Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
vérifient les hypothèses du théorème~\ref{th:Adrien}.
Leurs graphes d'itérations
-sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures
-\ref{fig:g:iter} et \ref{fig:h:iter}.
+sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter}
+et~\ref{fig:h:iter}.
\textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées
dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et
que cela l'est pour $h$.
-- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme --
est inférieure
à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
- $b$. Ainsi, on a
-$$
+ $b$.
+Ainsi, on a
+\begin{equation}
b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket}
\{
\min \{
t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
\}
\}.
-$$
+\label{eq:mt:ex}
+\end{equation}
+
+\noindent Par la suite, ce nombre sera appelé \emph{temps de mélange}.
+
+
\begin{figure}%[h]
\begin{center}
\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$}
+A partir de $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on
+definit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante:
+\begin{itemize}
+\item les n{\oe}uds sont les $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
+%\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples
+% having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
+\item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois),
+chaque $u_k$ de la suite appartient à $[\mathsf{N}]$ et
+$y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
+\end{itemize}
+Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
+
+
+
+
+
+\begin{figure}%[t]
+ \begin{center}
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.30\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[height=4cm]{images/h2prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h2prng}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[height=4cm]{images/h3prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h3prng}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[height=4cm]{images/h23prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h23prng}
+ }
+
+ \end{center}
+ \caption{Graphes d'iterations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+ %\label{fig:xplgraphIter}
+ \end{figure}
+
+
+
+
+\begin{xpl}
+On reprend l'exemple où $\mathsf{N}=2$ et
+$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détaillé
+à la section~\ref{sub:prng:unif}.
+
+Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
+Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$ et
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}.
+Le premier (repsectivement le second)
+illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement
+2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
+Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait
+à itérer en interne systématiquement 2 ou trois fois avant de retourner un résultat.
+
+\end{xpl}
+
+
\subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
+Le théorème suivant, similaire à celui dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}.
+
+\begin{theorem}
+La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur
+ $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si
+graphe d'itération $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$
+est fortement connexe.
+\end{theorem}
+On alors corollaire suivant
+
+\begin{corollary}
+ Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé
+ à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+ n'est pas chaotique
+ sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+\end{corollary}
+\begin{proof}
+ Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+ Que $b$ soit pair ou impair, $\textsc{giu}_{\mathcal{b}}(f)$
+ n'est pas fortement connexe.
+\end{proof}
+
+
