+%\JFC{Voir section~\ref{sec:spin:proof}}
+
+Cette section donne les preuves des deux théorèmes de correction et complétude
+du chapitre~\ref{chap:promela}.
+
+
+\begin{lemma}[Stratégie équivalente]\label{lemma:strategy}
+ Soit $\phi$ un système dynamique discret de stratégie $(S^t)^{t \in \Nats}$
+ et $\psi$ sa traduction en PROMELA.
+ Il existe une exécution de $\psi$ sous hypothèse d'équité faible telle
+ le scheduler met à jour les éléments of $S^t$
+ donnés par \verb+update_elems+ à l'itération $t$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ La preuve est directe pour $t=0$.
+ Supposons qu'elle est établie jusqu'en $t$ valant un certain $t_0$.
+ On considère des stratégies pseudo-périodiques.
+ Grâce à l'hypothèse d'équité faible, \verb+update_elems+ modifie
+ les éléments de $S^t$ à l'itération $t$.
+\end{proof}
+
+Dans ce qui suit, soit $Xd^t_{ji}$ la valeur de
+\verb+Xd[+$j$\verb+].v[+$i$\verb+]+ après le $t^{\text{ème}}$ appel
+à la fonction
+\verb+fetch_values+.
+De plus, soit $Y^k_{ij}$ l'élément à l'indice $k$
+dans le canal \verb+channels[i].sent[j]+ de taille $m$, $m \le
+\delta_0$; $Y^0_{ij}$ et $Y^{m-1}_{ij}$ sont respectivement la tête et la queue
+du canal.
+De plus, soit $(M_{ij}^t)^{t \in \{1, 1.5, 2, 2.5,\ldots\}}$ une séquence telle que
+$M_{ij}^t$ est une fonction partielle qui associe à chaque
+$k$, $0 \le k \le m-1$, le tuple $(Y^k_{ij},a^k_{ij},c^k_{ij})$ en entrant
+dans la fonction \verb+update_elems+ à l'itération $t$ où
+% \begin{itemize}
+% \item
+ $Y^k_{ij}$ est la valeur du canal \verb+channels[i].sent[j]+
+ à l'indice $k$,
+%\item
+$a^k_{ij}$ est la date (antérieure à $t$) mémorisant quand $Y^k_{ij}$ est ajouté et
+%\item
+$c^k_{ij}$ est le premier temps où cette valeur est accessible à $j$.
+La valeur est supprimée du canal $i\rightarrow j$ à la date $c^k_{ij}+1$.
+%\end{itemize}
+$M_{ij}^t$ a la signature suivante:
+\begin{equation*}
+\begin{array}{rrcl}
+M_{ij}^t: &
+\{0,\ldots, \textit{max}-1\} &\rightarrow & E_i\times \Nats \times \Nats \\
+& k \in \{0,\ldots, m-1\} & \mapsto & M_{ij}(k)= (Y^k_{ij},a^k_{ij},c^k_{ij}).
+\end{array}
+\end{equation*}
+
+Intuitivement, $M_{ij}^t$ est la mémoire du canal
+\verb+channels[i].sent[j]+ à l'itération $t$.
+On note que le domaine de chaque $M_{ij}^1$ est $\{0\}$ et
+$M_{ij}^1(0)=(\verb+Xp[i]+,0,0)$: en effet le processus
+\verb+init+ initialise \verb+channels[i].sent[j]+ avec \verb+Xp[i]+.
+
+Montrons comment l'indéterminisme des deux fonctions
+\verb+fetch_values+ et \verb+diffuse_values+
+permet de modéliser l'équation \Equ{eq:async}.
+La fonction $M_{ij}^{t+1}$ est obtenue à l'aide de mises à jour successives
+de $M_{ij}^{t}$ au travers des deux fonctions \verb+fetch_values+ and
+\verb+diffuse_values+. Par abus, soit $M_{ij}^{t+1/2}$
+la valeur de $M_{ij}^{t}$ après la première fonction pendant l'itération
+ $t$.
+
+Dans ce qui suit, on considère les éléments $i$ et $j$
+dans $[ \mathsf{N} ]$.
+A l'itération $t$, $t \geq 1$, soit
+$(Y^0_{ij},a^0_{ij},c^0_{ij})$ la valeur de $M_{ij}^t(0)$ en entrant
+dans la fonction
+\verb+fetch_values+.
+Si $t$ est égal à $c^0_{ij}+1$ alors on exécute
+l'instruction qui affecte $Y^0_{ij}$ (\textit{i.e.}, la valeur de tête du
+\verb+channels[i].sent[j]+) à $Xd_{ji}^t$. Dans ce cas, la fonction
+$M_{ij}^t$ est mise à jour comme suit: $M_{ij}^{t+1/2}(k) = M_{ij}^{t}(k+1)$ pour chaque $k$, $0 \le k \le m-2$ et $m-1$ est supprimée du domaine de $M_{ij}^{t+1/2}$.
+Sinon, (\textit{i.e.}, lorsque $t < c^0_{ij}+1$ ou lorsque le domaine de $M_{ij}$
+est vide) l'instruction \verb+skip+ est exécutée et $M_{ij}^{t+1/2} =
+M_{ij}^{t}$.
+
+Dans la fonction \verb+diffuse_values+,
+s'il existe un $\tau$, $\tau\ge t$
+tel que \mbox{$D^{\tau}_{ji} = t$}, soit alors $c_{ij}$ défini par $ \min\{l \mid
+D^{l}_{ji} = t \} $. Dans ce cas, on exécute l'instruction qui
+ajoute la valeur \verb+Xp[i]+ dans la queue du canal
+\verb+channels[i].sent[j]+. Alors,
+$M_{ij}^{t+1}$ est défini en étendant $M_{ij}^{t+1/2}$ à $m$ de sorte que
+$M_{ij}^{t+1}(m)$ est $(\verb+Xp[i]+,t,c_{ij})$.
+Sinon, (\textit{i.e.}, lorsque $\forall l
+\, . \, l \ge t \Rightarrow D^{l}_{ji} \neq t$ est établie) l'instruction
+\verb+skip+
+est exécutée et $M_{ij}^{t+1} = M_{ij}^{t+1/2}$.
+
+
+\begin{lemma}[Existence d'une exécution SPIN]\label{lemma:execution}
+ Pour chaque séquence $(S^t)^{t \in \Nats}$,\linebreak $(D^t)^{t \in \Nats}$,
+ pour chaque fonction $F$,
+ il existe une exécution SPIN telle que pour toute itération $t$, $t
+ \ge 1$, et pour chaque $i$ et $j$ dans $[ \mathsf{N} ]$
+ on a la propriété suivante:
+
+\noindent Si le domaine de $M_{ij}^t$ n'est pas vide, alors
+\begin{equation}
+ \left\{
+ \begin{array}{rcl}
+ M_{ij}^1(0) & = & \left(X_i^{D_{ji}^{0}}, 0,0 \right) \\
+ \textrm{si $t \geq 2$ alors }M_{ij}^t(0) & = &
+ \left(X_i^{D_{ji}^{c}},D_{ji}^{c},c \right) \textrm{, }
+ c = \min\{l | D_{ji}^l > D_{ji}^{t-2} \}
+ \end{array}
+ \right.
+ \label{eq:Mij0}
+\end{equation}
+\noindent De plus, on a :
+\begin{equation}
+ \forall t'\, .\, 1 \le t' \le t \Rightarrow Xd^{t'}_{ji} = X^{D^{t'-1}_{ji}}_i
+ \label{eq:correct_retrieve}
+\end{equation}
+\noindent Enfin, pour chaque $k\in S^t$, la valeur de
+la variable \verb+Xp[k]+ en sortant du processus
+\verb+update_elems+ est égale à
+$X_k^{t}$ \textit{i.e.}, $F_{k}\left( X_1^{D_{k\,1}^{t-1}},\ldots,
+ X_{\mathsf{N}}^{D_{k\,{\mathsf{N}}}^{t-1}}\right)$ à la fin de la $t^{\text{ème}}$ itération.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+La preuve est faite par induction sur le nombre d'itérations.
+
+\paragraph{Situation initiale:}
+Pour le premier item, par définition de $M_{ij}^t$, on a $M_{ij}^1(0) = \left(
+ \verb+Xp[i]+, 0,0 \right)$ qui est égal à $\left(X_i^{D_{ji}^{0}},
+ 0,0 \right)$.
+Ensuite, le premier appel à la fonction \verb+fetch_value+
+soit affecte la tête de \verb+channels[i].sent[j]+
+à \verb+Xd[j].v[i]+ soit ne modifie par
+\verb+Xd[j].v[i]+.
+Grâce au processus \verb+init+ process,
+les deux cas sont égaux à
+\verb+Xp[i]+, \textit{i.e.}, $X_i^0$. L'équation (\ref{eq:correct_retrieve}) est ainsi établie.
+
+Pour le dernier item, soit $k$, $0 \le k \le \mathsf{N}-1$.
+A la fin de la première exécution du processus \verb+update_elems+,
+la valeur de
+\verb+Xp[k]+ est $F(\verb+Xd[+k\verb+].v[0]+, \ldots,
+\verb+Xd[+k\verb+].v[+\mathsf{N}-1\verb+]+)$.
+Ainsi par définition de $Xd$, ceci est égal à
+$F(Xd^1_{k\,0}, \ldots,Xd^1_{k\,\mathsf{N}-1})$. Grâce à l'équation \Equ{eq:correct_retrieve},
+on peut conclure la preuve.
+
+
+
+\paragraph{Induction:}
+Supposons maintenant que le lemme~\ref{lemma:execution} est établi jusqu'à
+l'itération $l$.
+
+Tout d'abord, si le domaine de définition de la fonction $M_{ij}^l$
+n'est pas vide, par hypothèse d'induction $M_{ij}^{l}(0)$ est
+$\left(X_i^{D_{ji}^{c}}, D_{ji}^{c},c
+\right)$ où $c$ est $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$.
+
+A l'itération $l$, si $l < c + 1$ alors l'instruction
+ \verb+skip+ est exécutée dans la fonction \verb+fetch_values+.
+ Ainsi, $M_{ij}^{l+1}(0)$ est égal à
+$M_{ij}^{l}(0)$. Puisque $c > l-1$, alors $D_{ji}^c > D_{ji}^{l-1}$ et donc, $c$
+est $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$.
+Cela implique que
+$D_{ji}^c > D_{ji}^{l-2}$ et $c=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$.
+
+On considère maintenant qu'à l'itération $l$, celui-ci vaut $c + 1$.
+Dit autrement, $M_{ij}$ est modifié en fonction du domaine $\dom(M^l_{ij})$ de
+ $M^l_{ij}$:
+\begin{itemize}
+\item si $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ et $\forall k\, . \, k\ge l \Rightarrow
+ D^{k}_{ji} \neq l$ sont vraies, alors $\dom(M_{ij}^{l+1})$ est vide et le premier
+ item du lemme est vérifié;
+\item si $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ et $\exists k\, . \, k\ge l \land D^{k}_{ji}
+ = l$ sont vraies, alors $M_{ij}^{l+1}(0)$ vaut $(\verb+Xp[i]+,l,c_{ij})$ qui est ajouté
+ dans la fonction \verb+diffuse_values+ de sorte que $c_{ij} =
+ \min\{k \mid D^{k}_{ji} = l \} $.
+ Prouvons qu'on peut exprimer
+ $M_{ij}^{l+1}(0)$ comme $\left(X_i^{D_{ji}^{c'}},D_{ji}^{c'},c' \right)$ où
+ $c'$ vaut $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$.
+ Tout d'abord, il n'est pas difficile de prouver que
+ $D_{ji}^{c_{ij}}= l \geq D_{ji}^{l} > D_{ji}^{l-1}$ et que
+ $c_{ij} \geq c'$.
+ Ensuite, comme $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$, alors, entre les
+ itérations $D_{ji}^{c}+1$ et $l-1$, la fonction \texttt{diffuse\_values} n'a pas mis à jour
+ $M_{ij}$. On a ainsi la propriété
+$$
+\forall t,k \, .\, D_{ji}^c < t < l \land k \geq t \Rightarrow D_{ji}^k \neq
+t.$$
+
+En particulier, on a $D_{ji}^{c'} \not \in \{D_{ji}^{c}+1,\ldots,l-1\}$.
+On peut donc appliquer le troisième item de l'hypothèse d'induction pour déduire
+$\verb+Xp[i]+=X_i^{D_{ji}^{c'}}$ et on peut conclure.
+
+\item Si $\{0,1\} \subseteq \dom(M_{ij}^{l})$, alors $M_{ij}^{l+1}(0)$ vaut
+ $M_{ij}^{l}(1)$. Soit $M_{ij}^{l}(1)= \left(\verb+Xp[i]+, a_{ij} , c_{ij}
+ \right)$. Par construction, $a_{ij}$ vaut $\min\{t' | t' > D_{ji}^c \land
+ (\exists k \, .\, k \geq t' \land D_{ji}^k = t')\}$ et $c_{ij}$ est $\min\{k |
+ D_{ji}^k = a_{ij}\}$. Montrons que $c_{ij}$ est égal à $\min\{k | D_{ji}^k >
+ D_{ji}^{l-1} \}$, noté plus tard $c'$. On a tout d'abord $D_{ji}^{c_{ij}} =
+ a_{ij} > D_{ji}^c$. Puisque $c$ par définition est supérieur ou égal à $l-1$,
+ alors $D_{ji}^{c_{ij}}> D_{ji}^{l-1}$ et donc $c_{ij} \geq c'$. Ensuite, puisque
+ $c=l-1$, $c'$ vaut $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{c} \}$ et donc $a_{ij}
+ \leq D_{ji}^{c'}$. Ainsi, $c_{ij} \leq c'$ et on peut conclure comme dans la partie précédente.
+\end{itemize}
+
+
+Le cas où le domaine $\dom(M^l_{ij})$ est vide mais où la formule $\exists k
+\, .\, k \geq l \land D_{ji}^k = l$ est vraie est équivalent au second
+cas ci-dessus et n'est pas présenté.
+
+
+Concentrons nous sur la formule~(\ref{eq:correct_retrieve}). A l'itération
+$l+1$, soit $c'$ défini par $c'=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Deux cas peuvent
+apparaître selon que $D_{ji}^{l}$ et $D_{ji}^{l-1}$ sont égaux ou non.
+\begin{itemize}
+\item Si $D_{ji}^{l} = D_{ji}^{l-1}$, puisque $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l-1}$, alors
+ $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l}$ et donc $c'$ est différent de $l$. L'exécution de SPIN
+ ne modifie pas $Xd_{ji}^{l+1}$. On a ainsi $Xd_{ji}^{l+1} = Xd_{ji}^{l} = X_i^{D_{ji}^{l-1}} =
+ X_i^{D_{ji}^{l}}$.
+\item Sinon, $D_{ji}^{l}$ et plus grand que $D_{ji}^{l-1}$ et $c$ est donc égal à $l$.
+ Selon l'équation \Equ{eq:Mij0}, on a
+ $M_{ij}^{l+1}(0)=(X_i^{D_{ji}^{l}},D_{ji}^{l},l)$. Ainsi l'exécution SPIN
+ affecte $X_i^{D_{ji}^{l}}$ à $Xd_{ji}^{l+1}$, ce qui termine la preuve
+(\ref{eq:correct_retrieve}).
+\end{itemize}
+
+Il reste à prouver la partie inductive de la troisième partie du lemme.
+Soit $k$, $k
+\in S^{l+1}$. % and $\verb+k'+ = k-1$.
+A l'issue de la première exécution
+du processus \verb+update_elems+, on a
+$\verb+Xp[+k\verb+]+= F(\verb+Xd[+k\verb+][0]+,
+\ldots,\verb+Xd[+k\verb+][+n\verb+-1]+)+$.
+Par définition $Xd=F(Xd^{l+1}_{k\,0}, \ldots,Xd^{l+1}_{k\,n-1})$.
+Grâce à~\Equ{eq:correct_retrieve} déjà prouvée, on peut conclure la preuve.
+\end{proof}
+
+
+\begin{lemma}
+ Borner la taille du canal à $\textit{max} = \delta_0$ est suffisant
+ lorsqu'on simule un système dynamique dont les délais sont bornés par
+ $\delta_0$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+ Pour chaque $i$ et $j$, à chaque itération $t+1$, comme les délais sont bornés par
+ $\delta_0$, l'élément $i$ doit connaître au plus $\delta_0$
+ valeurs qui sont
+ $X_j^{t}$, \ldots, $X_j^{t-\delta_0+1}$. Elles peuvent être mémorisées dans n'importe quel canal
+ de taille $\delta_0$.
+\end{proof}
+
+
+\promelasound*
+\begin{proof}
+% For the case where the strategy is finite, one notice that property
+% verification is achieved under weak fairness property. Instructions that
+% write or read into \verb+channels[j].sent[i]+ are continuously enabled leading
+% to convenient available dates $D_{ji}$. It is then easy to construct
+% corresponding iterations of the DDN that are convergent.
+% \ANNOT{quel sens donnes-tu a \emph{convenient} ici ?}
+ Montrons la contraposée du théorème.
+ Le lemme précédent a montré que pour chaque séquence d'itérations du système dynamique discret,
+ Il existe une exécution du modèle PROMELA qui la simule.
+ Si des itérations du système dynamique discret sont divergentes, leur exécution vont empêcher
+ le modèle PROMELA de se stabiliser, \textit{i.e.}
+ ce dernier ne vérifiera pas la propriété LTL (\ref{eq:ltl:conv}).
+\end{proof}
+
+
+% \begin{Corol}[Soundness wrt universall convergence property]\label{Theo:sound}
+% Let $\phi$ be a DDN model where strategy, $X^(0)$
+% are only constrained to be pseudo-periodic and
+% in $E$ respectively.
+% Let $\psi$ be its translation.
+% If all the executions of $\psi$ converge,
+% then iterations of $\phi$ are universally convergent.
+% \end{Corol}
+
+
+\promelacomplete*
+
+\begin{proof}
+ Pour chaque modèle $\psi$
+ qui ne vérifie pas la propriété LTL (\ref{eq:ltl:conv}),
+ il est immédiat de construire les itérations correspondantes du
+ système dynamique, dont la stratégie est pseudo-périodique en raison
+ de la propriété d'équité faible..
+
+% i.e. iterations that are divergent. Executions are
+% performed under weak fairness property; we then detail what are continuously
+% enabled:
+% \begin{itemize}
+% \item if the strategy is not defined as periodic, elements $0$, \ldots, $\mathsf{N}$ are
+% infinitely often updated leading to pseudo-periodic strategy;
+% \item instructions that write or read into \verb+channels[j].sent[i]+ are
+% continuously enabled leading to convenient available dates $D_{ji}$.
+% \end{itemize}
+% The simulated DDN does not stabilize and its iterations are divergent.
+ \end{proof}
