de la matrice hessienne}\label{sec:poly}
Soit $P(x,y)$ la valeur du pixel $(x,y)$ et soit $n$, $1 \le n \le N$,
-tel que l'objectif est de trouver un polynome d'interpolation dans la fenêtre de taille
+tel que l'objectif est de trouver un polynôme d'interpolation dans la fenêtre de taille
$(2n+1)\times(2n+1)$ dont le pixel central a pour indice $(0,0)$.
Il existe un unique polynôme $L : \R\times \R \to \R$
de degré $(2n+1)\times(2n+1)$ tel que $L(x,y)=P(x,y)$ pour chaque pixel
-$(x,y)$ de cette fenêtre et ce polynome est défini par
+$(x,y)$ de cette fenêtre et ce polynôme est défini par
\begin{equation}
\begin{array}{l}
L(x,y) =
\section{Fonction de distorsion}\label{sec:distortion}
Une fonction de distorsion associe à chaque pixel $(i,j)$
-le coût $\rho_{ij}$ du modification par $\pm 1$. L'objectif est d'associer une
+le coût $\rho_{ij}$ de modification par $\pm 1$. L'objectif est d'associer une
valeur faible aux pixels dont toutes les dérivées secondes sont éloignées de 0
et une valeur rédhibitoire sinon.
Dans WOW comme dans UNIWARD la fonction de distorsion est définie par
\]
où $p$ est un nombre négatif et
$\xi_{ij}^h$ (resp. $\xi_{ij}^v$ et $\xi_{ij}^d$)
-représentent la pertinence horizontale (resp. verticale et diagonale) de modification.
+représente la pertinence horizontale (resp. verticale et diagonale) de modification.
Une faible pertinence dans une direction signifie que l'embarquement
dans ce pixel est inapproprié.
La fonction de distorsion que l'on a retenu est une particularisation ($p=-1$)
Les deux méthodes présentées ici dépendent de noyaux dont la taille va jusqu'à
$(2N+1)\times(2N+1)$. Cette section montre comment évaluer $N$ pour maximiser
le niveau de sécurité.
-Pour chaque approche, 1,000 images stégos avec
-$N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$ et dont les supports appartiennent
-à l'ensemble des 10000 images du challenge BOSS.
+Pour chaque approche ($N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$),
+1000 images stégos du challenge BOSS ont été selectionnées.
La sécurité de l'approche a été évaluée avec le stéganalyseur
Ensemble Classifier~\cite{DBLP:journals/tifs/KodovskyFH12}.
Pour un taux d'embarquement $\alpha$ égal soit à $0.1$ ou soit à $0.4$,
On observe que la taille $N=4$ (respectivement $N=12$)
permet d'obtenir des erreurs suffisamment élevées pour l'approche basée sur $Ky$
(resp. pour celle basée sur $Ko$).
-Ces deux valeurs de paramètre sont retenues par la suite.
+Ces deux valeurs de paramètres sont retenues par la suite.
\begin{table}[ht]
\caption{Erreur moyenne de test en fonction de la taille du noyau}
Ici c'est cependant l'ensemble des 10000 images qui a été utilisé pour évaluer
la sécurité.
C'est aussi les caractéristiques SRM et Ensemble Classifier qui ont été utilisées
-pour évaluer la sécurité de l'approche..
+pour évaluer la sécurité de l'approche.
Quatre taux d'embarquement 0.1, 0.2, 0.3 et 0.4
ont été retenus. Pour chaque expérience,
l'aire sous la courbe de ROC (AUC),
