+% Cette section énonce quelques notions suffisantes
+% à la compréhension de ce document.
+% Elle commence par formaliser ce que sont les systèmes dynamiques booléens
+% (section \ref{sub:sdd})
+% et montre comment en extraire leur graphe d'itérations (section~\ref{sub:grIter})
+% et d'interactions (section~\ref{sub:sdd:inter}).
+% Elle se termine en définissant une distance sur l'espace
+% $\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times \Bool^n$ (section~\ref{sub:metric}).
+
+
+
+
+On considère l'espace booléen
+$\Bool=\{0,1\}$
+muni des opérateurs binaires
+de disjonction \og +\fg{},
+de conjonction \og . \fg{} et
+unaire de négation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.
+
+
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel.
+On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$.
+L'ensemble $\{1,\dots, {\mathsf{N}}\}$ sera par la suite noté $[{\mathsf{N}}]$.
+Le $i^{\textrm{ème}}$ composant d'un élément
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ s'écrit $x_i$.
+Si l'ensemble $I$ est une partie de $[{\mathsf{N}}]$, alors
+$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in \Bool^{\mathsf{N}}$
+tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et
+$y_i = x_i$ sinon.
+On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[{\mathsf{N}}]}$
+(chaque composant de $\overline{x}$ est nié:
+c'est une négation composante à composante)
+et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$
+(seul $x_i$ est nié dans $\overline{x}$).
+Pour tout $x$ et $y$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble
+$\Delta(x, y)$, contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
+tels que $x_i \neq y_i$.
+Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
+est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
+Pour chaque
+$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble
+$\Delta f(x)$ est défini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
+On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .
+
+\begin{xpl}\label{xpl:1}
+On considère ${\mathsf{N}}= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+$f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec
+$$\begin{array}{rcl}
+f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\
+f_2(x_1, x_2, x_3) &= &x_1.x_3 \textrm{ et }\\
+f_3(x_1, x_2, x_3) &=& x_1 + x_2 + x_3.
+\end{array}
+$$
+
+\begin{table}[ht]
+$$
+\begin{array}{|l|l|l||c|c|c|}
+\hline
+\multicolumn{3}{|c||}{x} &
+\multicolumn{3}{|c|}{f(x)} \\
+\hline
+x_1 & x_2 & x_3 &
+f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\
+\hline
+0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+\hline
+0& 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
+\hline
+0& 1 & 0 & 0 & 0& 1\\
+\hline
+0& 1 & 1 & 1 & 0& 1\\
+\hline
+1& 0 & 0 & 0 & 0& 1\\
+\hline
+1& 0 & 1 & 1 & 1& 1\\
+\hline
+1& 1 & 0 & 0 & 0& 1\\
+\hline
+1& 1 & 1 & 0 & 1& 1\\
+\hline
+\end{array}
+$$
+\caption{Images de
+$(x_1, x_2, x_3) \mapsto
+((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
+x_1.x_3,
+x_1 + x_2 + x_3)$ \label{table:xpl:images}}
+\end{table}
+
+La \textsc{Table}~\ref{table:xpl:images} donne l'image de chaque élément
+$x \in \Bool^3$.
+Pour $x=(0,1,0)$ les assertions suivantes se déduisent directement du tableau:
+\begin{itemize}
+\item $f(x)=(0,0,1)$;
+\item pour $I=\{1,3\}$, $\overline{x}^{I} = (1,1,1)$ et
+ $\overline{x} = (1,0,1)$;
+\item $\Delta(x,f(x)) = \{2,3\}$.
+\end{itemize}
+
+\end{xpl}
+
+\subsection{Réseau booléen}
+Soit $n$ un entier naturel représentant le nombre
+d'éléments étudiés (gènes, protéines,\ldots).
+Un réseau booléen est
+défini à partir d'une fonction booléenne:
+\[
+f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x=(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}})\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_{\mathsf{N}}(x)),
+\]
+et un {\emph{schéma itératif}} ou encore \emph{mode de mise à jour}. À partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$, la suite $(x^{t})^{t
+ \in \Nats}$ des configurations du système est construite selon l'un des
+schémas suivants :
+\begin{itemize}
+\item \textbf{Schéma parallèle synchrone :} basé sur la relation de récurrence
+ $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous les $x_i$, $1 \le i \le {\mathsf{N}}$, sont ainsi mis à jour à
+ chaque itération en utilisant l'état global précédent du système $x^t$.
+\item \textbf{Schéma unaire :} ce schéma est parfois
+ qualifié de chaotique
+ dans la littérature.
+ Il consiste à modifier la valeur
+ d'un unique élément $i$, $1 \le i \le {\mathsf{N}}$, à
+ chaque itération. Le choix de l'élément qui est modifié à chaque itération est
+ défini par une suite
+ $S = \left(s^t\right)^{t \in \mathds{N}}$ qui est une séquence
+ d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}.
+ Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+
+\begin{equation}
+ x^{t+1}_i=
+ \left\{ \begin{array}{l}
+ f_i(x^t) \textrm{ si } i=s^t, \\
+ x^t_i\textrm{ sinon.}
+ \end{array}
+ \right.
+\label{eq:schema:unaire}
+\end{equation}
