+
+En outre, les interactions peuvent se représenter à l'aide d'un
+graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi:
+l'ensemble des sommets est
+$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
+ $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
+un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$.
+
+On note que la présence de
+deux arcs de signes opposés entre deux sommets donnés
+est possible.
+% Dans la suite, le graphe signé $G$ sera qualifié de
+% \emph{simple} si, pour chaque $i$, $j$ dans $[n]$,
+% il existe au plus un arc de $j$ à $i$ dans $G$.
+Un cycle \emph{positif} (resp. négatif) de $G$
+est un cycle \emph{élémentaire} qui contient un nombre
+pair (resp. impair) d'arcs négatifs.
+La \emph{longueur}
+d'un cycle est le nombre d'arcs qu'il contient.
+
+\begin{xpl}
+Pour exprimer la jacobienne discrète de la fonction donnée en exemple,
+pour chaque $i$, $j$ dans
+$[3]$ on exprime
+$f'_{ij}(x)=
+\frac
+{f_i(\overline{x}^j){-}f_i(x)}
+{\overline{x_j}{-}x_j}$
+d'après l'équation~(\ref{eq:jacobienne}).
+% Ainsi
+% $$
+% f'_{12} (x_1,x_2,x_3)=
+% \frac
+% { ((\overline{x_1} + \overline{\overline{x_2}}).x_3)
+% {-}
+% ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3)
+% }
+% {\overline{x_2}{-}x_2} = \frac{
+% ((\overline{x_1} + x_2).x_3)
+% {-}
+% ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3)
+% }{\overline{x_2}{-}x_2} .
+% $$
+% Évaluons cette fonction de $\Bool^3$ dans $\Z$ en construisant le tableau de toutes ses valeurs.
+% $$
+% \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
+% \hline
+% x_1 & x_2 & x_3 &
+% (\overline{x_1} + {x_2}).x_3 & (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 &
+% (\overline{x_1} + {x_2}).x_3 {-} (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 & \overline{x_2} {-} x_2 &
+% f'_{12} (x_1,x_2,x_3)\\
+% \hline
+% 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\hline
+% 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\hline
+% 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\\hline
+% 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 \\\hline
+% 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\hline
+% 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\\hline
+% 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\\hline
+% 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1& -1 & -1 \\\hline
+% \end{array}
+% $$
+% La seule valeur de $f'_{12}$ qui n'est pas nulle est -1, qui est négative.
+% Le graphe d'interaction contiendra ainsi un arc négatif entre le n{\oe}ud 2 et le n{\oe}ud 1.
+La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:jacobienne}) explicite la matrice jacobienne discrète de cette fonction.
+
+Le graphe d'interaction de $f$ s'en déduit directement. Il est donné à la
+\textsc{Figure}~(\ref{fig:f:interaction}).
+Il possède
+un cycle négatif de longueur 1 et
+un cycle négatif de longueur 3.
+Concernant les cycles positifs, il en possède
+un de longueur 1,
+deux de longueur 2
+et un de longueur 3.
+
+La matrice d'incidence peut se déduire de la matrice d'interaction en supprimant les signes ou bien
+en constatant que $f_1$ dépend des trois éléments $x_1$, $x_2$ et $x_3$ et donc que la première ligne de $B(f)$
+est égale à $1~1~1$. De manière similaire, $f_2$ (resp. $f_3$) dépend de
+$x_1$ et de $x_3$
+(resp. dépend de $x_1$, $x_2$ et $x_3$).
+Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$).
+La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète.
+
+\begin{figure}%[ht]
+ \begin{center}
+ \subfigure[Matrice jacobienne]{
+ \begin{minipage}{0.90\textwidth}
+ \begin{center}
+ $
+ \left(
+ \begin{array}{ccc}
+ \frac{
+ ((x_1 + \overline{x_2}).x_3)
+ {-}
+ ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3)
+ }{\overline{x_1}{-}x_1}
+ &
+ \frac{
+ ((\overline{x_1} + x_2).x_3)
+ {-}
+ ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3)
+ }{\overline{x_2}{-}x_2}
+ &
+ \frac{
+ ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).\overline{x_3})
+ {-}
+ ((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3)
+ }{\overline{x_3}{-}x_3}
+\\
+\\
+ \frac{\overline{x_1}.x_3 {-} x_1.x_3}{\overline{x_1}{-}x_1}
+ & 0 &
+\frac{{x_1}.\overline{x_3} {-} x_1.x_3}{\overline{x_3}{-}x_3}
+ \\
+\\
+ \frac{(\overline{x_1}+x_2+x_3){-}(x_1+x_2+x_3)}{\overline{x_1}{-}{x_1}} &
+ \frac{(x_1+\overline{x_2}+x_3){-}(x_1+x_2+x_3)}{\overline{x_2}{-}{x_2}} &
+ \frac{(x_1+x_2+\overline{x_3}){-}(x_1+x_2+x_3)}{\overline{x_3}{-}{x_3}}
+ \end{array}
+ \right)
+ $
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:f:jacobienne}
+ }
+ ~
+ \subfigure[Graphe d'interaction]{
+ \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.5]{gf}
+ \end{center}
+ \label{fig:f:interaction}
+ \end{minipage}
+ }
+
+ \subfigure[Matrice d'incidence]{
+ \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+ \begin{center}
+ $
+ B(f) =
+ \left(
+ \begin{array}{ccc}
+ 1 & 1 & 1 \\
+ 1 & 0 & 1 \\
+ 1 & 1 & 1
+ \end{array}
+ \right)
+ $
+ \end{center}
+ \label{fig:f:incidence}
+ \end{minipage}
+ }
+\end{center}
+\caption{Représentations des dépendances entre les éléments
+de la fonction
+$f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+$(x_1, x_2, x_3) \mapsto
+((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
+x_1.x_3,
+x_1 + x_2 + x_3)$}
+\end{figure}
+\end{xpl}
+
+
+
+
+Soit $P$ une suite d'arcs de $\Gamma(f)$ de la forme
