% respectively an element of some $E_i$ and a matrix of elements in some $E_i$.
% The components may be updated (in a random order) according to a
% strategy $s$, as in the synchronous mode.
-Dans le mode asynchrone, a chaque itération $t$, chaque composant peut
+Dans le mode asynchrone, à chaque itération $t$, chaque composant peut
mettre à jour son état en
fonction des dernières valeurs qu'il connaît des autres composants.
Obtenir ou non les valeurs les plus à jour dépend du temps de calcul et
Formalisons le mode des itérations asynchrone.
Soit $x^0 =(x_1^0, \ldots, x_n^0)$ une configuration initiale.
-Soit $(D^{t})^{t \in \Nats}$ la suite de matrice de taille $n \times n$
+Soit $(D^{t})^{t \in \Nats}$ la suite de matrices de taille $n \times n$
dont chaque élément $D_{ij}^{t}$ représente la date (inférieure ou égale à $t$)
à laquelle la valeur $x_j$ produite par le composant $j$ devient
disponible au composant $i$.
On considère que le délai entre l'émission par $j$ et la réception par $i$,
-défini par $\delta_{ij}^t = t - D_{ij}^{t}$ est borné par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.
+défini par $\delta_{ij}^t = t - D_{ij}^{t}$, est borné par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.
Le \emph{mode des itérations généralisées asynchrone}
est défini pour chaque $i
\in \{1,\ldots,n\}$ et chaque $t=0,1,2,...$ par:
x^{t+1}_i= \left\{
\begin{array}{l}
f_i( x_1^{D_{i1}^t},\ldots, x_{n}^{D_{i{n}}^t})
- \textrm{ si } \textit{bin}(s^t)[i] = 1\\
- x^{t}_i \textrm{ sinon }
+ \textrm{ si } i \in s^t \\
+ x^{t}_i \textrm{ sinon.}
\end{array}
\right.
\end{equation}
Sinon les itérations sont dites \emph{divergentes}.
De plus, si $ (x^{(t)})^{t \in \mathbb{N}}$ défini selon l'équation
\Equ{eq:async} satisfait \Equ{eq:conv} pour tous les $x^{(0)}
-\in E$, pour toutes les stratégies pseudo périodiques
+\in E$, pour toutes les stratégies pseudo-périodiques
$s$ et pour toutes les matrices de dates,
$(D^{(t)})^{t \in \Nats}$, alors les itérations de $f$ sont
\emph{universellement convergentes}.
Un extrait du graphe des itérations unaires est donné à
la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libellés des arcs correspondent aux éléments
activés. Les itérations unaires ne convergent pas pour la stratégie
-pseudo périodique donnée à l'équation~\Equ{eq:pseudo}:
+pseudo-périodique donnée à l'équation~\Equ{eq:pseudo}:
le système peut infiniment boucler entre 11 et 3, entre 15 et 7.
Comme les itérations unaires ne convergent pas pour certaines stratégies,
\begin{theorem}\label{th:cvg}
Soit une fonction $f$ possédant un unique point fixe $x^*$ et une stratégie
- pseudo périodique $s$.
+ pseudo-périodique $s$.
Si les itérations synchrones convergent vers $x^*$ pour cette stratégie,
alors les itérations mixtes à délai uniforme convergent aussi vers $x^*$
pour cette stratégie.
\subsection{Le mode unaire asynchrone}
\label{sec:evalasync}
-En terme de durée de convergence, ce mode peut être vu comme un
+En termes de durée de convergence, ce mode peut être vu comme un
cas particulier du mode mixte où toutes les classes sont des singletons.
La borne minimale peut donc s'exprimer comme:
\begin{equation}
