referencesdéfiniesplusieurs fois

[hdrcouchot.git] / mixage.tex

diff --git a/mixage.tex b/mixage.tex
index d5f1981d43478f293e5ea98fdf53ca9b1e274a02..0b24636263588e3ec9a4fb3386f96ae18e67a10f 100644 (file)
--- a/mixage.tex
+++ b/mixage.tex
@@ -3,7 +3,7 @@ Pour être exécuté,
 le mode des itérations généralisées nécessite que chaque élément 
 connaisse la valeur de chaque autre élément dont il dépend.
 Pratiquement, cela se réalise en diffusant les valeurs des éléments de 
 le mode des itérations généralisées nécessite que chaque élément 
 connaisse la valeur de chaque autre élément dont il dépend.
 Pratiquement, cela se réalise en diffusant les valeurs des éléments de 

-proche en proche à tous les composants.
+proche en proche à tous les composants avant chaque itération.

 Dans le mode généralisé 
 \emph{asynchrone}, le composant n'attend pas: il met à jour sa 
 valeur avec les dernières valeurs dont il dispose, même si celles-ci 
 Dans le mode généralisé 
 \emph{asynchrone}, le composant n'attend pas: il met à jour sa 
 valeur avec les dernières valeurs dont il dispose, même si celles-ci 


@@ -54,7 +54,7 @@ souvent.
 Dans le mode asynchrone, a chaque itération $t$, chaque composant peut
 mettre à jour son état en 
 fonction des dernières valeurs qu'il connaît des autre composants.
 Dans le mode asynchrone, a chaque itération $t$, chaque composant peut
 mettre à jour son état en 
 fonction des dernières valeurs qu'il connaît des autre composants.

-Obtenir où non les valeurs les plus à jours dépend du temps de calcul et 
+Obtenir ou non les valeurs les plus à jours dépend du temps de calcul et 

 du temps d'acheminement de celles-ci. On parle de latence, de délai.
 
 Formalisons le mode les itérations asynchrone.
 du temps d'acheminement de celles-ci. On parle de latence, de délai.
 
 Formalisons le mode les itérations asynchrone.


@@ -65,7 +65,7 @@ dont chaque élément $D_{ij}^{t}$ représente la date (inférieure ou égale à
 disponible au composant $i$. 
 On considère que le délai entre l'émission par $j$ et la réception par $i$, 
 défini par $\delta_{ij}^t  = t  - D_{ij}^{t}$ est borné par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.
 disponible au composant $i$. 
 On considère que le délai entre l'émission par $j$ et la réception par $i$, 
 défini par $\delta_{ij}^t  = t  - D_{ij}^{t}$ est borné par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.

-Le \emph{mode des itérations généralisées sans attente} 
+Le \emph{mode des itérations généralisées asynchrone} 

 est défini pour chaque  $i
 \in \{1,\ldots,n\}$ et chaque  $t=0,1,2,...$ par:
 
 est défini pour chaque  $i
 \in \{1,\ldots,n\}$ et chaque  $t=0,1,2,...$ par:
 


@@ -74,7 +74,7 @@ est défini pour chaque  $i
   x^{t+1}_i= \left\{
     \begin{array}{l}
       f_i( x_1^{D_{i1}^t},\ldots, x_{n}^{D_{i{n}}^t})
   x^{t+1}_i= \left\{
     \begin{array}{l}
       f_i( x_1^{D_{i1}^t},\ldots, x_{n}^{D_{i{n}}^t})

-      \textrm{ if } \textit{bin}(s^t)[i] = 1\\ 
+      \textrm{ si } \textit{bin}(s^t)[i] = 1\\ 

       x^{t}_i  \textrm{ sinon }
     \end{array} 
   \right.
       x^{t}_i  \textrm{ sinon }
     \end{array} 
   \right.


@@ -99,20 +99,20 @@ $(D^{(t)})^{t  \in \Nats}$, alors les itérations de  $f$ sont
 \emph{universellement convergentes}.
 
 
 \emph{universellement convergentes}.
 
 

-\subsection{Exemple jouet}
-On considère cinq éléments prenant à valeurs dans $\Bool$. 
+\begin{xpl}
+On considère cinq éléments à valeurs dans $\Bool$. 

 Une configuration dans $\Bool^5$ est représentée par un entier entre 
 Une configuration dans $\Bool^5$ est représentée par un entier entre 

-0 et 31. La~\Fig{fig:mix:map} donne la fonction définissant la dynamique du 
-système. La~\Fig{fig:mix:xplgraph} donne le graphe d'interaction associé à cette fonction.
+0 et 31. 
+La~\Fig{fig:mix:map} donne la fonction définissant la dynamique du 
+système et son graphe d'interaction.

 On note que le graphe d'interaction contient cinq cycles. Les résultats 
 connus~\cite{Bah00} de conditions suffisantes établissant la convergence
 du système pour les itérations généralisées sont
 basés sur l'absence de cycles. Ils ne peuvent donc pas être appliqués ici.
 
 On note que le graphe d'interaction contient cinq cycles. Les résultats 
 connus~\cite{Bah00} de conditions suffisantes établissant la convergence
 du système pour les itérations généralisées sont
 basés sur l'absence de cycles. Ils ne peuvent donc pas être appliqués ici.
 

-\begin{figure}[ht]
-\begin{minipage}[b]{0.55\linewidth}
-  \centering
-  $ f(x)= \left \{
+\begin{figure}%[ht]
+  \begin{center}
+    $$ f(x)= \left \{

     \begin{array}{lll}
       f_1(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & x_1.\overline{x_2} + \overline{x_1}.x_2 \\
       f_2(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & \overline{x_1 + x_2}  \\
     \begin{array}{lll}
       f_1(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & x_1.\overline{x_2} + \overline{x_1}.x_2 \\
       f_2(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & \overline{x_1 + x_2}  \\


@@ -120,48 +120,47 @@ basés sur l'absence de cycles. Ils ne peuvent donc pas être appliqués ici.
       f_4(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & x_5  \\
       f_5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & \overline{x_3} + x_4
     \end{array}
       f_4(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & x_5  \\
       f_5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & \overline{x_3} + x_4
     \end{array}

-  \right.  $
-\caption{Fonction $f$ de l'exemple jouet.}
-\label{fig:mix:map}
-\end{minipage}\hfill
-\begin{minipage}[b]{.40\linewidth}
-  \begin{center}
-    \includegraphics[scale=0.55]{xplgraphmix}
+  \right.
+  $$
+  
+  \includegraphics[scale=0.55]{xplgraphmix}

   \end{center}
   \end{center}

-  \caption{Graphe d'interaction associé à $f$.}
-  \label{fig:mix:xplgraph}
-\end{minipage}
+  \caption{Définition de $f:\Bool^5 \rightarrow \Bool^5$ et son graphe d'interaction}
+  \label{fig:mix:map}

 \end{figure}
 
 
 \begin{figure}
 \end{figure}
 
 
 \begin{figure}

-\begin{minipage}{0.56\linewidth}
-  \includegraphics[scale=0.55]{para_iterate_dec}
-  \caption{Itérations parallèles de $f$.}\label{fig:mix:xplparaFig}
-\end{minipage}
-\hfill
-\begin{minipage}{0.39\linewidth}
-  \includegraphics[scale=0.55]{chao_iterate_excerpt}
-  \caption{Extrait d'itérations chaotiques.}
-  \label{fig:mix:xplchaoFig}
-\end{minipage}
+  \begin{center}
+    \subfigure[Itérations synchrones de $f$.]{
+        \includegraphics[scale=0.50]{para_iterate_dec}
+        \label{fig:mix:xplparaFig}
+    }
+    \subfigure[Extrait des itérations unaires.]{
+        \includegraphics[scale=0.49]{chao_iterate_excerpt}
+        \label{fig:mix:xplchaoFig}
+    }
+    \end{center}
+ \caption{Graphes des itérations de $f$ définie à la figure~\ref{fig:mix:map}}

 \end{figure}
 \end{figure}

+\end{xpl}
+

 
 Dans ce qui suit, les  configurations  sont représentées à l'aide d'entiers 
 
 Dans ce qui suit, les  configurations  sont représentées à l'aide d'entiers 

-plutôt que nombres binaires. Le graphe des itérations parallèles est donné 
+plutôt que nombres binaires. Le graphe des itérations synchrones est donné 

 en~\Fig{fig:mix:xplparaFig}. Depuis n'importe quelle configuration, on constate 
 qu'il converge vers le point fixe correspondant à l'entier 19.
 en~\Fig{fig:mix:xplparaFig}. Depuis n'importe quelle configuration, on constate 
 qu'il converge vers le point fixe correspondant à l'entier 19.

-Un extrait du graphe des itérations chaotiques est donné à 
+Un extrait du graphe des itérations unaires est donné à 

 la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libellés des arcs correspondent aux éléments 
 la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libellés des arcs correspondent aux éléments 

-activés. Les itérations chaotiques ne convergent pas pour la stratégie 
+activés. Les itérations unaires ne convergent pas pour la stratégie 

 pseudo périodique donnée à l'équation~\Equ{eq:pseudo}:
 le système peut infiniment boucler entre 11 et 3, entre 15 et 7.   
 
 pseudo périodique donnée à l'équation~\Equ{eq:pseudo}:
 le système peut infiniment boucler entre 11 et 3, entre 15 et 7.   
 

-Comme les itérations chaotiques ne convergent pas pour certaines stratégies,
+Comme les itérations unaires ne convergent pas pour certaines stratégies,

 les itérations asynchrones basées sur les même stratégies peuvent ne pas 
 converger aussi. Cependant, même si l'on considère que tous les composants 
 sont activés à chaque itération, c'est à dire si $s^t$ est 
 les itérations asynchrones basées sur les même stratégies peuvent ne pas 
 converger aussi. Cependant, même si l'on considère que tous les composants 
 sont activés à chaque itération, c'est à dire si $s^t$ est 

-constamment égal à $2^n-1$, le délais peut introduire de la divergence.
+constamment égal à $2^n-1$, le délai peut introduire de la divergence.

 On considère par exemple la matrice $D^t$ dont chaque élément vaut  $t$
 sauf $D^t_{12}$  qui vaut $t-1$ si $t$  est impair. 
 On a ainsi $x^{t+1}= f(x^{t})$ si $t$ est pair et  
 On considère par exemple la matrice $D^t$ dont chaque élément vaut  $t$
 sauf $D^t_{12}$  qui vaut $t-1$ si $t$  est impair. 
 On a ainsi $x^{t+1}= f(x^{t})$ si $t$ est pair et  


@@ -206,7 +205,7 @@ Les itérations mixes d'un système discret suit l'équation \Equ{eq:async} où
 de plus   $bin(s^t)[i]=bin(s^t)[j]$ et $D_{ij}^t=D_{ji}^t=t$ si $i \eqNode j$.
 \end{Def}
 
 de plus   $bin(s^t)[i]=bin(s^t)[j]$ et $D_{ij}^t=D_{ji}^t=t$ si $i \eqNode j$.
 \end{Def}
 

-Dans ce contexte, il n'y a plus de délais entre deux noeuds de la même CFC
+Dans ce contexte, il n'y a plus de délai entre deux noeuds de la même CFC

 et leurs mises à jour sont synchronisées.
 Cependant, pour $p_0$ et $p_1$ dans la même  classe \class{p}, 
 et $q$ dans une autre classe \class{q}, ce  mode opératoire autorise
 et leurs mises à jour sont synchronisées.
 Cependant, pour $p_0$ et $p_1$ dans la même  classe \class{p}, 
 et $q$ dans une autre classe \class{q}, ce  mode opératoire autorise


@@ -224,12 +223,6 @@ Pour gommer cette distinction, on définit le mode suivant:
      \bigwedge_{p_k \in  \class{p}, q_k \in \class{q} } 
      D_{p_{k}q_{k}}^{t}  =   d_{pq}^t    
   \end{equation*}
      \bigwedge_{p_k \in  \class{p}, q_k \in \class{q} } 
      D_{p_{k}q_{k}}^{t}  =   d_{pq}^t    
   \end{equation*}

-  % Je me demande si cette formalisation n'a pas un souci par rapport à une
-  % formalisation avec un seul q ?! (car deux éléments supposent qu'ils sont distincts)
-  % car si on a deux éléments dans chaque classe, on peut alors avoir deux
-  % groupes de délais : supposons (a,b) dans p et (c,d) dans q
-  % a,c et b,d sont égaux et a,d et b,c sont égaux mais rien n'implique que a,c et
-  % a,d soient égaux !!!

 \end{Def}
 
 On a alors le théorème suivant.
 \end{Def}
 
 On a alors le théorème suivant.


@@ -252,7 +245,7 @@ La preuve de ce théorème est donnée en section~\ref{anx:mix}.
 Cette section donne des bornes supérieures et inférieures des durées 
 globales de convergence pour les modes synchrones, mixes et asynchrones.
 Pour simplifier le discours, on considère que les itérations 
 Cette section donne des bornes supérieures et inférieures des durées 
 globales de convergence pour les modes synchrones, mixes et asynchrones.
 Pour simplifier le discours, on considère que les itérations 

-convergent en in $I$ étapes dans le mode synchrone et que le graphe 
+convergent en $I$ étapes dans le mode synchrone et que le graphe 

 d'interaction ne contient qu'une seule composante connexe.
 Les durées de convergence prennent en compte les temps de calcul et les temps 
 de communication, ce depuis l'initialisation et jusqu'à la stabilisation.
 d'interaction ne contient qu'une seule composante connexe.
 Les durées de convergence prennent en compte les temps de calcul et les temps 
 de communication, ce depuis l'initialisation et jusqu'à la stabilisation.


@@ -265,11 +258,13 @@ un entier $\delta_0$ tel que $0 \le t-D_{ij}^t \le \delta_0$ est établi
 pour tout couple de n{\oe}uds $(i,j)$. 
 Les notations utilisées sont les suivantes:
 \begin{description}
 pour tout couple de n{\oe}uds $(i,j)$. 
 Les notations utilisées sont les suivantes:
 \begin{description}

-\item [Taille pour coder l'information:] elle représente le nombre de nécessaire de bits 
+\item [Taille pour coder l'information] elle représente le nombre 
+  de bits
+  nécessaires 

   pour représenter  l'état courant du composant $i$ et est notée $\textit{cs}_i$;
   pour représenter  l'état courant du composant $i$ et est notée $\textit{cs}_i$;

-\item [Temps de calcul:] le composant $i$ a besoins de  $\textit{cp}_i$ unités de temps 
+\item [Temps de calcul] le composant $i$ a besoins de  $\textit{cp}_i$ unités de temps 

   pour faire une mise à jour locale de son état;
   pour faire une mise à jour locale de son état;

-\item   [Temps de communication:] On utilise le modèle classique de communication 
+\item   [Temps de communication] on utilise le modèle classique de communication 

   $\beta+L\tau$  où $L$ est le nombre de bits  transférés. 
   On définit  $\beta_{ij}$ et  $\tau_{ij}$ comme la latence et la bande passante du lien 
   entre  $i$ et $j$.
   $\beta+L\tau$  où $L$ est le nombre de bits  transférés. 
   On définit  $\beta_{ij}$ et  $\tau_{ij}$ comme la latence et la bande passante du lien 
   entre  $i$ et $j$.


@@ -299,7 +294,7 @@ graphe d'interaction, le temps global de convergence est
   Intuitivement la convergence se propage selon les dépendances internes au système:
   un n{\oe}uds se stabilise lorsque ceux dont il dépend sont eux aussi stables.
   Cette stabilisation progressive est illustrée à la \Fig{fig:evalsync} qui
   Intuitivement la convergence se propage selon les dépendances internes au système:
   un n{\oe}uds se stabilise lorsque ceux dont il dépend sont eux aussi stables.
   Cette stabilisation progressive est illustrée à la \Fig{fig:evalsync} qui

-  représente des exécutions parallèles dans le cas d'une initialisation avec la 
+  représente des exécutions synchrones dans le cas d'une initialisation avec la 

   valeur (00100).
   Dans cette figure et les suivantes, les blocs doublement hachurés
   indiquent la stabilisation du composant.
   valeur (00100).
   Dans cette figure et les suivantes, les blocs doublement hachurés
   indiquent la stabilisation du composant.


@@ -309,7 +304,7 @@ graphe d'interaction, le temps global de convergence est
   \centering
   \begin{minipage}{1\linewidth}
     \includegraphics[scale=0.4]{eval_sync}
   \centering
   \begin{minipage}{1\linewidth}
     \includegraphics[scale=0.4]{eval_sync}

-    \caption{Itérations parallèles}
+    \caption{Itérations synchrones}

     \label{fig:evalsync}
   \end{minipage}
   
     \label{fig:evalsync}
   \end{minipage}
   


@@ -390,38 +385,14 @@ graphe d'interaction, le temps global de convergence est
 \subsection{le mode mixe}
 \label{sec:evalmixed}
 
 \subsection{le mode mixe}
 \label{sec:evalmixed}
 

-% As  detailed  in Sect.~\ref{sec:mdn},  the  mixed  case asynchronously  combines
-% subsets of synchronized components  (the different classes). The double interest
-% of  that  approach is  to  ensure  the convergence  of  the  system while  using
-% asynchronism.
-
-% The  part  of  asynchronism often  reduces  the  global  execution time  as  the
-% communications  between  subgroups are  implicitly  overlapped by  computations.
-% However, the iterative scheme is no more the same as the synchronous one and its
-% number of  iterations to reach  the convergence will  be greater or  equal.
-
-% Le nombre d'itérations requises pour obtenir la convergence en mode mixe 
-% dépend des arangements entre les délais de communication et les durées de 
-% calcul. 
-
-% number directly  depends on the arrangement  of delays during  the execution and
-% then on the communication times. But  it also depends on the evolution functions
-% which influence  the way each  part of the  system stabilizes itself.  
-% In fact,  according to its evolution  function, a component may  reach its fixed
-% point  state even  with  a part  of its  input  data not  recently updated.   In
-% addition, as  mentioned earlier, the  set of components  in any system  does not
-% stabilize at the same time and there is often a propagation of the stabilization
-% through the system.
-% Also, the  previously mentioned phenomenon of  stabilization propagation through
-% the system is still present in mixed mode.

 
 On considère $|\mathcal{K}|$  classes de composants synchronisés.
 
 On considère $|\mathcal{K}|$  classes de composants synchronisés.

-(comme donné  en équation~(\ref{eq:I}).
+(comme donné  en équation~(\ref{eq:I})).

 Soit $I_k$ le nombre d'itérations suffisants pour que la classe 
 Soit $I_k$ le nombre d'itérations suffisants pour que la classe 

-$k  \in \mathcal{K}$ se stabilise 
+$\class{k}  \in \mathcal{K}$ se stabilise 

 sachant  toutes ses dépendances ont déjà convergé. 
 sachant  toutes ses dépendances ont déjà convergé. 

-Ainsi $I$ vaut $\sum_{k \in \mathcal{K}} I_k$.
-La borne inférieur pour la durée de convergence des itérations asynchrones est 
+Ainsi $I$ vaut $\sum_{\class{k} \in \mathcal{K}} I_k$.
+La borne inférieure pour la durée de convergence des itérations asynchrones est 

 \begin{equation}
   \label{eq:mixtelow}
   T(\textit{Mixed})\ge \sum_{k\in \mathcal{K}} I_k(\max_{l\in k}\textit{cp}_{l})
 \begin{equation}
   \label{eq:mixtelow}
   T(\textit{Mixed})\ge \sum_{k\in \mathcal{K}} I_k(\max_{l\in k}\textit{cp}_{l})


@@ -446,7 +417,7 @@ ascendants pour converger. On a dans ce cas:
   Une exécution du mode mixe est donnée à la~\Fig{fig:evalmixte}.
   On peut constater que le temps d'exécution peut être  
   plus petit que pour le 
   Une exécution du mode mixe est donnée à la~\Fig{fig:evalmixte}.
   On peut constater que le temps d'exécution peut être  
   plus petit que pour le 

-  mode parallèle.
+  mode synchrone.

 \end{xpl}
 
 \subsection{Le mode généralisé asynchrone}
 \end{xpl}
 
 \subsection{Le mode généralisé asynchrone}


@@ -467,11 +438,12 @@ La borne supérieure quant à elle est donnée par:
   \label{eq:asyncup}
   T(\textit{Async})\le\sum_{i=1}^{n}\left(I_i\times \textit{cp}_{i}+\max_{1\le k \le n}B_{ki}(\beta_{ik}+\textit{cs}_{i}\tau_{ik})\right)
 \end{equation}
   \label{eq:asyncup}
   T(\textit{Async})\le\sum_{i=1}^{n}\left(I_i\times \textit{cp}_{i}+\max_{1\le k \le n}B_{ki}(\beta_{ik}+\textit{cs}_{i}\tau_{ik})\right)
 \end{equation}

-et apparaît lorsque chaque élément dépend des autres et que les calcules 
+et apparaît lorsque chaque élément dépend des autres et que les calculs 

 ne recouvrent nullement les communications.
 
 \begin{xpl}
 ne recouvrent nullement les communications.
 
 \begin{xpl}

-  La \Fig{fig:evalasync} présente un exemple d'exécution du mode asynchrone.
+  La \Fig{fig:evalasync} présente un exemple d'exécution du mode généralisé 
+  asynchrone.

   Certaines communications issues de l'élément $4$ n'ont pas été représentées
   pour des raisons de clarté.
   On constate que le temps global de convergence est plus petit que celui des
   Certaines communications issues de l'élément $4$ n'ont pas été représentées
   pour des raisons de clarté.
   On constate que le temps global de convergence est plus petit que celui des


@@ -500,6 +472,6 @@ ne recouvrent nullement les communications.
 %%% Local Variables: 
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "main"
 %%% Local Variables: 
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "main"

-%%% ispell-dictionary: "american"
+%%% ispell-dictionary: "french"

 %%% mode: flyspell
 %%% End: 
 %%% mode: flyspell
 %%% End: