\section{Programmation logique par contraintes sur des domaines finis}
Tout d'abord, soit ${\mathsf{N}}$ le nombre d'éléments.
-Pour éviter d'avoir à gérér des fractions, on peut considérer que
+Pour éviter d'avoir à gérer des fractions, on peut considérer que
les matrices (d'incidence) à générer ont des lignes et des colonnes dont les
sommes valent ${\mathsf{N}}$ à chaque fois.
On cherche ainsi toutes les matrices $M$ de taille $2^{\mathsf{N}}\times 2^{\mathsf{N}}$ telles que
\item pour $j \neq i$, $0 \le M_{ij} \le 1$: on construit l'arc de $i$ à $j$
si et seulement si $M_{ij}$ vaut 1 (et 0 sinon)
-\item pour chque indice de ligne $i$, $1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$:
+\item pour chaque indice de ligne $i$, $1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$:
la matrice est stochastique à droite;
-\item pour chque indice de colonne $j$,
+\item pour chaque indice de colonne $j$,
$1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$:
la matrice est stochastique à gauche;
\item Toutes les éléments de la somme $\sum_{1\le k\le 2^{\mathsf{N}}}M^k$ sont strictement positif, \textit{i.e.}, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe;
\end{enumerate}
Ce problème s'exprime sur des domaines finis entiers avec des opérateurs
-arithmétiques simples (sommes et poduits). il pourrait théoriquement être
-traité par desdémarches de programation logique par contrainte
+arithmétiques simples (sommes et produits). il pourrait théoriquement être
+traité par des démarches de programmation logique par contrainte
sur des domaines finis (comme en PROLOG).
L'algorithme donné en Figure~\ref{fig:prolog}
est en effet le c{\oe}ur du programme PROLOG
\caption{Code PROLOG permettant de trouver toutes les matrices DSSC pour $n=2$}\label{fig:prolog}
\end{figure}
-Enfin, on définit la relation $\mathcal{R}$, qui est établie pourles deux
+Enfin, on définit la relation $\mathcal{R}$, qui est établie pour les deux
fonctions $f$ et $g$ si leur graphes
respectifs $\textsf{giu}(f)$ et $\textsf{giu}(g)$
sont isomorphes.
pour $n=4$.
Cette approche, basée sur une démarche de type \emph{générer, tester} ne peut
pas être retenue pour $n$ de grande taille, même
-en s'appuyant sur l'éfficience de l'algorithme de backtrack natif de PROLOG.
+en s'appuyant sur l'efficience de l'algorithme de backtrack natif de PROLOG.
Cependant, pour des valeurs de $n$ petites, nous avons
-comparé les fonctions non équivalantes selon leur proportion
+comparé les fonctions non équivalentes selon leur proportion
à engendrer des temps de mélange petits (cf. équation~\ref{eq:mt:ex}).
Ces fonctions étant générée, on s'intéresse à étudier à quelle vitesse
un générateur les embarquant converge vers la distribution uniforme.
-C'est l'objeftif de la section suivante.
+C'est l'objectif de la section suivante.
\section{Quantifier l'écart par rapport à la distribution uniforme}
On considère ici une fonction construite comme à la section précédente.
On s'intéresse ici à étudier de manière théorique les
-itérations définies à l'equation~(\ref{eq:asyn}) pour une
+itérations définies à l'équation~(\ref{eq:asyn}) pour une
stratégie donnée.
-Tout d'abord, celles-ci peuvent être inerprétées comme une marche le long d'un
+Tout d'abord, celles-ci peuvent être interprétées comme une marche le long d'un
graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ tel que le choix de tel ou tel arc est donné par la
stratégie.
-On remaque que ce graphe d'itération est toujours un sous graphe
+On remarque que ce graphe d'itération est toujours un sous graphe
du ${\mathsf{N}}$-cube augmenté des
boucles sur chaque sommet, \textit{i.e.}, les arcs
$(v,v)$ pour chaque $v \in \Bool^{\mathsf{N}}$.
Pour une référence
générale à ce sujet on pourra se référer
au livre~\cite{LevinPeresWilmer2006},
-particulièrementau chapitre sur les temps d'arrêt.
+particulièrement au chapitre sur les temps d'arrêt.
\end{array}
\right.
$$
-La matrice $P$ de la chaine de Markov associée à $f^*$
+La matrice $P$ de la chaîne de Markov associée à $f^*$
est
\[
P=\dfrac{1}{6} \left(
$\nu$ est une distribution on $\Bool^{\mathsf{N}}$, on a
$$\tv{\pi-\mu}\leq \tv{\pi-\nu}+\tv{\nu-\mu}.$$
-Soit $P$ une matrice d'une chaîne de Markovs sur $\Bool^{\mathsf{N}}$.
+Soit $P$ une matrice d'une chaîne de Markov sur $\Bool^{\mathsf{N}}$.
$P(X,\cdot)$ est la distribution induite par la $X^{\textrm{ème}}$ colonne
de $P$.
Si la chaîne de Markov induite par
Un \emph{temps d'arrêt aléatoire} pour la chaîne de
Markov est un temps d'arrêt pour
$(Z_t)_{t\in\mathbb{N}}$.
-Si la chaîne de Markov est irreductible et a $\pi$
+Si la chaîne de Markov est irréductible et a $\pi$
comme distribution stationnaire, alors un
\emph{temps stationnaire} $\tau$ est temps d'arrêt aléatoire
(qui peut dépendre de la configuration initiale $X$),
Sans entrer dans les détails de la preuve, on remarque que le calcul
de cette borne ne tient pas en compte le fait qu'on préfère enlever des
chemins hamiltoniens équilibrés.
-En intégrant cette contrainte, la borne supérieure pourraît être réduite.
+En intégrant cette contrainte, la borne supérieure pourrait être réduite.
+
+\section{Et les itérations généralisées?}
+Le chaptire précédent a présenté un algorithme de
+PRNG construit à partir d'itérations unaires.
+On pourrait penser que cet algorithme est peu efficace puisqu'il
+dispose d'une fonction $f$ de $\Bool^n$ dans lui même mais il ne modifie à
+chaque itération qu'un seul élément de $[n]$.
+On pourrait penser à un algorithme basé sur les itérations généralisées,
+c'est-à-dire qui modifierait une partie des éléments de $[n]$ à chaque
+itération.
+C'est l'algorithme~\ref{CI Algorithm:prng:g}.
+
+\begin{algorithm}[h]
+%\begin{scriptsize}
+\KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$,
+une configuration initiale $x^0$ ($n$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ ($n$ bits)}
+$x\leftarrow x^0$\;
+$k\leftarrow b $\;
+\For{$i=1,\dots,k$}
+{
+$s\leftarrow{\textit{Set}(\textit{Random}(2^n))}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_g}(s,x)}$\;
+}
+return $x$\;
+%\end{scriptsize}
+\caption{PRNG basé sur les itérations généralisées.}
+\label{CI Algorithm:prng:g}
+\end{algorithm}
+
+Par rapport à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} seule
+la ligne $s\leftarrow{\textit{Set}(\textit{Random}(2^n))}$ est différente.
+Dans celle-ci la fonction $\textit{Set} : \{1,\ldots,2^n\} \rightarrow
+\mathcal{P}(\{1,\ldots n\})$ retourne l'ensemble dont la fonction
+caractéristique serait représentée par le nombre donné en argument.
+Par exemple, pour $n=3$, l'ensemble $\textit{Set}(6)$ vaudraitt $\{3,2\}$.
+On remarque aussi que l'argument de la fonction $\textit{Random}$
+passe de $n$ à $2^n$.
+
+Dans ce qui suit, on va étudier cet algorithme comparativement à
+l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
+
