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index 7ebcfde08a12135fe0e794406acccb7119118fe8..7c04d4905f9aa47d262af09869898a02dc5ad66c 100644 (file)
--- a/12TIPE.tex
+++ b/12TIPE.tex
@@ -8,19 +8,21 @@ $\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.
 
 Dans le schéma unaire, à la  $t^{\textrm{ème}}$ itération, 
 seul le  $s_{t}^{\textrm{ème}}$ 
 
 Dans le schéma unaire, à la  $t^{\textrm{ème}}$ itération, 
 seul le  $s_{t}^{\textrm{ème}}$ 

-composant (entre 1 et $n$) est mis à jour.
+composant (entre 1 et $\mathsf{N}$) est mis à jour.

 Pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$ 
 (\textit{i.e.}, une séquence d'indices
 Pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$ 
 (\textit{i.e.}, une séquence d'indices

-de $\llbracket 1;\mathsf{N} \rrbracket$), on peut définir
-la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket$
+de $[\mathsf{N}]$), on peut définir
+la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times [\mathsf{N}]$

 vers $\Bool^\mathsf{N}$ par 
 vers $\Bool^\mathsf{N}$ par 

-\[
+
+\begin{equation}

 F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).
 F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).

-\]
+\label{eq:iterations:unaires}
+\end{equation}

 
 Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale
 $x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in
 
 Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale
 $x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in

-\llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket^\Nats$, les configurations $x^t$
+[\mathsf{N}]^\Nats$, les configurations $x^t$

 sont définies par la récurrence
 \begin{equation}\label{eq:asyn}
 x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t).
 sont définies par la récurrence
 \begin{equation}\label{eq:asyn}
 x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t).


@@ -29,7 +31,7 @@ x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t).
 
 On peut alors construire l'espace 
 $\mathcal{X}_u =
 
 On peut alors construire l'espace 
 $\mathcal{X}_u =

-\Bool^{{\mathsf{N}}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}$ 
+\Bool^{{\mathsf{N}}} \times [{\mathsf{N}}]^{\Nats}$ 

 et la fonction d'itération $G_{f_u}$ définie  de 
 $\mathcal{X}_u$ 
 dans lui-même par 
 et la fonction d'itération $G_{f_u}$ définie  de 
 $\mathcal{X}_u$ 
 dans lui-même par 


@@ -39,8 +41,8 @@ G_{f_u}(x,s)=(F_{f_u}(x,s_0),\sigma(s)).
 \end{equation}
 
 Dans cette définition, la fonction 
 \end{equation}
 
 Dans cette définition, la fonction 

-$\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats} \longrightarrow
- \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats} 
+$\sigma: {\mathsf{N}}]^{\Nats} \longrightarrow
+ [{\mathsf{N}}]^{\Nats} 

 $
 décale
 la stratégie fournie en argument d'un élément vers la gauche en supprimant 
 $
 décale
 la stratégie fournie en argument d'un élément vers la gauche en supprimant 


@@ -59,7 +61,7 @@ La section suivante introduit une métrique sur $\mathcal{X}_u$.
 Sur $\mathcal{X}_u$, 
 on définit la distance $d$ entre les points $X=(x,s)$ et
 $X'=(x',s')$ de $\mathcal{X}_u$ par 
 Sur $\mathcal{X}_u$, 
 on définit la distance $d$ entre les points $X=(x,s)$ et
 $X'=(x',s')$ de $\mathcal{X}_u$ par 

-\[
+\begin{equation}

 d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
 \left\{
 \begin{array}{l}
 d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
 \left\{
 \begin{array}{l}


@@ -67,7 +69,8 @@ d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
 \displaystyle{d_S(s,s')=\frac{9}{n}\sum_{t\in\Nats}\frac{|s_t-s'_t|}{10^{t+1}}}.
 \end{array}
 \right.\,.
 \displaystyle{d_S(s,s')=\frac{9}{n}\sum_{t\in\Nats}\frac{|s_t-s'_t|}{10^{t+1}}}.
 \end{array}
 \right.\,.

-\]
+\end{equation}
+

 On note que dans le calcul de $d_H(x,x')$-- 
 appelée distance de Hamming entre $x$ et $x'$-- 
 les termes $x_i$ et $x'_i$ sont considérés comme des entiers naturels 
 On note que dans le calcul de $d_H(x,x')$-- 
 appelée distance de Hamming entre $x$ et $x'$-- 
 les termes $x_i$ et $x'_i$ sont considérés comme des entiers naturels 


@@ -92,8 +95,8 @@ apporte une réponse à cette question.
 chaotiques $G_{f_u}$ sur $\mathcal{X}_u$}
 
 
 chaotiques $G_{f_u}$ sur $\mathcal{X}_u$}
 
 

-On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$, 
-$G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).   
+% On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$, 
+% $G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).   

 
 Pour caractériser les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$ 
 on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
 
 Pour caractériser les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$ 
 on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.


@@ -103,16 +106,16 @@ $\mathcal{R}$ des fonctions régulières
 et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
 \begin{itemize}
 \item   $\mathcal{T}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
 et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
 \begin{itemize}
 \item   $\mathcal{T}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to

-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,

 \item   $\mathcal{R}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
 \item   $\mathcal{R}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to

-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,

 \item   $\mathcal{C}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
 \item   $\mathcal{C}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to

-\mathds{B}^n  \big/  G_{f_u}  \textrm{  est chaotique} \right\}$.
+\mathds{B}^n  \textrm{ t. q. }  G_{f_u}  \textrm{  est chaotique} \right\}$.

 \end{itemize}
 
 
 \end{itemize}
 
 

-On énonce les théorèmes successifs suivants.
-Leur preuve est donnée en annexe~\ref{anx:chaos:unaire}.
+On énonce les théorèmes successifs suivants dont les preuves sont données 
+dans~\cite{guyeux10}.

 
 \begin{theorem} $G_{f_u}$  est transitive si et seulement si 
  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 
 \begin{theorem} $G_{f_u}$  est transitive si et seulement si 
  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.


@@ -127,7 +130,7 @@ On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
 \label{Th:CaracIC}  
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
 \label{Th:CaracIC}  

-Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique  

 si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 \end{theorem}
 
 si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 \end{theorem}