-\JFC{Voir section~\ref{sec:spin:proof}}
+%\JFC{Voir section~\ref{sec:spin:proof}}
Cette section donne les preuves des deux théorèmes de correction et complétude
du chapitre~\ref{chap:promela}.
-\begin{lemma}[Strategy Equivalence]\label{lemma:strategy}
- Let $\phi$ be a DDN with strategy $(S^t)^{t \in \Nats}$ and $\psi$ be its
- translation. There exists an execution of $\psi$ with weak fairness s.t. the
- scheduler makes \verb+update_elems+ update elements of $S^t$ at iteration $t$.
+\begin{lemma}[Stratégie équivalente]\label{lemma:strategy}
+ Soit $\phi$ un système dynamique discret de stratégie $(S^t)^{t \in \Nats}$
+ et $\psi$ sa traduction en promela.
+ Il existe une exécution de $\psi$ sous hypothèse d'équité faible telle
+ le le scheduler met à jour les elements of $S^t$
+ donnés par \verb+update_elems+ à l'iteration $t$.
\end{lemma}
\begin{Proof}
- The proof is direct for $t=0$. Let us suppose it is established until $t$ is
- some $t_0$. Let us consider pseudo-periodic strategies. Thanks to the weak
- fairness equity property, \verb+update_elems+ will modify elements of $S^t$ at
- iteration $t$.
+ La preuve est directe pour $t=0$.
+ Supposons qu'elle est établie jusqu'en $t$ vallant un certain $t_0$.
+ On considère des stratégies pseudo périodiques.
+ Grâce à l'hypothèse d'équité faible, \verb+update_elems+ modifie
+ les éléments de $S^t$ à l'iteration $t$.
\end{Proof}
-In what follows, let $Xd^t_{ji}$ be the value of
-\verb+Xd[+$j$\verb+].v[+$i$\verb+]+ after the $t^{\text{th}}$ call to the
-function \verb+fetch_values+. Furthermore, let $Y^k_{ij}$ be the element at
-index $k$ in the channel \verb+channels[i].sent[j]+ of size $m$, $m \le
-\delta_0$; $Y^0_{ij}$ and $Y^{m-1}_{ij}$ are respectively the head and the tail
-of the channel. Secondly, let $(M_{ij}^t)^{t \in \{1, 1.5, 2, 2.5,\ldots\}}$ be a
-sequence such that $M_{ij}^t$ is the partial function that associates to each
-$k$, $0 \le k \le m-1$, the tuple $(Y^k_{ij},a^k_{ij},c^k_{ij})$ while entering
-into the \verb+update_elems+ at iteration $t$ where
+Dans ce qui suit, soit $Xd^t_{ji}$ la valeur de
+\verb+Xd[+$j$\verb+].v[+$i$\verb+]+ après le $t^{\text{ème}}$ appel
+à la fonction
+\verb+fetch_values+.
+De plus, soit $Y^k_{ij}$ l'élément à l'indice $k$
+dans le canal \verb+channels[i].sent[j]+ de taille $m$, $m \le
+\delta_0$; $Y^0_{ij}$ et $Y^{m-1}_{ij}$ sont respectivement la tête et la queue
+du canal.
+De plus, soit $(M_{ij}^t)^{t \in \{1, 1.5, 2, 2.5,\ldots\}}$ une séquence telle que
+$M_{ij}^t$ est une fonction partielle qui associe à chaque
+$k$, $0 \le k \le m-1$, le tuple $(Y^k_{ij},a^k_{ij},c^k_{ij})$ en entrant
+dans la fonction \verb+update_elems+ à l'itération $t$ où
% \begin{itemize}
% \item
- $Y^k_{ij}$ is the value of the channel \verb+channels[i].sent[j]+
- at index $k$,
+ $Y^k_{ij}$ est la valeur du cannal \verb+channels[i].sent[j]+
+ à l'indice $k$,
%\item
-$a^k_{ij}$ is the date (previous to $t$) when $Y^k_{ij}$ has been added and
+$a^k_{ij}$ est la date (antérieure à $t$) mémorisant quand $Y^k_{ij}$ est ajouté et
%\item
-$c^k_{ij}$ is the first date at which the value is available on $j$. So,
- the value is removed from the channel $i\rightarrow j$ at date $c^k_{ij}+1$.
+$c^k_{ij}$ est le premier temps où cette valeur est accessible à $j$.
+La valeur est supprimée du canal $i\rightarrow j$ à la date $c^k_{ij}+1$.
%\end{itemize}
-$M_{ij}^t$ has the following signature:
+$M_{ij}^t$ a la signature suivante:
\begin{equation*}
\begin{array}{rrcl}
M_{ij}^t: &
\end{array}
\end{equation*}
-Intuitively, $M_{ij}^t$ is the memory of \verb+channels[i].sent[j]+ while
-starting the iteration $t$. Notice that the domain of any $M_{ij}^1$ is $\{0\}$
-and $M_{ij}^1(0)=(\verb+Xp[i]+,0,0)$: indeed, the \verb+init+ process
-initializes \verb+channels[i].sent[j]+ with \verb+Xp[i]+.
-
-Let us show how to make the indeterminism inside the two functions\linebreak
-\verb+fetch_values+ and \verb+diffuse_values+ compliant with \Equ{eq:async}.
-The function $M_{ij}^{t+1}$ is obtained by the successive updates of
-$M_{ij}^{t}$ through the two functions\linebreak \verb+fetch_values+ and
-\verb+diffuse_values+. Abusively, let $M_{ij}^{t+1/2}$ be the value of
-$M_{ij}^{t}$ after the former function during iteration $t$.
-
-In what follows, we consider elements $i$ and $j$ both in $\llbracket 1, n
-\rrbracket$ that are updated. At iteration $t$, $t \geq 1$, let
-$(Y^0_{ij},a^0_{ij},c^0_{ij})$ be the value of $M_{ij}^t(0)$ at the beginning of
-\verb+fetch_values+. If $t$ is equal to $c^0_{ij}+1$ then we execute the
-instruction that assigns $Y^0_{ij}$ (\textit{i.e.}, the head value of
-\verb+channels[i].sent[j]+) to $Xd_{ji}^t$. In that case, the function
-$M_{ij}^t$ is updated as follows: $M_{ij}^{t+1/2}(k) = M_{ij}^{t}(k+1)$ for each
-$k$, $0 \le k \le m-2$ and $m-1$ is removed from the domain of $M_{ij}^{t+1/2}$.
-Otherwise (\textit{i.e.}, when $t < c^0_{ij}+1$ or when the domain of $M_{ij}$
-is empty) the \verb+skip+ statement is executed and $M_{ij}^{t+1/2} =
+Intuitivement, $M_{ij}^t$ est la mémoire du cannal
+\verb+channels[i].sent[j]+ à l'iterations $t$.
+On note que le domaine de chaque $M_{ij}^1$ est $\{0\}$ et
+$M_{ij}^1(0)=(\verb+Xp[i]+,0,0)$: en effet le processus
+\verb+init+ initialise \verb+channels[i].sent[j]+ avec \verb+Xp[i]+.
+
+Montrons comment l'indéterminisme des deux fonctions
+\verb+fetch_values+ et \verb+diffuse_values+
+permet de modéliser l'équation \Equ{eq:async}.
+La function $M_{ij}^{t+1}$ est obtenue à l'aide de mises à jour successives
+de $M_{ij}^{t}$ au travers des deux functions \verb+fetch_values+ and
+\verb+diffuse_values+. Par abus, soit $M_{ij}^{t+1/2}$
+la valeur de $M_{ij}^{t}$ après la première fonction pendant l'itération
+ $t$.
+
+Dans ce qui suit, on considère les éléments $i$ et $j$
+dans $[ \mathsf{N} ]$.
+A l'itération $t$, $t \geq 1$, soit
+$(Y^0_{ij},a^0_{ij},c^0_{ij})$ la valeur de $M_{ij}^t(0)$ en entrant
+dans la fonction
+\verb+fetch_values+.
+Si $t$ est égal à $c^0_{ij}+1$ alors on exécute
+l'instruction qui affecte $Y^0_{ij}$ (\textit{i.e.}, la valeur de tête du
+\verb+channels[i].sent[j]+) à $Xd_{ji}^t$. Dans ce cas, la fonction
+$M_{ij}^t$ est mise à jour comme suit: $M_{ij}^{t+1/2}(k) = M_{ij}^{t}(k+1)$ pour chaque $k$, $0 \le k \le m-2$ et $m-1$ est supprimée du domaine de $M_{ij}^{t+1/2}$.
+Sinon, (\textit{i.e.}, lorsque $t < c^0_{ij}+1$ ou lorsque le domaine de $M_{ij}$
+est vide) l'instruction \verb+skip+ est exécutée et $M_{ij}^{t+1/2} =
M_{ij}^{t}$.
-In the function \verb+diffuse_values+, if there exists some $\tau$, $\tau\ge t$
-such that \mbox{$D^{\tau}_{ji} = t$}, let $c_{ij}$ be defined by $ \min\{l \mid
-D^{l}_{ji} = t \} $. In that case, we execute the instruction that adds the
-value \verb+Xp[i]+ to the tail of \verb+channels[i].sent[j]+. Then,
-$M_{ij}^{t+1}$ is defined as an extension of $M_{ij}^{t+1/2}$ in $m$ such that
-$M_{ij}^{t+1}(m)$ is $(\verb+Xp[i]+,t,c_{ij})$. Otherwise (\textit{i.e.}, when $\forall l
-\, . \, l \ge t \Rightarrow D^{l}_{ji} \neq t$ is established) the \verb+skip+
-statement is executed and $M_{ij}^{t+1} = M_{ij}^{t+1/2}$.
-
-
-\begin{lemma}[Existence of SPIN Execution]\label{lemma:execution}
- For any sequences $(S^t)^{t \in \Nats}$,\linebreak $(D^t)^{t \in \Nats}$, for
- any map $F$ there exists a SPIN execution such that for any iteration $t$, $t
- \ge 1$, for any $i$ and $j$ in $\llbracket 1, n \rrbracket$ we have the
- following properties:
+Dans la fonction \verb+diffuse_values+,
+s'il existe un $\tau$, $\tau\ge t$
+tel que \mbox{$D^{\tau}_{ji} = t$}, soit alors $c_{ij}$ défini par $ \min\{l \mid
+D^{l}_{ji} = t \} $. Dans ce cas, on exécution l'instruction qui
+ajoute la valeur \verb+Xp[i]+ dans la queue du cannal
+\verb+channels[i].sent[j]+. Alors,
+$M_{ij}^{t+1}$ est défini en étendant $M_{ij}^{t+1/2}$ à $m$ de sorte que
+$M_{ij}^{t+1}(m)$ est $(\verb+Xp[i]+,t,c_{ij})$.
+Sinon, (\textit{i.e.}, lorsque $\forall l
+\, . \, l \ge t \Rightarrow D^{l}_{ji} \neq t$ est établie) l'instruction
+\verb+skip+
+est exécutée et $M_{ij}^{t+1} = M_{ij}^{t+1/2}$.
+
+
+\begin{lemma}[Existence d'une exécution SPIN]\label{lemma:execution}
+ Pour chaque sequence $(S^t)^{t \in \Nats}$,\linebreak $(D^t)^{t \in \Nats}$,
+ pour chaque fonction $F$,
+ il existe une exécution SPIN telle que pour toute itération $t$, $t
+ \ge 1$, et pour chaque $i$ et $j$ dans $[ \mathsf{N} ]$
+ on a la propriété suivante:
-\noindent If the domain of $M_{ij}^t$ is not empty, then
+\noindent Si le domaine de $M_{ij}^t$ n'est pas vide, alors
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{rcl}
M_{ij}^1(0) & = & \left(X_i^{D_{ji}^{0}}, 0,0 \right) \\
- \textrm{if $t \geq 2$ then }M_{ij}^t(0) & = &
+ \textrm{si $t \geq 2$ alors }M_{ij}^t(0) & = &
\left(X_i^{D_{ji}^{c}},D_{ji}^{c},c \right) \textrm{, }
c = \min\{l | D_{ji}^l > D_{ji}^{t-2} \}
\end{array}
\right.
\label{eq:Mij0}
\end{equation}
-\noindent Secondly we have:
+\noindent De plus, on a :
\begin{equation}
\forall t'\, .\, 1 \le t' \le t \Rightarrow Xd^{t'}_{ji} = X^{D^{t'-1}_{ji}}_i
\label{eq:correct_retrieve}
\end{equation}
-\noindent Thirdly, for any $k\in S^t$. Then, the value of the computed variable
-\verb+Xp[k]+ at the end of the \verb+update_elems+ process is equal to
+\noindent Enfin, pour chaque $k\in S^t$, la valeur de
+la variable \verb+Xp[k]+ en sortant du processus
+\verb+update_elems+ est égale à
$X_k^{t}$ \textit{i.e.}, $F_{k}\left( X_1^{D_{k\,1}^{t-1}},\ldots,
- X_{n}^{D_{k\,{n}}^{t-1}}\right)$ at the end of the $t^{\text{th}}$ iteration.
+ X_{\mathsf{N}}^{D_{k\,{\mathsf{N}}}^{t-1}}\right)$ à la fin de la $t^{\text{th}}$ itération.
\end{lemma}
\begin{Proof}
-The proof is done by induction on the number of iterations.
+La preuve est faite par induction sur le nombre d'itérations.
-\paragraph{Initial case:}
-
-For the first item, by definition of $M_{ij}^t$, we have $M_{ij}^1(0) = \left(
- \verb+Xp[i]+, 0,0 \right)$ that is obviously equal to $\left(X_i^{D_{ji}^{0}},
+\paragraph{Situation initiale:}
+Pour le premier item, par definition de $M_{ij}^t$, on a $M_{ij}^1(0) = \left(
+ \verb+Xp[i]+, 0,0 \right)$ qui est égal à $\left(X_i^{D_{ji}^{0}},
0,0 \right)$.
-
-Next, the first call to the function \verb+fetch_value+ either assigns the head
-of \verb+channels[i].sent[j]+ to \verb+Xd[j].v[i]+ or does not modify
-\verb+Xd[j].v[i]+. Thanks to the \verb+init+ process, both cases are equal to
-\verb+Xp[i]+, \textit{i.e.}, $X_i^0$. The equation (\ref{eq:correct_retrieve}) is then
-established.
-
-
-For the last item, let $k$, $0 \le k \le n-1$. At the end of the first
-execution\linebreak of the \verb+update_elems+ process, the value of
-\verb+Xp[k]+ is\linebreak $F(\verb+Xd[+k\verb+].v[0]+, \ldots,
-\verb+Xd[+k\verb+].v[+n-1\verb+]+)$. Thus, by definition of $Xd$, it is equal
-to $F(Xd^1_{k\,0}, \ldots,Xd^1_{k\,n-1})$. Thanks to \Equ{eq:correct_retrieve},
-we can conclude the proof.
-
-
-
-\paragraph{Inductive case:}
-
-Suppose now that lemma~\ref{lemma:execution} is established until iteration $l$.
-
-First, if domain of definition of the function $M_{ij}^l$ is not empty, by
-induction hypothesis $M_{ij}^{l}(0)$ is $\left(X_i^{D_{ji}^{c}}, D_{ji}^{c},c
-\right)$ where $c$ is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$.
-
-At iteration $l$, if $l < c + 1$ then the \verb+skip+ statement is executed in
-the \verb+fetch_values+ function. Thus, $M_{ij}^{l+1}(0)$ is equal to
-$M_{ij}^{l}(0)$. Since $c > l-1$ then $D_{ji}^c > D_{ji}^{l-1}$ and hence, $c$
-is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Obviously, this implies also that
-$D_{ji}^c > D_{ji}^{l-2}$ and $c=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$.
-
-We now consider that at iteration $l$, $l$ is $c + 1$. In other words, $M_{ij}$
-is modified depending on the domain $\dom(M^l_{ij})$ of $M^l_{ij}$:
+Ensuite, le premier appel à la fonction \verb+fetch_value+
+soit affecte à la tête de \verb+channels[i].sent[j]+ à \verb+Xd[j].v[i]+ soit ne modifie par
+\verb+Xd[j].v[i]+.
+Grâce au processus \verb+init+ process,
+les deux cas sont égaux à
+\verb+Xp[i]+, \textit{i.e.}, $X_i^0$. L'equation (\ref{eq:correct_retrieve}) est ainsi établie.
+
+Pour le dernier item, soit $k$, $0 \le k \le \mathsf{N}-1$.
+A la fin de la première exécution du processus \verb+update_elems+,
+la valeur de
+\verb+Xp[k]+ est $F(\verb+Xd[+k\verb+].v[0]+, \ldots,
+\verb+Xd[+k\verb+].v[+\mathsf{N}-1\verb+]+)$.
+Ainsi par définition de $Xd$, ceci est égal à
+$F(Xd^1_{k\,0}, \ldots,Xd^1_{k\,\mathsf{N}-1})$. Grâce à l'équation \Equ{eq:correct_retrieve},
+on peut conclure la preuve.
+
+
+
+\paragraph{Induction:}
+Supposons maintenant que le lemme~\ref{lemma:execution} est établi jusqu'à
+l'itération $l$.
+
+Tout d'abord, si le domaine de définition de la fonction $M_{ij}^l$
+n'est pas vide, par hypothèse d'induction $M_{ij}^{l}(0)$ est
+$\left(X_i^{D_{ji}^{c}}, D_{ji}^{c},c
+\right)$ où $c$ est $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$.
+
+A l'itération $l$, si $l < c + 1$ alors l'instruction
+ \verb+skip+ est exécutée dans la fonction \verb+fetch_values+.
+ Ainsi, $M_{ij}^{l+1}(0)$ est égal à
+$M_{ij}^{l}(0)$. Puisque $c > l-1$, alors $D_{ji}^c > D_{ji}^{l-1}$ et donc, $c$
+est $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$.
+Cela implique que
+$D_{ji}^c > D_{ji}^{l-2}$ et $c=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$.
+
+On considère maintenant qu'à l'itération $l$, celui-ci vaut $c + 1$.
+Dit autrement, $M_{ij}$ est modifié en fonction du domaine $\dom(M^l_{ij})$ de
+ $M^l_{ij}$:
\begin{itemize}
-\item if $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ and $\forall k\, . \, k\ge l \Rightarrow
- D^{k}_{ji} \neq l$ is established then $\dom(M_{ij}^{l+1})$ is empty and the
- first item of the lemma is established;
-\item if $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ and $\exists k\, . \, k\ge l \land D^{k}_{ji}
- = l$ is established then $M_{ij}^{l+1}(0)$ is $(\verb+Xp[i]+,l,c_{ij})$ that
- is added in the \verb+diffuse_values+ function s.t.\linebreak $c_{ij} =
- \min\{k \mid D^{k}_{ji} = l \} $. Let us prove that we can express
- $M_{ij}^{l+1}(0)$ as $\left(X_i^{D_{ji}^{c'}},D_{ji}^{c'},c' \right)$ where
- $c'$ is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. First, it is not hard to
- establish that $D_{ji}^{c_{ij}}= l \geq D_{ji}^{l} > D_{ji}^{l-1}$ and thus
- $c_{ij} \geq c'$. Next, since $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$, then between
- iterations $D_{ji}^{c}+1$ and $l-1$, the \texttt{diffuse\_values} function has
- not updated $M_{ij}$. Formally we have
+\item si $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ et $\forall k\, . \, k\ge l \Rightarrow
+ D^{k}_{ji} \neq l$ sont vraies, alors $\dom(M_{ij}^{l+1})$ est vide et le premier
+ item du lemme est vérifié;
+\item si $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ et $\exists k\, . \, k\ge l \land D^{k}_{ji}
+ = l$ sont vraies, alors $M_{ij}^{l+1}(0)$ vaut $(\verb+Xp[i]+,l,c_{ij})$ qui est ajouté
+ dans la fonction \verb+diffuse_values+ de sorte que $c_{ij} =
+ \min\{k \mid D^{k}_{ji} = l \} $.
+ Prouvons qu'on peut exprimer
+ $M_{ij}^{l+1}(0)$ comme $\left(X_i^{D_{ji}^{c'}},D_{ji}^{c'},c' \right)$ où
+ $c'$ vaut $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$.
+ Tout d'abord, il n'est pas difficile de prouver que
+ $D_{ji}^{c_{ij}}= l \geq D_{ji}^{l} > D_{ji}^{l-1}$ et que
+ $c_{ij} \geq c'$.
+ Ensuite, comme $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$, alors, entre les
+ itérations $D_{ji}^{c}+1$ et $l-1$, la fonction \texttt{diffuse\_values} n'a pas mis à jour
+ $M_{ij}$. On a ainsi la propriété
$$
\forall t,k \, .\, D_{ji}^c < t < l \land k \geq t \Rightarrow D_{ji}^k \neq
t.$$
-Particularly, $D_{ji}^{c'} \not \in \{D_{ji}^{c}+1,\ldots,l-1\}$. We can apply
-the third item of the induction hypothesis to deduce
-$\verb+Xp[i]+=X_i^{D_{ji}^{c'}}$ and we can conclude.
-
-\item if $\{0,1\} \subseteq \dom(M_{ij}^{l})$ then $M_{ij}^{l+1}(0)$ is
- $M_{ij}^{l}(1)$. Let $M_{ij}^{l}(1)= \left(\verb+Xp[i]+, a_{ij} , c_{ij}
- \right)$. By construction $a_{ij}$ is $\min\{t' | t' > D_{ji}^c \land
- (\exists k \, .\, k \geq t' \land D_{ji}^k = t')\}$ and $c_{ij}$ is $\min\{k |
- D_{ji}^k = a_{ij}\}$. Let us show $c_{ij}$ is equal to $\min\{k | D_{ji}^k >
- D_{ji}^{l-1} \}$ further referred as $c'$. First we have $D_{ji}^{c_{ij}} =
- a_{ij} > D_{ji}^c$. Since $c$ by definition is greater or equal to $l-1$ ,
- then $D_{ji}^{c_{ij}}> D_{ji}^{l-1}$ and then $c_{ij} \geq c'$. Next, since
- $c$ is $l-1$, $c'$ is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{c} \}$ and then $a_{ij}
- \leq D_{ji}^{c'}$. Thus, $c_{ij} \leq c'$ and we can conclude as in the
- previous part.
+En particulier, on a $D_{ji}^{c'} \not \in \{D_{ji}^{c}+1,\ldots,l-1\}$.
+On peut donc appliquer le troisième item de l'hypothèse d'induction pour déduire
+$\verb+Xp[i]+=X_i^{D_{ji}^{c'}}$ et on peut conclure.
+
+\item Si $\{0,1\} \subseteq \dom(M_{ij}^{l})$, alors $M_{ij}^{l+1}(0)$ vaut
+ $M_{ij}^{l}(1)$. Soit $M_{ij}^{l}(1)= \left(\verb+Xp[i]+, a_{ij} , c_{ij}
+ \right)$. Par construction, $a_{ij}$ vaut $\min\{t' | t' > D_{ji}^c \land
+ (\exists k \, .\, k \geq t' \land D_{ji}^k = t')\}$ et $c_{ij}$ est $\min\{k |
+ D_{ji}^k = a_{ij}\}$. Montrons que $c_{ij}$ est égal à $\min\{k | D_{ji}^k >
+ D_{ji}^{l-1} \}$, noté plus tard $c'$. On a tout d'abord $D_{ji}^{c_{ij}} =
+ a_{ij} > D_{ji}^c$. Puisque $c$ par définition est supérieur ou égal à $l-1$,
+ alors $D_{ji}^{c_{ij}}> D_{ji}^{l-1}$ et donc $c_{ij} \geq c'$. Ensuite, puisque
+ $c=l-1$, $c'$ vaut $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{c} \}$ et donc $a_{ij}
+ \leq D_{ji}^{c'}$. Ainsi, $c_{ij} \leq c'$ et on peut conclure comme dans la partie précédente.
\end{itemize}
-The case where the domain $\dom(M^l_{ij})$ is empty but the formula $\exists k
-\, .\, k \geq l \land D_{ji}^k = l$ is established is equivalent to the second
-case given above and then is omitted.
+Le cas où le domaine $\dom(M^l_{ij})$ est vide mais où la formule $\exists k
+\, .\, k \geq l \land D_{ji}^k = l$ est vraie est équivalent au second
+cas ci-dessus et n'est pas présenté.
-Secondly, let us focus on the formula~(\ref{eq:correct_retrieve}). At iteration
-$l+1$, let $c'$ be defined as $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Two cases
-have to be considered depending on whether $D_{ji}^{l}$ and $D_{ji}^{l-1}$ are
-equal or not.
+Concentrons nous sur la formule~(\ref{eq:correct_retrieve}). A l'itération
+$l+1$, soit $c'$ défini par $c'=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Deux cas peuvent
+apparaître selon que $D_{ji}^{l}$ et $D_{ji}^{l-1}$ sont égaux ou non.
\begin{itemize}
-\item If $D_{ji}^{l} = D_{ji}^{l-1}$, since $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l-1}$, then
- $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l}$ and then $c'$ is distinct from $l$. Thus, the SPIN
- execution detailed above does not modify $Xd_{ji}^{l+1}$. It is obvious to
- establish that $Xd_{ji}^{l+1} = Xd_{ji}^{l} = X_i^{D_{ji}^{l-1}} =
+\item Si $D_{ji}^{l} = D_{ji}^{l-1}$, puisque $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l-1}$, alors
+ $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l}$ et donc $c'$ est différent de $l$. L'exécution de SPIN
+ ne modifie pas $Xd_{ji}^{l+1}$. On a ainsi $Xd_{ji}^{l+1} = Xd_{ji}^{l} = X_i^{D_{ji}^{l-1}} =
X_i^{D_{ji}^{l}}$.
-\item Otherwise $D_{ji}^{l}$ is greater than $D_{ji}^{l-1}$ and $c$ is thus $l$.
- According to \Equ{eq:Mij0} we have proved, we have
- $M_{ij}^{l+1}(0)=(X_i^{D_{ji}^{l}},D_{ji}^{l},l)$. Then the SPIN execution
- detailed above assigns $X_i^{D_{ji}^{l}}$ to $Xd_{ji}^{l+1}$, which ends the
- proof of (\ref{eq:correct_retrieve}).
+\item Sinon, $D_{ji}^{l}$ et plus grand que $D_{ji}^{l-1}$ et $c$ est donc égal à $l$.
+ Selon l'équation \Equ{eq:Mij0}, on a
+ $M_{ij}^{l+1}(0)=(X_i^{D_{ji}^{l}},D_{ji}^{l},l)$. Ainsi l'exécution SPIN
+ affecte $X_i^{D_{ji}^{l}}$ à $Xd_{ji}^{l+1}$, ce qui termine la preuve
+(\ref{eq:correct_retrieve}).
\end{itemize}
-We are left to prove the induction of the third part of the lemma. Let $k$, $k
+Il reste à prouver la partie inductive de la troisième partie du lemme.
+Soit $k$, $k
\in S^{l+1}$. % and $\verb+k'+ = k-1$.
-At the end of the first execution of the \verb+update_elems+ process, we have
+A l'issue de la première exécutions
+du processus \verb+update_elems+, on a
$\verb+Xp[+k\verb+]+= F(\verb+Xd[+k\verb+][0]+,
-\ldots,\verb+Xd[+k\verb+][+n\verb+-1]+)+$. By definition of $Xd$, it is equal
-to $F(Xd^{l+1}_{k\,0}, \ldots,Xd^{l+1}_{k\,n-1})$. Thanks to
-\Equ{eq:correct_retrieve} we have proved, we can conclude the proof.
+\ldots,\verb+Xd[+k\verb+][+n\verb+-1]+)+$.
+Par définition $Xd=F(Xd^{l+1}_{k\,0}, \ldots,Xd^{l+1}_{k\,n-1})$.
+Grace à~\Equ{eq:correct_retrieve} déjà prouvée, on peut conclure la preuve.
\end{Proof}
% performed under weak fairness property; we then detail what are continuously
% enabled:
% \begin{itemize}
-% \item if the strategy is not defined as periodic, elements $0$, \ldots, $n$ are
+% \item if the strategy is not defined as periodic, elements $0$, \ldots, $\mathsf{N}$ are
% infinitely often updated leading to pseudo-periodic strategy;
% \item instructions that write or read into \verb+channels[j].sent[i]+ are
% continuously enabled leading to convenient available dates $D_{ji}$.
