et montre comment en extraire leur graphe d'itérations (section~\ref{sub:grIter})
et d'interactions (section~\ref{sub:sdd:inter}).
Elle se termine en définissant une distance sur l'espace
-$\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times \Bool^n$ (section~\ref{sub:metric})
-qui permet ensuite (section~\ref{sec:charac}) d'établir la chaoticité des
-systèmes dynamiques booléens.
+$\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times \Bool^n$ (section~\ref{sub:metric}).
+
f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),
\]
et un {\emph{schéma des itérations}} qui peuvent être
-parallèles, séquentielles ou asynchrones \ldots
+parallèles, séquentielles, chaotiques, asynchrones \ldots
Le schéma des itérations parallèles est défini comme suit:
à partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$, la suite
$(x^{t})^{t \in \Nats}$
sont ainsi mis à jour à chaque itération.
Le schéma qui ne modifie qu'un élément
$i$, $1 \le i \le n$ à chaque itération
-est le schéma \emph{asynchrone}.
+est le schéma \emph{chaotique}.
Plus formellement, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération, seul le $s_{t}^{\textrm{ème}}$
composant (entre 1 et $n$) est mis à jour.
La suite $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$ est une séquence d'indices
F_f(i,x)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_n).
\]
-Dans le schéma des itérations asynchrones pour une configuration initiale
+Dans le schéma des itérations chaotiques pour une configuration initiale
$x^0\in\Bool^n$ et une stratégie $s\in
\llbracket1;n\rrbracket^\Nats$, les configurations $x^t$
sont définies par la récurrence
l'élément de tête.
Les itérations parallèles de $G_f$ depuis un point initial
$X^0=(s,x^0)$ décrivent la même orbite que les
-itérations asynchrones de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie
+itérations chaotiques de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie
$s$.
\section{Graphe d'itérations}\label{sub:grIter}
Soit $f$ une fonction de $\Bool^n$ dans lui-même.
-Le {\emph{graphe des itérations asynchrones}} associé à $f$ est le
+Le {\emph{graphe des itérations chaotiques}} associé à $f$ est le
graphe orienté $\Gamma(f)$ défini ainsi:
l'ensemble de ses sommets est $\Bool^n$ et pour chaque $x\in\Bool^n$ et
$i\in \llbracket1;n\rrbracket$, le graphe $\Gamma(f)$
Dans ce qui suit, et par souci de concision, le terme \emph{graphe des itérations}
-est une abréviation de graphe des itérations asynchrones.
+est une abréviation de graphe des itérations chaotiques.
La figure~\ref{fig:xplgraphIter} donne deux exemples de graphes d'itérations
-pour les fonctions $g$ et $h$ définies dans $\Bool^2$ qui sont reprises tout au long
-de ce document.
+pour les fonctions $g$ et $h$ définies dans $\Bool^2$ qui seront reprises dans la suite.
\centering
\begin{minipage}{0.40\textwidth}
\begin{center}
- \includegraphics[height=4cm]{images/g.pdf}
+ \includegraphics[scale=0.4]{images/g.pdf}
\end{center}
\caption{$g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}) $}%
\label{fig:g:iter}%
\qquad
\begin{minipage}{0.40\textwidth}%
\begin{center}
- \includegraphics[height=4cm]{images/h.pdf}
+ \includegraphics[scale=0.4]{images/h.pdf}
\end{center}
\caption{$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}%
\label{fig:h:iter}%
\end{minipage}%
+\caption{Graphes d'itérations de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
+\label{fig:xplgraphIter}
\end{figure}%
-% \begin{figure}%[t]
-% \begin{center}
-% \subfloat[$g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}) $]{
-% \begin{minipage}{0.40\textwidth}
-% \begin{center}
-% \includegraphics[height=4cm]{images/g.pdf}
-% \end{center}
-% \end{minipage}
-% \label{fig:g:iter}
-% }
-% \subfloat[$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$]{
-% \begin{minipage}{0.40\textwidth}
-% \begin{center}
-% \includegraphics[height=4cm]{images/h.pdf}
-% \end{center}
-% \end{minipage}
-% \label{fig:h:iter}
-% } \end{center}
-% \caption{Graphes d'itérations de fonctions booléennes dans $\Bool^2$}
-% \label{fig:xplgraphIter}
-% \end{figure}
-
-
-
les termes $f_i(\overline{x}^j)$, $f_i(x)$,
$\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considérés comme des entiers naturels
égaux à $0$ ou à $1$ et que le calcul est effectué dans $\Z$.
+On a le lien suivant avec la \emph{matrice d'adjacence} $A$ de $f$ dans $\Bool^{n^2}$:
+le booléen $A_{ij}$ vaut 1 si et seulement s'il existe $x\in \Bool^{n}$ tel que
+$f_{ij}(x)$ est différent de 0.
+
En outre, les interactions peuvent se représenter à l'aide d'un
graphe $G(f)$ orienté et signé défini ainsi:
\centering
\begin{minipage}{0.40\textwidth}
\begin{center}
- \includegraphics[height=3cm]{images/gp.pdf}
+ \includegraphics[scale=0.4]{images/gp.pdf}
\end{center}
\caption{$g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}) $}%
\label{fig:g:inter}%
\qquad
\begin{minipage}{0.40\textwidth}
\begin{center}
- \includegraphics[height=3cm]{images/hp.pdf}
+ \includegraphics[scale=0.4]{images/hp.pdf}
\end{center}
\caption{$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}%
\label{fig:h:inter}%
de $d_S(s,s')$
n'est pas nulle, alors $s_l$ est différent de $s'_l$.
-On peut démontrer que pour toute fonction booléenne $f$,
+On a démontré que pour toute fonction booléenne $f$,
$G_f$ est continue sur $\mathcal{X}$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
