Soit $\alpha\in\Bool$.
-On nomme $f^{\alpha}$ la fonction de $\Bool^{n-1}$
+On nomme $f^{\alpha}$ la fonction de $\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$
dans lui-même définie pour
-chaque $x\in\Bool^{n-1}$ par
+chaque $x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ par
\[
-f^{\alpha}(x)=(f_1(x,\alpha),\dots,f_{n-1}(x,\alpha)).
+f^{\alpha}(x)=(f_1(x,\alpha),\dots,f_{{\mathsf{N}}-1}(x,\alpha)).
\]
-On nomme $\Gamma(f)^\alpha$ le sous-graphe
-de $\Gamma(f)$ engendré par le sous-ensemble
-$\Bool^{n-1} \times \{\alpha\}$ de $\Bool^n$.
+On nomme $\textsc{giu}(f)^\alpha$ le sous-graphe
+de $\textsc{giu}(f)$ engendré par le sous-ensemble
+$\Bool^{{\mathsf{N}}-1} \times \{\alpha\}$ de $\Bool^{\mathsf{N}}$.
\begin{lemma}\label{lemma:subgraph}
$G(f^\alpha)$ est un sous-graphe de $G(f)$: chaque arc de $G(f^\alpha)$ est
-un arc de $G(f)$. De plus si $G(f)$ n'a pas d'arc de $n$ vers un autre
-sommet $i\neq n$, alors on déduit
-$G(f^\alpha)$ de $G(f)$ en supprimant le sommet $n$ ainsi que tous les
-arcs dont $n$ est soit l'extrémité, soit l'origine (et dans ce dernier
-cas, les arcs sont des boucles sur $n$).
+un arc de $G(f)$. De plus si $G(f)$ n'a pas d'arc de ${\mathsf{N}}$ vers un autre
+sommet $i\neq {\mathsf{N}}$, alors on déduit
+$G(f^\alpha)$ de $G(f)$ en supprimant le sommet ${\mathsf{N}}$ ainsi que tous les
+arcs dont ${\mathsf{N}}$ est soit l'extrémité, soit l'origine (et dans ce dernier
+cas, les arcs sont des boucles sur ${\mathsf{N}}$).
\end{lemma}
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
Supposons que $G(f^{\alpha})$ possède un arc de $j$ vers $i$ de signe
-$s$. Par définition, il existe un sommet $x\in\Bool^{n-1}$ tel que
+$s$. Par définition, il existe un sommet $x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ tel que
$f^{\alpha}_{ij}(x)=s$, et puisque
$f^{\alpha}_{ij}(x)=f_{ij}(x,\alpha)$, on en déduit que $G(f)$ possède un arc
de $j$ à $i$ de signe $s$. Ceci prouve la première assertion.
Pour démontrer la seconde, il suffit de prouver que si
-$G(f)$ a un arc de $j$ vers $i$ de signe $s$, avec $i,j\neq n$, alors
+$G(f)$ a un arc de $j$ vers $i$ de signe $s$, avec $i,j\neq {\mathsf{N}}$, alors
$G(f^\alpha)$ contient aussi cet arc. Ainsi, supposons que $G(f)$ a un
-arc de $j$ vers $i$ de signe $s$, avec $i,j\neq n$.
+arc de $j$ vers $i$ de signe $s$, avec $i,j\neq {\mathsf{N}}$.
Alors, il existe
-$x\in\Bool^{n-1}$ et $\beta\in\Bool$ tels que
+$x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ et $\beta\in\Bool$ tels que
$f_{ij}(x,\beta)=s$. Si $f_{ij}(x,\beta)\neq f_{ij}(x,\alpha)$, alors
-$f_i$ dépend du $n^{\textrm{ème}}$ composant, ce qui est en contradiction
+$f_i$ dépend du ${\mathsf{N}}^{\textrm{ème}}$ composant, ce qui est en contradiction
avec les hypothèses.
Ainsi $f_{ij}(x,\alpha)$ est égal à $s$.
On a donc aussi
$f^{\alpha}_{ij}(x)=s$. Ainsi $G(f^\alpha)$ possède un arc
arc de $j$ vers $i$ de signe $s$.
-\end{Proof}
+\end{proof}
\begin{lemma}\label{lemma:iso}
-Les graphes $\Gamma(f^\alpha)$ et $\Gamma(f)^\alpha$ sont isomorphes.
+Les graphes $\textsc{giu}(f^\alpha)$ et $\textsc{giu}(f)^\alpha$ sont isomorphes.
\end{lemma}
-\begin{Proof}
-Soit $h$ la bijection de $\Bool^{n-1}$ vers
-$\Bool^{n-1}\times \{\alpha\}$ définie par $h(x)=(x,\alpha)$ pour chaque
-$x\in\Bool^{n-1}$.
+\begin{proof}
+Soit $h$ la bijection de $\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ vers
+$\Bool^{{\mathsf{N}}-1}\times \{\alpha\}$ définie par $h(x)=(x,\alpha)$ pour chaque
+$x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$.
On voit facilement que $h$ permet de définir un isomorphisme
-entre $\Gamma(f^\alpha)$ et $\Gamma(f)^\alpha$:
-$\Gamma(f^\alpha)$ possède un arc de $x$ vers $y$ si et seulement si
-$\Gamma(f)^\alpha$ a un arc de $h(x)$ vers $h(y)$.
-\end{Proof}
+entre $\textsc{giu}(f^\alpha)$ et $\textsc{giu}(f)^\alpha$:
+$\textsc{giu}(f^\alpha)$ possède un arc de $x$ vers $y$ si et seulement si
+$\textsc{giu}(f)^\alpha$ a un arc de $h(x)$ vers $h(y)$.
+\end{proof}
-\begin{Proof}
-du Théorème~\ref{th:Adrien}.
-La preuve se fait par induction sur $n$.
-Soit $f$ une fonction de $\Bool^n$ dans lui-même et qui vérifie les hypothèses
+On peut alors prouver le théorème:
+\thAdrien*
+
+\begin{proof}
+La preuve se fait par induction sur ${\mathsf{N}}$.
+Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans lui-même et qui vérifie les hypothèses
du théorème.
-Si $n=1$ la démonstration est élémentaire:
+Si ${\mathsf{N}}=1$ la démonstration est élémentaire:
en raison du troisième point du théorème, $G(f)$ a une boucle négative;
-ainsi $f(x)=\overline{x}$ et $\Gamma(f)$ est un cycle de longueur 2.
-On suppose donc que $n>1$ et que le théorème est valide pour toutes les
-fonctions de $\Bool^{n-1}$ dans lui-même.
+ainsi $f(x)=\overline{x}$ et $\textsc{giu}(f)$ est un cycle de longueur 2.
+On suppose donc que ${\mathsf{N}}>1$ et que le théorème est valide pour toutes les
+fonctions de $\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ dans lui-même.
En raison du premier point du théorème, $G(f)$
contient au moins un sommet $i$ tel qu'il n'existe pas dans $G(f)$
d'arc de $i$ vers un autre sommet $j\neq i$.
Sans perte de généralité, on peut considérer que
-ce sommet est $n$.
+ce sommet est ${\mathsf{N}}$.
Alors, d'après le lemme~\ref{lemma:subgraph},
$f^0$ et $f^1$ vérifient les conditions de l'hypothèse.
-Alors, par hypothèse d'induction $\Gamma(f^0)$ et
-$\Gamma(f^1)$ sont fortement connexes.
+Alors, par hypothèse d'induction $\textsc{giu}(f^0)$ et
+$\textsc{giu}(f^1)$ sont fortement connexes.
Ainsi, d'après le lemme~\ref{lemma:iso},
-$\Gamma(f)^0$ et $\Gamma(f)^1$ sont fortement
+$\textsc{giu}(f)^0$ et $\textsc{giu}(f)^1$ sont fortement
connexes.
-Pour prouver que $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il suffit
-de prouver que $\Gamma(f)$ contient un arc $x\to y$ avec
-$x_n=0<y_n$ et un arc $x\to y$ avec $x_n=1>y_n$.
+Pour prouver que $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, il suffit
+de prouver que $\textsc{giu}(f)$ contient un arc $x\to y$ avec
+$x_{\mathsf{N}}=0<y_{\mathsf{N}}$ et un arc $x\to y$ avec $x_{\mathsf{N}}=1>y_{\mathsf{N}}$.
En d'autres mots, il suffit de prouver que:
\begin{equation}\tag{$*$}
-\forall \alpha\in\Bool,~\exists x\in\Bool^n,\qquad x_n=\alpha\neq f_n(x).
+\forall \alpha\in\Bool,~\exists x\in\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x_{\mathsf{N}}=\alpha\neq f_{\mathsf{N}}(x).
\end{equation}
-On suppose tout d'abord que $n$ a une boucle
+On suppose tout d'abord que ${\mathsf{N}}$ a une boucle
négative.
Alors, d'après la définition de
-$G(f)$, il existe $x\in\Bool^n$ tel que $f_{nn}(x)<0$.
-Ainsi si $x_n=0$, on a $f_n(x)>f_n(\overline{x}^n)$, et donc
-$x_n=0\neq f_n(x)$ et
-$\overline{x}^n_n=1\neq f_n(\overline{x}^n)$;
-et si $x_n=1$, on a
-$f_n(x)<f_n(\overline{x}^n)$, donc $x_n=1\neq f_n(x)$ et $\overline{x}^n_n=0\neq
-f_n(\overline{x}^n)$.
+$G(f)$, il existe $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ tel que $f_{{\mathsf{N}}}(x)<0$.
+Ainsi si $x_{\mathsf{N}}=0$, on a $f_{\mathsf{N}}(x)>f_{\mathsf{N}}(\overline{x}^{\mathsf{N}})$, et donc
+$x_{\mathsf{N}}=0\neq f_{\mathsf{N}}(x)$ et
+$\overline{x}^{\mathsf{N}}_{\mathsf{N}}=1\neq f_{\mathsf{N}}(\overline{x}^{\mathsf{N}})$;
+et si $x_{\mathsf{N}}=1$, on a
+$f_{\mathsf{N}}(x)<f_{\mathsf{N}}(\overline{x}^{\mathsf{N}})$, donc $x_{\mathsf{N}}=1\neq f_{\mathsf{N}}(x)$ et $\overline{x}^{\mathsf{N}}_{\mathsf{N}}=0\neq
+f_{\mathsf{N}}(\overline{x}^{\mathsf{N}})$.
Dans les deux cas, la condition ($*$) est établie.
-Supposons maintenant que $n$ n'a pas de boucle négative.
+Supposons maintenant que ${\mathsf{N}}$ n'a pas de boucle négative.
D'après la seconde hypothèse,
-$n$ n'a pas de boucle, \emph{i.e.}, la valeur de $f_n(x)$
-ne dépend pas de la valeur de $x_n$.
+${\mathsf{N}}$ n'a pas de boucle, \emph{i.e.}, la valeur de $f_{\mathsf{N}}(x)$
+ne dépend pas de la valeur de $x_{\mathsf{N}}$.
D'après la troisième hypothèse,
-il existe $i\in \llbracket 1;n \rrbracket$ tel que $G(f)$ a un arc de
-$i$ vers $n$.
-Ainsi, il existe $x \in \Bool^n$ tel que $f_{ni}(x) \neq 0$ et donc
+il existe $i\in [{\mathsf{N}}]$ tel que $G(f)$ a un arc de
+$i$ vers ${\mathsf{N}}$.
+Ainsi, il existe $x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ tel que $f_{{\mathsf{N}}i}(x) \neq 0$ et donc
%$n$ n'est donc pas de degré zéro dans $G(f)$, \emph{i.e.}
-$f_n$ n'est pas constante.
-Ainsi, il existe $x,y\in \Bool^n$ tel que
-$f_n(x)=1$ et $f_n(y)=0$.
-Soit $x'=(x_1,\dots,x_{n-1},0)$ et
-$y'=(y_1,\dots,y_{n-1},1)$.
-Puisque la valeur de $f_n(x)$
-(resp. de $f_n(y)$) ne dépend pas de la valeur de $x_n$ (resp. de $y_n$),
-on a $f_n(x')=f_n(x)=1\neq x'_n$ (resp. $f_n(y')=f_n(y)=0\neq
-y'_n$).
+$f_{\mathsf{N}}$ n'est pas constante.
+Ainsi, il existe $x,y\in \Bool^{\mathsf{N}}$ tel que
+$f_{\mathsf{N}}(x)=1$ et $f_{\mathsf{N}}(y)=0$.
+Soit $x'=(x_1,\dots,x_{{\mathsf{N}}-1},0)$ et
+$y'=(y_1,\dots,y_{{\mathsf{N}}-1},1)$.
+Puisque la valeur de $f_{\mathsf{N}}(x)$
+(resp. de $f_{\mathsf{N}}(y)$) ne dépend pas de la valeur de $x_{\mathsf{N}}$ (resp. de $y_{\mathsf{N}}$),
+on a $f_{\mathsf{N}}(x')=f_{\mathsf{N}}(x)=1\neq x'_{\mathsf{N}}$ (resp. $f_{\mathsf{N}}(y')=f_{\mathsf{N}}(y)=0\neq
+y'_{\mathsf{N}}$).
Ainsi la condition ($*$) est établie, et le théorème est prouvé.
-\end{Proof}
+\end{proof}
