-En étudiant le watermarking,
+En étudiant les schémas de watermarking,
nous avons constaté que très peu de travaux ciblaient les documents PDF
qui représentent cependant une part non anecdotique des données
échangées en ligne.
sont intégrés dans~\cite{WT08}.
Une attaque qui remodifierait aléatoirement de manière faible ces positions
détruirait la marque dans les deux cas.
+La quantification (au sens du traitement du signal) est une réponse
+à ces attaques: des positions modifiées de manière mal intentionnée
+peuvent grâce cette démarche être rapprochées (abstraites) en des positions
+préétablies et conserver ainsi leur information et donc la marque.
+STDM~\cite{CW01} est une instance de ces schémas de marquage.
+Ce chapitre présente une application de STDM au marquage de documents PDFs.
+\JFC{annonce du plan}
+
+\section{Rappels sur la Spread Transform Dither Modulation}
+\label{sec:STDM}
+Les paramètres de ce schéma sont
+\begin{itemize}
+\item le facteur de quantification $\Delta$ qui est un réel positif; plus $\Delta$
+est grand, plus la distortion peut être importante;
+\item le niveau d'indécision $d_0$ qui est un réel dans
+$[-\dfrac{\Delta}{2},\dfrac{\Delta}{2}]$; plus ce nombre a une valeur absolue
+élevée, plus les erreurs peuvent être corrigées;
+on définit $d_1$ par
+$$d_1 = \begin{cases}
+ d_0 + \Delta/2, & \textrm{ si }~~d_0<0 \\
+ d_0 - \Delta/2, & \textrm{ sinon }
+\end{cases}
+$$
+\item un nombre $L$ d'éléments dans lequel chaque bit de la marque
+ est embarqué;
+\item un vecteur $p$ de projection de taille $L$.
+
+\end{itemize}
+
+Soit donc $x$ un vecteur de taille $L$ dans lequel on souhaite embarquer
+le bit $m\in\{0,1\}$.
+Ce vecteur est remplacé par $x'$ défini par
+
+\begin{equation}\label{eq:stdm}
+x' = f(x,m) = x+ ((\lfloor(\frac{(x^T p) -d_m}{\Delta})\rfloor\Delta +d_m )~ - x^T p)p
+\end{equation}
+
+Avec les mêmes paramètres $\Delta$, $d_0$ , $L$ et $p$ le message
+$\hat{m}$ extrait de
+$x'$ de taille $L$ est défini par:
+\begin{equation}\label{eq:stdm:ext}
+\hat{m} = arg \min_{ m \in \{0, 1\}} \mid x'^T p - f(x,m) \mid
+\end{equation}
+
+Les auteurs de~\cite{CW01} ont montré que la variance de l'erreur
+est égale à $\Delta^2/12L$
+lorsque chacun des $L$ éléments de $x$ suit une ditribution uniforme
+$U(\Delta)$.
+Tous les éléments sont en place pour embarquer une marque
+dans un fichier PDF selon le schéma STDM.
+
+\section{Application au marquage de documents PDF}
+
+On détaille successivement comment insérer une marque dans un document PDF,
+puis comment l'extraire.
+
+\subsection{Insertion de la marque}
+
+On cherche à ajouter à un document PDF une marque $m$ de $k$ bits
+déjà codée (cryptée, correction d'erreurs incluse).
+L'insertion de celle-ci dans le document s'effectue
+en quatre étapes.
+
+On considère comme fixés les paramètres
+$\Delta$, $d_0$ et la manière de construire le vecteur $p$ pour une taille
+$L$.
+
+
+\begin{enumerate}
+\item Le vecteur hôte $x$ de taille $N$
+ est constitué de l'abscice (flottante)
+ de chaque caractère rencontré dans le document PDF.
+ La dimension $L$ est calculée comme la partie entière de $N/k$.
+
+\item Un générateur pseudo aléatoire (initialisé par une clef)
+construit $k$ ensembles $M_1$, \ldots, $M_k$
+de taille $L$ mutuellement disjoints dans $[1,N]$. Ainsi
+$\bigcup_{1\le i \le k} M_i \subseteq [N]$.
+
+
+\item Pour chacun des ensembles $M_i$, $ 1 \le i \le k$,
+ de l'étape précédente, le vecteur $\dot{x} = (x_{j_1}, \ldots ,x_{j_L})$,
+ est construit où $\{j_1, \ldots, j_L\} = M_i$.
+ Le vecteur $\dot{x'} = f(\dot{x},m_i)$ est
+ construit selon l'équation~(\ref{eq:stdm}).
+ Dans $x$, chacun des $x_{j_1}, \ldots, x_{j_L}$ est remplacé par
+ $\dot{x'}_{j_1}, \ldots, \dot{x'}_{j_L}$.
+
+\item L'abscisse de chaque caractère est ainsi redéfini
+ selon le nouveau vecteur de positions ${x'}$.
+\end{enumerate}
+
+Voyons comment extraire une marque d'une document PDF.
+
+\subsection{Exctraction de la marque}
+
+On considère comme connue la taille de la marque: c'est $k$ bits.
+Les paramètres $\Delta$, $d_0$ et la manière de construire
+$p$ en fonction de $L$ sont les mêmes qu'à l'étape précédente d'insertion de
+marque.
+
+\begin{enumerate}
+\item on récupère le vecteur $x'$ (de taille $N$ lui aussi) des abscices des
+ caractères du document PDF comme dans la phase d'insertion.
+ la valeur de $L$ est définie comme précédement.
+
+\item le même générateur pseudo aléatoire (initialisé avec la même clef)
+construit les $k$ mêmes ensembles $M_1$, \ldots, $M_k$
+de taille $L$ mutuellement disjoints dans $[1,N]$.
+
+\item Pour chacun des ensembles $M_i$, $ 1 \le i \le k$,
+ de l'étape précédente, le vecteur $\dot{x'} = (x'_{j_1}, \ldots, x'_{j_L})$,
+ est construit où $\{j_1, \ldots, j_L\} = M_i$.
+ Le bit $\hat{m}_i$ est défini selon l'équation~(\ref{eq:stdm:ext})
+ en remplaçant $x'$ par $\dot{x'}$ .
+\end{enumerate}
+
+\section{Choix des paramètres}
+Le schéma de marquage est paramétré par $\Delta$, $d_0$ et la manière de construire le vecteur $p$ pour une taille $L$.
+Les travaux réalisés se sont focalisés sur l'influence du paramètre
+$\Delta$ dans l'algorithme.
-Substitutive Quantization Index Modulation (QIM) methods were
-introduced by Chen and Wornell~\cite{CW01}. The Spread Transform Dither
-Modulation (STDM) is an implementation of this scheme and it has been
-considered robust under different watermarking
-attacks~\cite{DM10,WLSYNW13,CW99}.
-
-In this paper, the goal is to present a blind digital watermarking
-scheme for PDF documents based on a variant of the Quantization Index
-Modulation method called Spread Transform Dither Modulation
-(STDM). The main difficulty in PDF documents is to find a significant
-watermarking space in order to embed the secret message under a
-sufficient Transparency-Robustness tradeoff. Our contribution consists
-in using the $x$-coordinates of a group of characters to embed each
-bit of the secret message while choosing the appropriate mean
-distortion value which gives the strong tradeoff between transparency
-and robustness.
\ No newline at end of file
