+\begin{xpl}
+On reprend notre exemple illustratif
+détaillé à la page~\pageref{xpl:1} avec sa table
+d'images (\textsc{Table}~\ref{table:xpl:images}).
+La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations
+associés à $f$.
+
+\begin{figure}%[ht]
+ \begin{center}
+ \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
+ \begin{minipage}{0.33\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.4]{fsig}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:fsig}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}(f)$]{
+ \begin{minipage}{0.33\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.4]{faig}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:faig}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{gig}(f)$]{
+ \begin{minipage}{0.33\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.4]{fgig}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:fgig}
+ }
+ \end{center}
+ \caption{Graphes des itérations de la fonction
+$f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+$(x_1, x_2, x_3) \mapsto
+((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
+x_1.x_3,
+x_1 + x_2 + x_3)$.\label{fig:xpl:graphs}
+On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$
+ à la \textsc{Figure}~(\ref{fig:fsig}).}
+\end{figure}
+\end{xpl}
+
+
+\subsection{Attracteurs}
+
+On dit que le point
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ est un \emph{point fixe} de $f$ si $x = f (x)$.
+Les points fixes sont particulièrement intéressants car ils correspondent
+aux états stables:
+dans chaque graphe d'itérations, le point $x$ est un point fixe
+si et seulement si il est son seul successeur.
+
+
+
+Soit un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
+de $f$.
+Les \emph{attracteurs} de ce graphe sont les
+plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides
+$A \subseteq \Bool^{\mathsf{N}}$ tels que pour tout arc
+$x \rightarrow y$, si $x$ est un élément de $A$, alors
+$y$ aussi.
+Un attracteur qui contient au moins deux éléments est dit \emph{cyclique}.
+On en déduit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.
+En d'autres termes, lorsqu'un système entre dans un attracteur cyclique,
+il ne peut pas atteindre un point fixe.
+
+
+On a la proposition suivante:
+
+
+\begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
+Le point $x$ est un point fixe si et seulement si
+$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
+En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci
+sont les points fixes de $f$.
+Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin
+depuis $x$ qui atteint un attracteur.
+Ainsi tout graphe d'itérations contient toujours au moins un attracteur.
+\end{theorem}
+
+
+
+\begin{xpl}
+Les attracteurs de $\textsc{giu}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont
+le point fixe $000$ et l'attracteur cyclique
+$\{001, 101,111, 011 \}$.
+Les attracteurs de $\textsc{gis}(f)$ sont le point fixe $000$
+et l'attracteur cyclique $\{011, 101, 111\}$.
+\end{xpl}
+
+\subsection{Graphe d'interaction}
+Les interactions entre les composants du
+système peuvent être mémorisées
+dans la {\emph{matrice jacobienne discrète}} $f'$.
+Celle-ci est définie comme étant la fonction qui à chaque
+configuration $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ associe la matrice de taille
+$n\times n$ telle que
+\begin{equation}
+f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad
+f'_{ij}(x)=\frac{f_i(\overline{x}^j){-}f_i(x)}{\overline{x_j}{-}x_j}\qquad (i,j\in[n]).
+\label{eq:jacobienne}
+\end{equation}
+On note que dans l'équation donnant la valeur de $f'_{ij}(x)$,
+les termes $f_i(\overline{x}^j)$, $f_i(x)$,
+$\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considérés comme des entiers naturels
+égaux à $0$ ou à $1$ et que la différence est effectuée
+ dans $\Z$.
+Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrète,
+on obtient une matrice notée $B(f)$ aussi de taille
+${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$.
+Celle-ci mémorise uniquement
+l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de
+ tel élément.
+Elle ne mémorise pas \emph{comment} dépendent les éléments
+les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée
+\emph{matrice d'incidence}.
+
+\begin{theorem}
+Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$,
+$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à $f_i(x)$, \textit{i.e.},
+$f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
+\end{theorem}
+
