unaire de négation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.
-Soit $n$ un entier naturel.
-On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^n$.
-L'ensemble $\{1,\dots, n\}$ sera par la suite noté $[n]$.
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel.
+On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$.
+L'ensemble $\{1,\dots, {\mathsf{N}}\}$ sera par la suite noté $[{\mathsf{N}}]$.
Le $i^{\textrm{ème}}$ composant d'un élément
-$x \in \Bool^n$ s'écrit $x_i$.
-Si l'ensemble $I$ est une partie de $[n]$, alors
-$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in \Bool^n$
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ s'écrit $x_i$.
+Si l'ensemble $I$ est une partie de $[{\mathsf{N}}]$, alors
+$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in \Bool^{\mathsf{N}}$
tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et
$y_i = x_i$ sinon.
-On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[n]}$
+On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[{\mathsf{N}}]}$
(chaque composant de $\overline{x}$ est nié:
c'est une négation composante à composante)
-et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [n]$
+et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$
(seul $x_i$ est nié dans $\overline{x}$).
-Pour tout $x$ et $y$ dans $\Bool^n$, l'ensemble
-$\Delta(x, y)$, contient les $i \in [n]$
+Pour tout $x$ et $y$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble
+$\Delta(x, y)$, contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
tels que $x_i \neq y_i$.
-Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^n$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
-est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^n$ dans $\Bool$.
+Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
+est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
Pour chaque
-$x$ dans $\Bool^n$, l'ensemble
+$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble
$\Delta f(x)$ est défini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .
\begin{xpl}\label{xpl:1}
-On considère $n= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+On considère ${\mathsf{N}}= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
$f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec
$$\begin{array}{rcl}
f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\
Un réseau booléen est
défini à partir d'une fonction booléenne:
\[
-f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),
+f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x=(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}})\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_{\mathsf{N}}(x)),
\]
-et un {\emph{schéma itératif}} ou encore \emph{mode de mise à jour}. À partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$, la suite $(x^{t})^{t
+et un {\emph{schéma itératif}} ou encore \emph{mode de mise à jour}. À partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$, la suite $(x^{t})^{t
\in \Nats}$ des configurations du système est construite selon l'un des
schémas suivants :
\begin{itemize}
\item \textbf{Schéma parallèle synchrone :} basé sur la relation de récurrence
- $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous les $x_i$, $1 \le i \le n$, sont ainsi mis à jour à
+ $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous les $x_i$, $1 \le i \le {\mathsf{N}}$, sont ainsi mis à jour à
chaque itération en utilisant l'état global précédent du système $x^t$.
-\item \textbf{Schéma unaire :} cette terminologie a plusieurs
- interprétations
- dans la littérature, mais celle que nous
- retenons ici consiste à modifier la valeur
- d'un unique élément $i$, $1 \le i \le n$, à
+\item \textbf{Schéma unaire :} ce schéma est parfois
+ qualifié de chaotique
+ dans la littérature.
+ Il consiste à modifier la valeur
+ d'un unique élément $i$, $1 \le i \le {\mathsf{N}}$, à
chaque itération. Le choix de l'élément qui est modifié à chaque itération est
défini par une suite
$S = \left(s^t\right)^{t \in \mathds{N}}$ qui est une séquence
- d'indices dans $[n]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}.
-% Lorsque cette suite est strictement cyclique (sans
- % occurrences multiples dans le motif) sur l'ensemble des éléments $\{1,\ldots
- % n\}$, alors on retrouve le comportement du mode séquentiel synchrone.
+ d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}.
+ Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+
+\begin{equation}
+ x^{t+1}_i=
+ \left\{ \begin{array}{l}
+ f_i(x^t) \textrm{ si } i=s^t, \\
+ x^t_i\textrm{ sinon.}
+ \end{array}
+ \right.
+\label{eq:schema:unaire}
+\end{equation}
+
+
+
\item \textbf{Schéma généralisé:} dans ce schéma, ce sont les valeurs
- d'un ensemble d'éléments de $[n]$ qui sont modifiées à chaque itération.
+ d'un ensemble d'éléments de $[{\mathsf{N}}]$ qui sont modifiées à chaque itération.
Dans le cas particulier où c'est la valeur d'un singleton
- $\{k\}$, $1 \le k \le n$, qui est modifiée à
+ $\{k\}$, $1 \le k \le {\mathsf{N}}$, qui est modifiée à
chaque itération, on retrouve le
mode unaire. Dans le second cas particulier où ce sont les valeurs de
- tous les éléments de $\{1, \ldots, n\}$ qui sont modifiées
+ tous les éléments de $\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\}$ qui sont modifiées
à chaque itération, on retrouve le mode
parallèle. Ce mode généralise donc les deux modes précédents.
Plus formellement, à la $t^{\textrm{ème}}$
itération, seuls les éléments de la partie
- $s^{t} \in \mathcal{P}([n])$ sont mis à
+ $s^{t} \in \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])$ sont mis à
jour. La suite $S = \left(s^t\right)^{t \in \mathds{N}}$ est une séquence
de sous-ensembles
- de $[n]$ appelée \emph{stratégie généralisée}.
+ de $[{\mathsf{N}}]$ appelée \emph{stratégie généralisée}.
+ Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+ \begin{equation}
+ x^{t+1}_i=
+ \left\{ \begin{array}{l}
+ f_i(x^t) \textrm{ si } i \in s^t, \\
+ x^t_i\textrm{ sinon.}
+ \end{array}
+ \right.
+\label{eq:schema:generalise}
+\end{equation}
+
+
+
+
\end{itemize}
-Pour un entier naturel $n$ et une
-fonction $f : B^n \rightarrow B^n$, plusieurs évolutions sont possibles
+Pour un entier naturel ${\mathsf{N}}$ et une
+fonction $f : B^{\mathsf{N}} \rightarrow B^{\mathsf{N}}$, plusieurs évolutions sont possibles
en fonction du schéma itératif retenu.
Celles-ci sont représentées par un graphe orienté dont les noeuds
-sont les éléments de $\Bool^n$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
+sont les éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
\begin{itemize}
\item Le \emph{graphe des itérations synchrones} de $f$, noté $\textsc{gis}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
et seulement si $y=f(x)$.
-\item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{gia}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
+\item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
\item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si
et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que
$y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme
sous-graphe à la fois celui des itérations synchrones et celui
La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations
associés à $f$.
-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}%[ht]
\begin{center}
\subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\end{minipage}
\label{fig:fsig}
}
- \subfigure[$\textsc{gia}(f)$]{
+ \subfigure[$\textsc{giu}(f)$]{
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{faig}
\subsection{Attracteurs}
On dit que le point
-$x \in \Bool^n$ est un \emph{point fixe} de $f$ si $x = f (x)$.
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ est un \emph{point fixe} de $f$ si $x = f (x)$.
Les points fixes sont particulièrement intéressants car ils correspondent
aux états stables:
dans chaque graphe d'itérations, le point $x$ est un point fixe
si et seulement si il est son seul successeur.
-Dans le contexte des réseaux de régulation de gènes,
-ces points fixes correspondent aux configurations stables pour l'expression de
-gènes.
-Soit $\Gamma$ un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
+Soit un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
de $f$.
-Les \emph{attracteurs} de $\Gamma$ sont les
+Les \emph{attracteurs} de ce graphe sont les
plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides
-$A \subseteq \Bool^n$ tels que pour tout arc
-$x \rightarrow y$ de $\Gamma$, si $x$ est un élément de $A$, alors
+$A \subseteq \Bool^{\mathsf{N}}$ tels que pour tout arc
+$x \rightarrow y$, si $x$ est un élément de $A$, alors
$y$ aussi.
Un attracteur qui contient au moins deux éléments est dit \emph{cyclique}.
On en déduit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.
\begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
Le point $x$ est un point fixe si et seulement si
-$\{x\}$ est un attracteur de $\Gamma$.
-En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de $\Gamma$
+$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
+En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci
sont les points fixes de $f$.
-Ainsi pour chaque $x\in \Bool^n$, il existe au moins un chemin
+Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin
depuis $x$ qui atteint un attracteur.
-Ainsi $\Gamma$ contient toujours au moins un attracteur.
+Ainsi tout graphe d'itérations contient toujours au moins un attracteur.
\end{theorem}
\begin{xpl}
-Les attracteurs de $\textsc{gia}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont
+Les attracteurs de $\textsc{giu}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont
le point fixe $000$ et l'attracteur cyclique
$\{001, 101,111, 011 \}$.
Les attracteurs de $\textsc{gis}(f)$ sont le point fixe $000$
système peuvent être mémorisées
dans la {\emph{matrice jacobienne discrète}} $f'$.
Celle-ci est définie comme étant la fonction qui à chaque
-configuration $x\in\Bool^n$ associe la matrice de taille
+configuration $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ associe la matrice de taille
$n\times n$ telle que
\begin{equation}
f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad
dans $\Z$.
Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrète,
on obtient une matrice notée $B(f)$ aussi de taille
-$n\times n$.
+${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$.
Celle-ci mémorise uniquement
l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de
tel élément.
\emph{matrice d'incidence}.
\begin{theorem}
-Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [n]$,
+Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$,
$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à $f_i(x)$, \textit{i.e},
$f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
\end{theorem}
En outre, les interactions peuvent se représenter à l'aide d'un
-graphe $G(f)$ orienté et signé défini ainsi:
-l'ensemble des sommets est
-$[n]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
+graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi:
+l'ensemble des sommet %s est
+$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
$s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
-un $x\in\Bool^n$.
+un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$.
On note que la présence de
deux arcs de signes opposés entre deux sommets donnés
Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$).
La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète.
-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}%[ht]
\begin{center}
- \subfigure[Matrice jacobienne de $f$.]{
+ \subfigure[Matrice jacobienne]{
\begin{minipage}{0.90\textwidth}
\begin{center}
$
\end{minipage}
\label{fig:f:jacobienne}
}
-
- \subfigure[Graphe d'interaction de $f$.]{
+ ~
+ \subfigure[Graphe d'interaction]{
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{gf}
\end{minipage}
}
- \subfigure[Matrice d'incidence de $f$.]{
+ \subfigure[Matrice d'incidence]{
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{center}
$
\end{minipage}
}
\end{center}
-\caption{Représentations des dépendances entre les éléments de la fonction $f$ de l'exemple illustratif.}
+\caption{Représentations des dépendances entre les éléments
+de la fonction
+$f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+$(x_1, x_2, x_3) \mapsto
+((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
+x_1.x_3,
+x_1 + x_2 + x_3)$}
\end{figure}
\end{xpl}
-Soit $P$ une suite d'arcs de $G(f)$ de la forme
+Soit $P$ une suite d'arcs de $\Gamma(f)$ de la forme
\[
(i_1,s_1,i_2),(i_2,s_2,i_3),\ldots,(i_r,s_r,i_{r+1}).
\]
-Alors, $P$ est dit un chemin de $G(f)$ de longueur $r$ et de signe
+Alors, $P$ est dit un chemin de $\Gamma(f)$ de longueur $r$ et de signe
$\Pi_{i=1}^{r}s_i$ et $i_{r+1}$ est dit accessible depuis
$i_1$.
$P$ est un {\emph{circuit}} si $i_{r+1}=i_1$ et si les sommets
$i_1$,\ldots $i_r$ sont deux à deux disjoints.
-Un sommet $i$ de $G(f)$ a une {\emph{boucle}}
-positive (resp. négative) , si $G(f)$ a un
+Un sommet $i$ de $\Gamma(f)$ a une {\emph{boucle}}
+positive (resp. négative) , si $\Gamma(f)$ a un
arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même.
\subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async}
Parmi les itérations unaires caractérisées par leurs stratégies
-$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[n]$,
+$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[{\mathsf{N}}]$,
sont jugées intéressantes
celles qui activent au moins une fois
-chacun des $i\in[n]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié.
+chacun des $i\in[{\mathsf{N}}]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié.
Plus formellement, une séquence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$
-est dite \emph{complète} relativement à $[n]$ si
-tout indice de $[n]$
+est dite \emph{complète} relativement à $[{\mathsf{N}}]$ si
+tout indice de $[{\mathsf{N}}]$
s'y retrouve au moins une fois.
Parmi toutes les stratégies unaires de
-$[n]^{\Nats}$, on qualifie de:
+$[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:
\begin{itemize}
\item \emph{périodiques} celles
qui sont constituées par une répétition indéfinie
-d'une même séquence $S$ complète relativement à $[n]$.
+d'une même séquence $S$ complète relativement à $[{\mathsf{N}}]$.
En particulier toute séquence périodique est complète.
\item \emph{pseudo-périodiques} celles
qui sont constituées par une succession indéfinie de séquences
(de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de
-$1$ à $n$ revient indéfiniment.
+$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient indéfiniment.
\end{itemize}
a énoncé en 1995 le théorème suivant de convergence
dans le mode des itérations unaires.
-\begin{theorem}\label{Th:conv:GIA}
-Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
-pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{GIA}(f)$ atteint
-l'unique point fixe $\zeta$ en au plus $n$ pseudo-périodes.
+\begin{theorem}\label{Th:conv:GIU}
+Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
+pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint
+l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes.
\end{theorem}
Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément
s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une
-succession indéfinie de séquences de parties de $[n]$
-dont l'union est $[n]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
+succession indéfinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$
+dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
J. Bahi~\cite{Bah00} a démontré le théorème suivant:
\begin{theorem}\label{Th:Bahi}
-Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée
+Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée
est pseudo-périodique alors
-tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ finit par atteindre
+tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ (et donc de $\textsc{giu}(f)$)
+finit par atteindre
l'unique point fixe $\zeta$.
\end{theorem}
